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等比数列的概念(区公开课比赛一等奖)



旧知回顾
名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

a n ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? (n ? m )d
(n, m ? N )
*

创设情景,引入新课
(1)“一

尺之棰,日取其半,万世不竭.”

(2) 一位数学家说过:你如果能将一张 纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬 上月球。

以上两个实例所包含的数学问题: (1)
(2) 1,
1 2



1 4



1 8



1 16

,…

1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,32 ,…

等比数列概念
等比数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 比 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列 ,这个常数叫 做等比数列的公比(q)。

等差数列
?

一般地,如果一个数列从第2项起,每一 项与它的前一项的 差 等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列 ,这个常数叫 做等差数列的公差(d)。

课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1,3,9,27,81,…
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,?

是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2

5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,… 1,0,1,0,1,…

是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列

(6)
(7)

0,0,0,0,0,…

1, x , x , x , x , ? ( x ? 0)
2 3 4

是,公比 q= x

对概念的更深理解
a n ?1 an
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1,3,9,27,…
1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 ,?

? q ( 是与 n 无关的数或式子

, 且 q ? 0)

1. 各项不能为零,即 a n ? 0 2. 公比不能为零,即 q ? 0 3. 当q>0,各项与首项同号 当q<0,各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a ? 0 时,既是等差数列 又是等比数列;

5, 5, 5, 5,… 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,… 0,0,0,0,…

a ? 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.

等差数列通项公式的推导:
方法一:(累加法)

a n ? a n ?1 ? d
a 2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d
? ( a1 ? d ) ? d

a 2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

… …

a n ?1 ? a n ? 2 ? d

a n ? a n ?1 ? d

?

方法二:(迭代法)

(n-1)个 式子

? a1 ? 2 d
a4 ? a3 ? d

? ( a1 ? 2 d ) ? d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… … a n ? a1 ? (n ? 1)d

? a1 ? 3 d

an

等比数列通项公式的推导: n ? 1 a
方法一:累乘法
a2 a1 ? q

? q

?n

? 2?

a3 a2 a4 a3

? q ? q

… …
an a n ?1 ? q

?

方法二:迭代法

a 2 ? a1 q
a 3 ? a 2 q ? ( a1 q ) q 2 ? a1 q
a 4 ? a 3 q ? ( a1 q ) q
2

(n-1)个 式子

? a1q

3

… …
n ?1

an n ?1 ?q a1

an ? a1q

等比数列的通项公式
等比数列 a n ?,首项为 a 1 ,公比为q,则通项公式为 ?
当q=1时,这是 一个常函数。 an ? 0

a n ? a1 ? q

n ?1

变形结论:
在等差数列 ?a n ? 中
an ? am ? ( n ? m )d
(n, m ? N )
*

试问:在等比数列 ?a n ? 中,如果知道 a m 和公 比q,能否求 a n ?如果能,请写出表达式。

an ? am q

n?m

(n, m ? N )
*

等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 等比数列,那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下,由等比数列的定义可得
G a G
2

?

b G



? ab ab

?G ? ?

等比数列的通项公式练习

课后练习P53 A1 , 7

典型例题
例1 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18,求它的第1项与第2项. 解:设这个等比数列的第1项是 a ,公比是q ,那么
1

a q ? 12
2 1

a q ? 18
3 1

解得, 因此

q ?

3 2

, a ?
1

16 3

a ? a q ?
2 1

16 3

?

3 2

? 8
16 3

答:这个数列的第1项与第2项分别是

与 8.

课堂互动
(1)一个等比数列的第5项是
4 9

,公比是

?

1 3

,求它的第1项;

解:设它的第一项是 a 1 ,则由题意得
a1 ? ( ? 1 3 )
5 ?1

?

4 9

解得,

a1 ? 3 6

答:它的第一项是36 .
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:设它的第一项是 a 1 ,公比是 q ,则由题意得 , a 1 q 2 ? 20 a 1 q ? 10 解得, a 1 ? 5 , q ? 2 3 a 4 ? a 1 q ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.

回顾小结
等比数列 从第2项起,每一项与它前 一项的比等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
名称 概念

等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

常数

性质
通项 通项 变形

a n ? a1 ? q
an ? am q

n ?1

a n ? a1 ? (n ? 1)d
an ? am ? (n ? m )d
(n, m ? N )
*

n?m
*

(n, m ? N )

等比数列的例题
例2 已知 ?a n ?, ?b n ? 是项数相同的等比数列, 求证 ?a n ? b n ? 是等比数列.

证明:设数列 ?a n ?首项为a 1 ,公比为 q 1?b n ?首项为b 1 ,公比为q 2 ; 那么数列 ?a n ? b n ?的第n项与第n+1项 分别为:
a1 ? q1
n ?1

? b1 ? q 2

n ?1

与 a 1 ? q 1 ? b1 ? q 2
n

n

n

即为
a n ?1 ? b n ?1 a n ? bn ?

a 1 b1 ( q 1 q 2 )
a 1 b1 ( q 1 q 2 ) a 1 b1 ( q 1 q 2 )
n n ?1

n ?1

与 a 1 b1 ( q 1 q 2 )

?

? q 1 q 2 .它是一个与n无关的常数,

所以 ?a n ? b n ? 是一个以 q 1 q 2 为公比的等比数列

合作交流
例3、等比数列 { a n } 中, a 4 · 7 = -512,a 3 + a 8 = 124, a
公比 q 为整数,求 a 10. 法一:直接列方程组求 a 1、q。 法二:在法一中消去了 a 1,可令 t = q 5 法三:由 a 4 · 7 = a 3 · 8 = -512 a a
? a 3 ? 124 a 3 ? 512 ? 0
2

? a 3 ? 128 或 a 3 ? ? 4

? a 3 ? 128 ? a3 ? ?4 ? ? 或? ? a8 ? ?4 ? a 8 ? 128 ? a3 ? ?4 ? ? ? a 8 ? 128

∵ 公比 q 为整数

? q

5

?

128 ? 4

? ? 32

? q ? ?2

∴ a 10 = a 3×q 10 -3= -4×(-2) 7= 512



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