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高三一轮复习---数列求和



山东省实验中学 2011 届高三数学复习第一轮材料

第四章

数列

§ 5.5 数列求和
一、基本知识 1.公式法:直接运用等差、等比数列的求和公式进行数列的求和. 2.分组求和:把数列的通项进行适当的分拆,使之可转化为等差或等比数列的求和. 3.列项求和:型如 {

1 的数列, (其

中{an}为等差数列)可通过裂项的方式求和. } an an?1

4.错位相减:若数列{cn}满足 cn ? an bn (其中{ an }为等差数列,{ bn }为等比数列)可运用错 位相减进行数列的求和. 二、典型例题 例 1. (公式法求和) (1) .常用数列的前 n 项和: 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? ______________

1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1) ? _______________ 12 ? 2 2 ? 32 ? ?? ? n 2 ? _______________
(2) 求数列

22 24 , , y y2

,

22 n , yn

,求前 2k 项的和.

例 2.(分组求和) (1)求和(1+2)+(3+4)+…+(2n-1+2n) (2)求和 ( x ?

1 1 ) ? ( x2 ? 2 ) ? y y

? ( xn ?

1 ) yn

例 3. 求和(裂项求和) (1) Sn ?

1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3

?

1 n(n ? 1)
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(2).

1 1 ? ? 1? 3 3 ? 5

?

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

(3)

1 1 1 1 ? ? ??? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

(4) Sn ?

1 1? 2

?

1 2? 3

?

?

1 n ? n ?1

例 4.求和(错位相减) (1)

1 3 5 ? 2 ? 3? 2 2 2

?

2n ? 1 2n

(2) 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 3

n

(3)已知数列{an+1}是等比数列, a1 ? 1 , q ? 2 ,求 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan

例 5. (倒序求和)求和 S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n ? 1)Cn
0 1 2

n

三、课堂练习 1.求(x-2)+(x2-2)+…+(xn-2) 2.求数列 1,(1+2),(1+2+22),……,(1+2+22+……+2n?1),……前 n 项和
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3. 求 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n

4. 求 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?
2 2 2 2

? 992 ? 1002

5. 数列

22+ 1 32+ 1 42+ 1 , ,2 ,……的前 10 项和为( ). 2 2 2- 1 3- 1 4- 1

(A)

17 55

(B)11

11 12

(C)11

43 132

(D)11

89 132

6. 求

1 1 1 ? ??? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2)(3n ? 1)

7. 数列{an}成等比数列,各项都为正数,且 q≠1,求证:

1 1 ? ? lg a1 lg a2 lg a2 lg a3

?

1 lg an?1 lg an

?

n ?1 lg a1 lg an

8.(2010 重庆)已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .

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9..(2010 山东) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

四、规范训练 1.数列 1 ? 1 ,

1 1 1 1 ? 4 , 2 ? 7 , 3 ? 10 , ??, n ?1 ? (3n ? 2) ,?? 的前 n 项和. a a a a

2.求 (a ? 1) ? (a2 ? 2) ?

? (an ? n)

3.求和 1)

1 1 1 ? ??? 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

2)

1 1 1 ? ??? 3? 5 5? 7 (2n ? 1)(2n ? 3)

4.求和 1? 3 ? 2 ? 5 ?

? n(2n ? 1)

5*.求和 S n ?

1 3 5 7 n ?1 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? 1? 2 4 8 16 2n 1 n n ?1 2n

6. (2009 全国卷Ⅰ理)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn

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