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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版选修1-1【配套备课资源】综合检测综合检测(二)



综合检测(二)
一、选择题 1.下列结论错误的是 A.若“p∧q”与“綈 p∨q”均为假命题,则 p 真 q 假 B.命题“?x∈R,x2-x>0”的否定是“?x∈R,x2-x≤0” C.“x=1”是“x2-3x+2=0”充分不必要条件 D.若“am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真 1 2.已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则綈 q 是

p 的 x A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

(

)

3.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再慢慢走余下的路程, 图中纵坐标表示离学校的距离,横坐标表示出发后的时间,则下面四个图形中较符合该 学生走法的是 ( )

π 4.已知命题 p:?x∈(-∞,0),2x<3x;命题 q:?x∈?0,2?,tan x>sin x.则下列命题为 ? ? 真命题的是 A.p∧q C.p∧(綈 q) B.p∨(綈 q) D.(綈 p)∧q ( )

5.函数 f(x)=excos x 的图象在点(0,f(0))处的切线方程的倾斜角为 ( ) π π A.0 B. C.1 D. 4 2 2 2 x 16y 6.双曲线 - 2 =1(p>0)的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则该双曲线的离心率为 3 p ( 4 A. 3 B. 3 2 3 C. 3 D.4 ( 1 D.?16,0? ? ? ) ) )

1 7.抛物线 y2= x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 4 1 A.(1,0) B.?0,16? C.(0,1) ? ?

4 8.设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ ,则 p 是 q 的( 3

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 x2 y2 9.已知 P 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点, a b 5 且 cos ∠PF1F2=sin ∠PF2F1= ,则此双曲线的离心率是 ( ) 5 A. 5 定点为 A.(0,2) B.(2,0) C.(1,0) D.(0,1) 11.若函数 y=f(x)的导函数在区间(a,b)上不是单调函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的 图象可能是 ( ) B.5 C.2 5 D.3 10.一动圆的圆心在抛物线 x2=8y 上,且该动圆恒与直线 y+2=0 相切,则动圆必经过的 ( )

C.②③ D.③④ π 12.函数 f(x)=x3+x,x∈R,当 0≤θ≤ 时,f(msin θ)+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值 2 范围是 A.(0,1) 1 C.?-∞,2? ? ? 二、填空题 13. 若命题“存在实数 x, x2+ax+1<0”的否定是假命题, 使 则实数 a 的取值范围为_______. 14.已知 f(x)=x3+x2f′(1)+3xf′(-1),则 f′(1)+f′(-1)的值为________. y2 x2 3 15.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c),F2(0,c)(c>0),离心率 e= ,焦点到椭 a b 2 圆上点的最短距离为 2- 3,则椭圆的方程为________. 16. 已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如 图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x2-6)>1 的解集为________. B.(-∞,0) D.(-∞,1) ( )

A.①③

B.②④

三、解答题 x2 y2 17.求与椭圆 + =1 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的 144 169

实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. a 18.已知命题 p:f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数;命题 q:f(x)=x3+ax2+3x+1 在 R x 上有极值.若命题“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 19.如图,抛物线顶点在原点,圆 x2+y2=4x 的圆心是抛物线的焦点,直线 l 过抛物线的焦 点,且斜率为 2,直线 l 交抛物线与圆依次为 A、B、C、D 四点.

(1)求抛物线的方程. (2)求|AB|+|CD|. 20.已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),且函数 g(x)=f′(x)+6x 是偶函 数. (1)求 m、n 的值; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 21.某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可以增 加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成 正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? x2 y2 22.如图,从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,且 a b 它的长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2 是右焦点,F1 是左焦点,求∠F1QF2 的取值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△F1PQ 的 面积为 20 3,求此时椭圆的方程.

