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数列求和——裂项相消法


数列求和
————裂项相消法

2015全国I卷节选:

1 若an?1 ? 2n ? 1, 令bn ? , 求{bn }的前n项和Tn。 an an?1

裂项求和法:
将数列的通项分解成两项或多项的差,使 数列中的项出现有规律的抵消项,只剩下首 尾若干项。
一般有两种类型:

k 1 1 类型一:an ? ? A[ ? ], 其中A是常数, f ( n) f ( n ? c ) f ( n) f ( n ? c ) f (n)可以为一次,二次、指数、抽象、混合型函数

常见形式:
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ; ? ( ? ); n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 2)(n ? 1)

(a ? 1)a a ?a 1 1 ? n ? n?1 ? n n n ?1 n ?1 (a ? b)(a ? b) (a ? b)(a ? b) (a ? b) (a ? b)
n

n ?1

n

类型二:
通过有理化、对数的运算法则、公式的变形、阶乘和组合数 等直接裂项

k 如:无理型:an ? 进行分母有理化。 f (n)+f (n ? c) 1 若an ? , 则an的前n项和为___ (n ? 1) n ? n n ? 1

常见形式:
(1) 1 n?k ? 1 ? ( n?k ? k n n)

an?1 (2) log a ? log a an?1 ? log a an (a ? 0且a ? 1) an

(3)n ? n! ? (n ? 1)!? n!
n ?1 1 1 (4) ? ? n ! (n ? 1)! n !

(5)C

m n?1

?C ? C
m n

m?1 n

tan ? ? tan ? (6) tan ? tan ? ? ?1 tan(? ? ? )
如:化简:tan1tan 2 ? tan 2 tan 3 ? ?? tan n tan(n ?1)

例1:化简下列各式:
1 1 1 (1)1 ? ? +...+ 1 ? 2 1+2+3 1+2+3 ? ... ? n 1 2 3 n ?1 (2) + + +... ? 2! 3! 4! n! 1 1 1 1 (3) + + +... ? 3 ?1 2 ? 2 5? 3 n?2 ? n 2 2 2 2 2 4 6 (2n) (4) + + +... ? 1? 3 5 ? 3 5 ? 7 (2n ? 1)(2 n ? 1)

例2、 (2013江西卷) 已知正项数列?an ?的前n项和为S n满足: (1)求数列?an ?的通项an Sn 2 ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0

n ?1 (2)令bn ? , 数列?bn ?的前n项和为Tn ; 证明: 2 2 (n ? 2) an 5 对?n ? N , 都有Tn ? 64
*

注意:利用裂项相消法求和时 (1)应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项,也有可能前面剩多项,后面也剩多项, (2)再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前 面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通 项公式相等.

变式:若数列?an ?的前n项和为S n满足: 4 1 n ?1 2 S n ? an ? ? 2 ? 3 3 3 (1)求an 2 3 (2)设Tn ? , 求证:T1 ? T2 ? ? ? Tn ? Sn 2
n

练习:步步高P 3及跟踪训练3 93例

课堂小结:
1、分解与组合思想在数列求和中的应用。 2、裂项相消常用于方式和根式求和。 可以用通项裂解,也可以利用首项裂解, 甚至可以利用待定系数法去完成裂开通项


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