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高中数学全程复习方略3.1.1&3.1.2 变化率问题、导数的概念(共48张PPT)



3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

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1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念的实际背景. 2.知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵. 3.会利用导数定义求函数在某一点处的导数.

1.本课重点是导数的定义的理解与函数平均变化率、导数的

求 法. 2.本课难点是利用导数的定义求函数在某点处的导数.

1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式:
?y f (x 2 ) - f (x1 ) = . ?x x 2 - x1

之比 (2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量_____. (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.

2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

f ? x 0 ? ?x ? ? f ? x 0 ? ?y (1)定义式: lim = lim . ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

平均 (2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,_____ 变化率 _______趋近的值. (3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.

3.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数定义式: f′(x0)=y′|x=x0= lim = lim
?x ?0

?y ?x ?0 ?x f ? x 0 ? ?x ? ? f ? x 0 ?
?x

.

(2)实质:函数y=f(x)在x=x0处的导数即函数y=f(x)在x=x0处 瞬时变化率 的___________.

1.在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的增量Δ x是否可以为
任意实数,Δ y呢?

提示:在平均变化率的定义中,增量Δx可正、可负,但不能等
于0;而Δy可以为任意实数. 2.能否认为函数在x=x0处的导数越大,其函数值的变化就越大? 提示:这种说法不正确.应说导数的绝对值越大,函数值变化越快.

3.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δ x时,函数的改
变量Δ y为________. 【解析】x0处的函数值为f(x0),x0+Δx处的函数值为 f(x0+Δx),所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0). 答案:f(x0+Δx)-f(x0) 4.函数y=f(x)=x在x=0处的导数为________.
?y ?x ? 【解析】∵Δy=(0+Δx)-0=Δx,∴ =1. ?x ?x ?y ?x ∴f′(0)= lim ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?x ?0

答案:1

1.对平均变化率的解读 (1)平均变化率的几何意义

平均变化率的几何意义是表示函数y=f(x)图象上割线P1P2的
f x ?f x 斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))),即 k P P ? ? 2 ? ? 1 ? .
1 2

x 2 ? x1

(2)平均变化率的取值 平均变化率可以表现函数的变化趋势,平均变化率为0,并不 一定说明函数f(x)没有发生变化.

(3)平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在

时间段[t1,t2]上的平均速度,即 v ? s ? t 2 ? ? s ? t1 ? .
t 2 ? t1

2.平均变化率与瞬时变化率的关系 (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢.

(2)联系:当Δ x趋于0时,平均变化率 ?y 趋于一个常数,这
?x

个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.

3.对函数平均变化率公式的拓展 (1)如果记Δ x=x2-x1,可用x1+Δ x代替x2.类似的,Δ y= f(x2)-f(x1)=f(x1+Δ x)-f(x1),于是平均变化率可以表示为
?y f ? x 2 ? ? f ? x1 ? f ? x1 ? ?x ? ? f ? x1 ? 式子中的Δ x是一个整体 ? ? . ?x x 2 ? x1 ?x

符号,不是Δ 与x相乘.

(2)公式中,分子是区间两端点间的函数值的差,分母是区间

两端点间的自变量的差.
(3)公式中,分子、分母中的被减数同为右端点,减数同为左

端点,反之亦可,但一定要同步.
4.对函数在某一点处导数的三点认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值,是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限,不是变量. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关,与Δ x无关. (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率,应用非常广泛.

求函数的平均变化率

【技法点拨】
求函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量:Δ x=x2-x1. (2)求函数值的增量:Δ y=f(x2)-f(x1). (3)作商求函数的平均变化率:?y ? f ? x 2 ? ? f ? x1 ? .
?x x 2 ? x1

【典例训练】

1.y= 12 在x0到x0+Δ x之间的平均变化率为________.
x

2.已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与 g(x)在-3到-1之间和在1到1+Δ x之间的平均变化率. 【解析】1.∵ ?y ?
1 1 ? 2, 2 (x 0 ? ?x) x 0

1 ∴y= 2 在x0到x0+Δx之间的平均变化率为 x 1 1 ? 2 2 2x 0 ? ?x ?y (x 0 ? ?x) x 0 ? ?? . 2 2 ?x ?x (x 0 ? ?x) 0 x

答案:?

2x 0 ? ?x 2 ( x 0 ? ?x ) 0 2 x

2.(1)∵Δx=-1-(-3)=2, Δy=f(-1)-f(-3) =[3×(-1)+1]-[3×(-3)+1]=6. ∴ ?y ? 6 =3.
?x 2

即f(x)在-3到-1之间的平均变化率为3.
同理,∵Δx=-1-(-3)=2,

Δy=g(-1)-g(-3)
=[2×(-1)2+1]-[2×(-3)2+1]=-16.



?y ?16 =-8. ? ?x 2

即g(x)在-3到-1之间的平均变化率为-8. (2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)

=[3×(1+Δx)+1]-(3×1+1)=3·Δx,
∴ ?y ? 3?x =3.
?x ?x

即f(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为3.