答案
1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 11.D 12.D 13.a<-2 或 a>2 3 14.- 4 y2 2 15. +x =1 4 16.(2,3)∪(-3,-2) x2 y2 17.解 椭圆 + =1 的焦点是 144 169 (0,-5),(0,5), 焦点在 y 轴上, y2 x2 于是设双曲线方程是 2- 2=1(a>0,b>0), a b 又双曲线过点(0,2), ∴c=5,a=2, ∴b2=c2-a2=25-4=21, y2 x2 ∴双曲线的标准方程是 - =1, 4 21 实轴长为 4, c 5 焦距为 10,离心率 e= = , a 2 2 21 渐近线方程是 y=± x. 21 a 18.解 命题 p:f′(x)=1- 2. x a ∵f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数, x a 则 f′(x)=1- 2≥0 在[1,+∞)上恒成立, x 即 a≤x2 在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤(x2)min,∴a≤1. 命题 p:A={a|a≤1}. 命题 q:f′(x)=3x2+2ax+3. 要使得 f(x)=x3+ax2+3x+1 在 R 上有极值, 则 f′(x)=3x2+2ax+3=0 有两个不相等的实数解, Δ=4a2-4×3×3>0,解得 a<-3 或 a>3. 命题 q:B={a|a<-3,或 a>3}. ∵命题“p∨q”为真命题, ∴A∪B={a|a≤1,或 a>3}. ∴所求实数 a 的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞). 19.解 (1)由圆的方程 x2+y2=4x, 即(x-2)2+y2=4 可知,圆心为 F(2,0),半径为 2, 又由抛物线焦点为已知圆的圆心,

得抛物线焦点为 F(2,0), 抛物线方程为 y2=8x. (2)|AB|+|CD|=|AD|-|BC|, ∵|BC|为已知圆的直径, ∴|BC|=4, 则|AB|+|CD|=|AD|-4. 设 A(x1,y1),D(x2,y2), ∵|AD|=|AF|+|FD|,而 A、D 在抛物线上, 由已知可知,直线 l 的方程为 y=2(x-2), ?y2=8x ? 由? , ? ?y=2?x-2? 消去 y,得 x2-6x+4=0, ∴x1+x2=6,∴|AD|=10, 因此,|AB|+|CD|=10-4=6. 20.解 (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6),得 m-n=-3,① 由 f(x)=x3+mx2+nx-2,得 f′(x)=3x2+2mx+n, 则 g(x)=f′(x)+6x=3x2+(6+2m)x+n; 而 g(x)图象关于 y 轴对称, 2m+6 所以- =0, 2×3 所以 m=-3,代入①得 n=0. (2)由(1)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化状态如下表: x 0) +∞) f′(x) f(x) 由此可得: 当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当 1<a<3 时,有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值. 21.解 (1)设商品降低 x 元时,多卖出的商品件数为 kx2, + ? 0 极大值 - ? 0 极小值 + ? (-∞, 0 (0,2) 2 (2,

若记商品在一个星期的销售利润为 f(x), 则依题意有 f(x)=(30-x-9)· (432+kx2) =(21-x)· (432+kx2), 又由已知条件 24=k·2,于是有 k=6, 2 所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30]. (2)根据(1),有 f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化状态如下表: x f′(x) f(x) (0,2) - ? 2 0 极小值 (2,12) + ? 12 0 极大值 (12,30) - ?

故 x=12 时,f(x)达到极大值. 因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664, 所以定价为 30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大. 22.解 (1)∵MF1⊥x 轴,∴xM=-c, b2 代入椭圆方程得 yM= , a b2 ∴kOM=- . ac b 又∵kAB=- 且 OM∥AB, a b2 b 2 ∴- =- ,故 b=c,从而 e= . ac a 2 (2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ. ∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c, r12+r22-4c2 ∴cos θ= 2r1r2 ?r1+r2?2-2r1r2-4c2 = 2r1r2 a2 a2 = -1≥ -1=0, r1r2 ?r1+r2?2 ? 2 ? 当且仅当 r1=r2 时,上式等号成立. π ∴0≤cos θ≤1,故 θ∈?0,2?. ? ? (3)∵b=c,a= 2c, x2 y2 ∴设椭圆方程为 2+ 2=1.① 2c c 2 ∵PQ⊥AB,kAB=- ,∴kPQ= 2. 2 ∴直线 PQ 的方程为 y= 2(x-c).② 联立 ①、②消去 y 得 5x2-8cx+2c2=0. 8c 4×2c2? 6 2c ∴|PQ|= ?? 5 ?2- ?1+2?= . 5 5 ? ?? ?

2 6 又点 F1 到 PQ 的距离 d= c, 3 1 1 2 6 6 2c 4 3 2 ∴S△F1PQ= d|PQ|= × c× = c. 2 2 3 5 5 4 3 2 由 c =20 3得 c2=25,故 2c2=50. 5 x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 50 25



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