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广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选36



圆锥曲线 36
24.已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 (? 5,0) ,若椭圆上存在一点 D ,满足 a2 b2

以椭圆短轴为直径的圆与线段 DF 1 相切于线段 DF 1 的中点 F . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

9x2 y 2 (Ⅱ)已知两点 Q(?2,0), M (0,1) 及椭圆 G : 2 ? 2 ? 1 ,过点 Q 作斜率为 k 的直线 l 交 a b
椭圆 G 于 H , K 两点,设线段 HK 的中点为 N ,连结 MN ,试问当 k 为何值时,直线 MN 过椭 圆 G 的顶点? (Ⅲ) 过坐标原点 O 的直线交椭圆 W :

9x2 4 y 2 ? 2 ? 1 于 P 、A 两点, 其中 P 在第一象限, 2a 2 b

过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,连结 AC 并延长交椭圆 W 于 B ,求证: PA ? PB .

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得椭圆 G : x ?
2

y2 ?1 4

-1-

①当 k ? 0 时,有 N (0,0) ,直线 MN 显然过椭圆 G 的两个顶点 (0,?2), (0,2) ; ②当 k ? 0 时,则 x0 ? 0 ,直线 MN 的方程为 y ?

y0 ? 1 x ?1 x0

此时直线 MN 显然不能过椭圆 G 的两个顶点 (0,?2), (0,2) ; 若直线 MN 过椭圆 G 的顶点 (1,0) ,则 0

?

y0 ? 1 ? 1 即 x0 ? y0 ? 1 x0

所以

2 ? 2k 2 8k ? 2 ? 1 ,解得: k ? , k ? 2 (舍去) . 2 3 k ?4 k ?4

若直线 MN 过椭圆 G 的顶点 (?1,0) ,则 0 ? ?

y0 ? 1 ? 1 即 x0 ? y0 ? ?1 x0

所以

? 2k 2 8k ? 2 ? ?1 ,解得: k ? ?4 ? 2 5, k ? ?4 ? 2 5 (舍去) , 2 k ?4 k ?4
2 或 k ? ?4 ? 2 5 时, 直线 MN 过椭圆 G 的顶点. 3

综上,当 k ? 0 或 k ?

(Ⅲ)法一:由(Ⅰ)得椭圆 W 的方程为

x2 ? y2 ? 1 , 2

根据题意可设 P(m, n) ,则 A(?m,?n), C (m,0)

n ( x ? m) …① 2m m 过点 P 且与 AP 垂直的直线方程为 y ? n ? ? ( x ? m) …② n
则直线 AC 的方程为 y ? n ?
-2-

① ? ②并整理得:

x2 m2 m2 ? y2 ? ? n2 ,又 P 在椭圆 W 上,所以 ? n2 ? 1 2 2 2

所以

x2 ? y 2 ? 1 ,即①、②两直线的交点 B 在椭圆 W 上,所以 PA ? PB . 2 x2 ? y2 ? 1 2
n n , k AC ? m 2m

法二:由(Ⅰ)得椭圆 W 的方程为

根据题意可设 P(m, n) ,则 A(?m,?n), C (m,0) ,? k PA ?

x2 y 2 6 25.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过点 ( 2 ,1) 过点 C(-1,0)且斜率 3 a b
为 k 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB ? M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)∵椭圆离心率为
6 c 6 b2 1 ,? 2 ? . ,? ? 3 a 3 3 a

???? ? ???? ?

5 是与 k 无关的常数?若存在,求出点 3K2 ? 1

又? 椭圆过点( 2 ,1) ,代入椭圆方程,得

2 1 5 ? 2 ? 1 .所以 a 2 ? 5, b2 ? . 2 a b 3

-3-

∴椭圆方程为

x 2 y2 ? ? 1 ,即 x 2 ? 3y 2 ? 5 . ……………………………………4 分 5 5

是与 k 无关的常数, 设常数为 t,则
?k 2 ? 6mk 2 ? 3m2 k 2 ? m2 ? t. 3k 2 ? 1

……………………10 分

整理得 (3m2 ? 6m ? 1 ? 3t)k 2 ? m2 ? t ? 0 对任意的 k 恒成立,
?3m2 ? 6m ? 1 ? 3t ? 0, 1 1 ? 解得 m ? ,即在 x 轴上存在点 M( , 0 ) , ?? 2 6 6 ? ?m ? t ? 0.

???? ? ???? ? 使 MA ? MB ?

5 3k ? 1
2

是与 K 无关的常数. ……………………………12 分

-4-

26.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ? 0, p ? ( p ? 0 ) , 直线 l : y ? ? p ,点 P 在直线 l 上移动, R 是线段 PF 与 x 轴的交点, 过 R 、 P 分别作直线 l1 、 l2 ,使 l1 ? PF , l2 ? l l1 ? l2 ? Q . (Ⅰ)求动点 Q 的轨迹 C 的方程;

y . F O R

l2 l 1


?


x

l

(Ⅱ)在直线 l 上任取一点 M 做曲线 C 的两条切线,设切点为 A 、 B ,求证:直线 AB 恒过一定点; (Ⅲ)对(Ⅱ)求证:当直线 MA, MF , MB 的斜率存在时,直线 MA, MF , MB 的斜率的倒 数成等差数列.

对于方程①,代入点 M (m, ? p) 得, ? p ? y1 ?

1 1 2 x1 (m ? x1 ) ,又 y1 ? x1 2p 4p

∴?p?

1 2 1 x1 ? x1 (m ? x1 ) 整理得: x12 ? 2mx1 ? 4 p2 ? 0 4p 2p
2 2

同理对方程②有 x2 ? 2mx2 ? 4 p ? 0

-5-

即 x1 , x2 为方程 x2 ? 2mx ? 4 p2 ? 0 的两根. ∴

x1 ? x2 ? 2m , x1x2 ? ?4 p2



-----------------------8 分 设直线 AB 的斜率为 k , k ?
2 y2 ? y1 x2 ? x12 1 ? ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1 4 p( x2 ? x1 ) 4 p

所以直线 AB 的方程为 y ?

x12 1 ? ( x1 ? x2 )( x ? x1 ) ,展开得: 4p 4p

y?


xx 1 m ( x1 ? x2 ) x ? 1 2 ,代入③得: y ? x? p 4p 4p 2p
直 线 恒 过 定 点

(0, p)

.

-------------------------------------10 分

-6-



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