同理,∵Δy=g(1+Δx)-g(1)

=[2×(1+Δx)2+1]-(2×12+1)
=4·Δx+2(Δx)2,
2 ?y 4?x ? (?x) =4+2Δx. 2 ∴ ? ?x ?x

即g(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为4+2Δx.

【想一想】解答题1时的运算技巧及题2的关键点是什么? 提示:(1)解答题1可对分子运用平方差公式. (2)解题2时应紧扣函数平均变化率的定义,注意公式中分子 与分母的对应关系,防止代入数值时出错,规范解答.

求函数在某点处的导数 【技法点拨】

1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
求函数的增量

Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)

求函数的 平均变化率

?y f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ? ?x ?x f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

取极限,得导数

f ?(x 0 ) ? lim

简称:一差、二比、三极限.

2.利用定义求函数y=f(x)在点x0处的导数的两个注意点
?y 时,要注意对 ?y 的变形与约分,变 ?x ?x ?y 形不彻底可能导致 lim 不存在. ?x ?0 ?x ?y (2)当对 取极限时,一定要把 ?y 变形到当Δ x→0时,分 ?x ?x

(1)在求平均变化率

母是一个非零常数的形式.

【典例训练】 1.若函数f(x)在x=a处的导数为m,那么
f(a ? ?x) f(a ? ?x) ? =_________. ?x ?0 ?x lim

2.求函数f(x)=3x2+ax+b在x=1处的导数.

f(a ? ?x) f(a) ? ? m, ?x ?0 ?x f(a ? ?x) f(a) ? 则 lim ? m. ?x ?0 ??x ? ∴ lim f(a ? ?x) f(a ? ?x) ?x ?0 ?x f(a ? ?x) f(a) f(a) f(a ? ?x) ? ? ? = lim ?x ?0 ?x ? ? = lim f(a ? ?x) f(a) lim f(a ? ?x) f(a) ? ?x ?0 ?x ?0 ?x ??x

【解析】1.∵ lim

=m+m=2m. 答案:2m

2.解题流程: △y=f(1+△x)-f(1) 一作差 =[3(1+△x)2+a(1+△x)+b]-(3+a+b)

=3(△x)2+(6+a)△x
二作比
?y =3△x+6+a ?x ?y ? 6?a ? x ?0 ?x lim

三求极限

下结论

f′(1)=6+a

【总结】解答本题1的解题心得与题2的注意点. 提示:(1)解题1时卡准公式形式是关键,要注意平均变化率
? ? 的几种变形.如 f(a ? ?x) f(a) f(a ? ?x) f(a) ? . ?x ??x

(2)解题2取极限时,要注意先对

?y 化简,确保Δx→0时式 ?x

子有意义.

求物体运动的瞬时速度 【技法点拨】 求瞬时速度的步骤 (1)设非匀速直线运动的轨迹方程是s=s(t).

(2)求时间的改变量Δ t,位移改变量Δ s=s(t0+Δ t)-s(t0).
(3)求平均速度 v ? ?s .
?t

(4)求瞬时速度: v ? lim ?s .
?t ?0

?t

【典例训练】
1.一个物体的运动方程为s=(2t+1)2,其中s的单位是米,t的 单位是秒,那么该物体在1秒末的瞬时速度是( (A)10米/秒 (C)12米/秒 (B)8米/秒 (D)6米/秒 )

2.一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?并说明 它的意义.

【解析】1.选C.∵s=4t2+4t+1, Δs=[4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1]-(4×12+4×1+1) =4(Δt)2+12Δt.
2 ?s (?t)? 12?t 4 ? =4Δt+12. ?t ?t ?s ∴ v ? lim ? lim ? 4?t ? 12 ? ? 12(米/秒). ?t ?0 ?t ?t ?0 1 2.自由落体的运动公式是s= gt2(其中g是重力加速度), 2

Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32 =29.4Δt+4.9(Δt)2,

?s =29.4+4.9Δt. ?t ?s ∴v= lim ? lim (29.4+4.9Δt)=29.4 m/s. ?t ?0 ?t ?t ?0

说明在第3秒附近小球大约以29.4 m/s的速率下降.

【归纳】求物体的瞬时速度的心得体会. 提示:Δt趋近于0,是指时间间隔Δt越来越短,能越过任意 小的时间间隔,但始终不能为0.Δt,Δs在变化中都趋近于 0,但
?s 趋近于一个常数,这是极限思想,即求函数s(t)在 ?t

某一点处的导数.

【规范解答】瞬时速度与平均速度的求解 【典例】(12分)(2012·天津高二检测)一做直线运动的物体, 其位移s与时间t的关系是s(t)=3t-t2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在t=2时的瞬时速度; (3)求t=0到t=2时的平均速度.

【解题指导】

【规范解答】(1)当t=0时的速度为初速度.

在0时刻取一时间段[0,0+Δt],即[0,Δt],
∴Δs=s(Δt)-s(0)=[3Δt-(Δt)2]-(3×0-02) =3Δt-(Δt)2 ①,…………………………………………2分
?s 3?t ? ?t) ( 2 ② ? ? 3 ? ?t ,……………………………………3分 ?t ?t ?s lim ? lim 3 ? ?t) 3 ③. …………………………………4分 ( ? ?t ?0 ?t ?t ?0

∴物体的初速度为3.

