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第2讲 一元二次不等式的解法



第2讲

一元二次不等式的解法
判别式Δ =b2-4ac Δ >0 Δ =0 Δ <0 一元二次方程 a x 2 有两相异实根 有两相同实根 + bx + c = 0(a ≠ 0) x=x 1 或 x=x 2 x=x 1 =x2 的根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2 + bx + ________ c>0(a>0) ax

2 + bx + ________ c<0(a>0) ________ 无实根

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 1 个重要关系 三个二次的关系:一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的 二次函数图象与 x 轴交点的横坐标相同. 2 种必会方法 1. 解一元二次不等式时,首先将不等式标准化,再确定相应的方程的根,最后根据图 象写出解集. 对于Δ <0,Δ =0 等特殊情况的解集要从本质上理解. 2. 解含参的一元二次不等式恒成立问题,一是转化为一元二次不等式解集为 R 的情况 来解,二是分离参变量,转化为最值问题去处理. 3 项必须防范 1. 二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项系数是 否为零的情况. 2. 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若 不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 3. 在集合的运算、求函数的定义域时,经常用到解一元二次不等式 (组),此时要注意 解集端点值的取舍. 1. 一元二次不等式的解集 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式 ax2+bx+c>0 与 ax2+bx+c<0 的解集,可归纳为: 判别式Δ = b2-4ac Δ >0 Δ =0 Δ <0

________

________

________

若 a<0 时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. (1)解下列不等式: ①2x2+5x-3>0 的解集为____________. ②-3x2-2x+8≥0 的解集为____________. (2)解下列不等式: ① 2x-1 ≤0 的解集________. 3x+1

x+1 ② x ≤2 的解集________. 2.一元二次不等式中的恒成立问题 一元二次不等式中的恒成立问题,应结合相应的二次函数图象和方程根的情况(用

二次函数 y= ax2 + bx + c (a>0)的图象

判别式),寻找其成立的条件. ?a>0, (1)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 恒成立的等价条件为? ?Δ<0; ?a<0, (2)一元二次不等式 ax2+bx+c<0 恒成立的等价条件为? ?Δ<0; ?a<0, (3)一元二次不等式 ax2+bx+c>0 解集为?的等价条件为? ?Δ≤0;

?a>0, (4)一元二次不等式 ax2+bx+c≤0 解集为?的等价条件为? ?Δ<0; 注意:在题目中没有指明不等式为二次不等式时,若二次项系数中含有参数,应 先对二次项系数为 0 的情况进行分析,检验此时是否符合条件. 不等式 ax2+2ax+4≥0 恒成立,对一切 x 的值,求 a 的取值范围. 不等式 ax -x+2a<0 的解集为?,则 a 的取值范围________.
2

考点二一元二次不等式恒成立问题
例2 (1)[2012·福建高考]已知关于 x 的不等式 x2-ax+2a>0 在 R 上恒成立,则 实数 a 的取值范围是________. (2)已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+≦)时,f(x)≥a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 奇思妙想:本例(1)条件变为“关于 x 的不等式 x2-ax+2a≤3 的解集不是空集” 问题不变,该如何解答?

考点一一元二次不等式的解法
例1 (1)[2012·湖南高考]不等式 x -5x+6≤0 的解集为________. x-1 (2)[2012· 重庆高考]不等式 ≤0 的解集为( 2x+1 ? 1 ? A. ?-2,1? ? ? 1? ? C. ?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ? ? 1 ? B. ?-2,1? ? ? 1? ? D. ?-∞,-2?∪[1,+∞) ? ? )
2

[变式探究]

[2013·唐山检测]设函数 f(x)=mx2-mx-1.

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围.

[变式探究]

解下列关于 x 的不等式:

(1)x2-(a2+a)x+a3>0;

课后练习 1.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( 1 A.{x|x≠- } 3 1 B.{- } 3

) 1 1 C.{x|- ≤x≤ } 3 3 D.R )

1 2.[2013· 许昌模拟]若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为{x|-2<x<4},则 ab=( A.-28 (2)ax -(a+1)x+1<0.
2

B.-26

C.28

D.26

3. [2012· 重庆高考]设函数 f(x)=x2-4x+3, g(x)=3x-2, 集合 M={x∈R|f(g(x))>0}, N={x∈R|g(x)<2},则 M∩N 为( ) A. (1,+∞) B. (0,1) C. (-1,1) D. (-∞,1) x2-9 4.[2012· 江西高考]不等式 >0 的解集是________ x-2



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