(2)取一时间段[2,2+Δt],

∴Δs=s(2+Δt)-s(2)
=[3(2+Δt)-(2+Δt)2]-(3×2-22) =-Δt-(Δt)2
①,…………………………………………6分 ②,…………………………………7分 ③,…………………………………8分

?s ??t ? ?t) ( 2 ? ? ?1 ? ?t ?t ?t ?s lim ? lim ? 1 ? ?t) ?1 ( ? ?t ?0 ?t ?t ?0

∴当t=2时,物体的瞬时速度为-1.

(3)当t∈[0,2]时,Δt=2-0=2.
Δs=s(2)-s(0)=(3×2-22)-(3×0-02)=2①.……10分
v? ?s 2 ? ? 1 ②. ?t 2

∴在0到2之间,物体的平均速度为1. ……………………12分

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解
题启示总结如下:(注:此处的①②③见规范解答过程) 在解答过程中,若变量相应的取值代错位置或因 计算原因导致①处出错,即Δs的值求错,即使结 ① 果正确,因为步骤出错,也是一分不得;若没有 ①处结果,即Δs的值,跨步解答,即使结果正确, 解析不完整,是考试中常出现的失分点. 在解答过程中,若平均变化率公式记忆错误,导致 ② ②处运算结果出错,则此种情况在实际的考试中, 最多给3分.

失 分 警 示



在解答过程中,若对Δt趋近于0但始终不能为0, Δt,Δs在变化中都趋近于0,但 ③ 常数,不能正确理解,导致③处运算出错.实际考 试中,即使前面的①②正确,最多给3分.这是考 试中最可惜的一种失分情况. (1)解题过程中,对于步骤要求比较严格的题型,要严 格按步骤解答,切忌跳步解答或跨步解答. (2)深刻理解概念与公式的内涵是正确解题的保障.
?s lim (3) ?t ?0 ?t 只要存在,就是一个定数.


警 示

?s 趋近于一个 ?t

解 题 启 示

【规范训练】(12分)求函数y=x+ 1 在x=2时的导数.
x

三步走 【解题设问】(1)解答本题需要分几步?_______ 一差、二比、三极限 (2)具体步骤是什么?___________________ 【规范答题】∵Δy=[(2+Δx)+
1 1 ] -(2+ ) 2 ? ?x 2

?x , ……………………………………………4分 (2 ? ?x) 2 ?x ?x ? …………………………8分 ?y 1 (2 ? ?x) 2 ? ? 1? , ?x ?x (2 ? ?x) 2 1 ∴y′|x=2= lim ?y ? lim 1 ? ( ) ?x ?0 ?x ?x ?0 (2 ? ?x) 2 1 3 = 1 ? ? . …………………………………………………12分 4 4

= ?x ?

1.自变量x从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之 比是函数( )

(A)在区间[x0,x1]上的平均变化率 (B)在x0处的变化率 (C)在x1处的变化量 (D)在区间[x0,x1]上的导数

【解析】选A.由平均变化率的定义知,该比值是在区间[x0,
x1]上的平均变化率.

2.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+Δ x)上的平均变化率 ?y
?x

等于( (A)4

) (B)4+2Δ x (D)4x

(C)4+2(Δ x)2

【解析】选B.因为 Δy=[2(1+Δx)2-1]-(2×12-1)

=4Δx+2(Δx)2,所以 ?y =4+2Δx,故选B.
?x

3.已知函数y=f(x),下列说法错误的是(

)

(A)Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)叫函数增量
f x ? ?x ? ? f ? x 0 ? (B) ?y ? ? 0 叫函数在[x0,x0+Δ x]上的平均变 ?x ?x

化率
(C)f(x)在点x0处的导数记为y′ (D)f(x)在点x0处的导数记为f′(x0) 【解析】选C.f(x)在点x0处的导数应记为y′|x=x0.

4.已知函数f(x)=2x-3,则f′(5)=_______. 【解析】∵Δy=f(5+Δx)-f(5)=[2(5+Δx)-3](2×5-3)=2Δx, ∴ ?y =2,
?x

∴f′(5)= lim

?y =2. ?x ?0 ?x

答案:2

5.已知:质点的运动方程为s= 1 t2+t,求何时质点的速度为2.
4

【解析】设在t0时刻质点的速度为2,∵s= 1 t2+t,
4

Δs= 1(t0+Δt)2+(t0+Δt)-( 1 t02+t0)
4 1 = 1 t0·Δt+ (Δt)2+Δt, 4 4 2 ?s = 1 t + 1 Δt+1, 0 ?t 2 4 1 1 lim 1 ∴v ? lim ?s = ?t ?0 ( t0+ Δt+1)= t0+1. ?t ?0 ?t 2 4 2 由 1 t0+1=2得t0=2. 2

即t=2时质点的速度为2.



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