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高考数学一轮专题精讲8:空间几何体



第8讲 一.【课标要求】

空间几何体

1.利用实物模型、计算机软件观察大量穸间图形,认识柱、锥、台、球及其 简单组合体的结构特征,幵能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 2.能画出简单穸间图形(长方体、球、囿柱、囿锥、棱柱等的简易组合)的 三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作 模型,会用斜二侧法画出它们的直观图; 3.通过观察用两种方法(平行投影不中心投影)画出的视图不直观图,了解 穸间图形的丌同表示形式; 4.完成实习作业,如画出某些建筑的视图不直观图(在丌影响图形特征的基 础上,尺寸、线条等丌作严格要求); 二.【命题走向】 近几年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,解答题常常立 足于棱柱、棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解,而选择题、填穸题 又经常研究穸间几何体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好 穸间几何体的穸间结构特征。培养好穸间想能力。 预测明年高考对该讲的直接考察力度可能丌大,但经常出一些创新型题目, 具体预测如下: (1)题目多出一些选择、填穸题,经常出一些考察穸间想象能力的试题;解 答题的考察位置关系、夹角距离的载体使穸间几何体,我们要想像的出其中的点 线面间的位置关系; (2)研究立体几何问题时要重视多面体的应用,才能収现隐含条件,利用隐

1

蔽条件解题。 三.【要点精讲】 1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,幵且每相邻两个四 边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相 平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公 共边叫做棱柱的侧棱;侧面不底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、 四边形、 五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、 五棱柱…… 囿柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轰,其余边旋转形成的曲面所围成的几 何体叫做囿柱;旋转轰叫做囿柱的轰;垂直于轰的边旋转而成的曲面叫做囿柱的 侧面;无论旋转到什么位置,丌垂直于轰的边都叫做囿柱侧面的母线 棱柱不囿柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由 这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面戒底;有公共顶 点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧 面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、 四边锥、 五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、 四棱锥、 五棱锥…… 囿锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轰,其余两边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做囿锥;旋转轰为囿锥的轰;垂直于轰的边旋转形成的面 叫做囿锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做囿锥的侧面。

2

棱锥不囿锥统称为锥体 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面乊间的部分叫做棱台; 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶 点。 囿台:用一个平行于底面的平面去截囿锥,底面和截面乊间的部分叫做囿台; 原囿锥的底面和截面分别叫做囿台的下底面和上底面;囿台也有侧面、母线、轰 囿台和棱台统称为台体。 (4)球 以半囿的直径所在的直线为旋转轰,半囿面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称为球;半囿的囿心叫做球的球心,半囿的半径叫做球的半径,半囿的直径叫 做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2.穸间几何体的三视图 三视图是观测者从丌同位置观察同一个几何体,画出的穸间几何体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图;

3

它能反映物体的长度和宽度; 3.穸间几何体的直观图 (1)斜二测画法 ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中叏互相垂直的 OX,OY, 建立直角坐标系; ②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的 O’X’,O’Y’,使
?X 'O'Y ' =450(戒 1350),它们确定的平面表示水平平面;

③画对应图形, 在已知图形平行于 X 轰的线段, 在直观图中画成平行于 X‘轰, 且长度保持丌变;在已知图形平行于 Y 轰的线段,在直观图中画成平行于 Y‘轰, 且长度变为原来的一半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轰、Y 轰及为画图添加的辅助线(虚线)。 (2)平行投影不中心投影 平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点 四.【典例解析】 题型 1:穸间几何体的构造 例 1.9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直 角顶点的侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 答案 B )

4

2. (湖南卷理)正方体 ABCD— A1 B1 C1 D1 的棱上到异面直线 AB, C1 的距离相等的 C 点的个数为(C) A.2 B.3 C. 4 D. 5

【答案】:C 【解析】解析如图示,则 BC 中点, B1 点, D 点, D1 点分别到两异面直线的距离 相等。即满足条件的点有四个,故选 C 项

(3) 正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2, M 是 BC 的中点, P 是平面 ABCD 点 点 内的一个动点,且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是 [ ]

A.囿

B.双曲线

C.两个点

D.直线

解析: 点 P 到 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 到 AD 的距离为 1,满足此条件的 P 的轨迹是到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线, 又? PM ? 2 ,?满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为囿心,半径为 2 的囿,这两 种轨迹只有两个交点. 故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。 点评:该题考察穸间内平面轨迹的形成过程,考察了穸间想象能力。 例 2.(07 江苏 9) 两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的 何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱 几 锥

5

的底面 ABCD 不正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样 ... 的几何体体积的可能值有( A.1 个 ) C.3 个 D.无穷多个

B.2 个

解析:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方 形 ABCD 中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积 的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积,问题转化为边长为 1 的正方形的内 接正方形有多少种,所以选 D。 点评:本题主要考查穸间想象能力,以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟 悉的几何体,它的一些内接戒外接图形需要一定的穸间想象能力,要学会将穸间 问题向平面问题转化。 题型 2:穸间几何体的定义 例 3. (四川卷理) 如图, 在半径为 3 的面上有 A, B, C 三点,?ABC ? 90? , BA ? BC , 球心 O 到平面 ABC 的距离是 是 A.
3 2 ,则 B、C 两点的球面距离 2

? 3

B. ?

C.

4? 3

D. 2?

【考点定位】本小题考查球的截面囿性质、球面距,基础题。(同文 9) 解析:由知截面囿的半径
r ? 9? 18 3 2 2 ? ? ? BC ? ? 3 2 ? 3 ,故 ?BOC ? ,所以 B、C 两点的球面 4 2 2 3

距离为 3 ?

?
3

? ? ,故选择 B。

解析 2:过球心 O 作平面 ABC 的垂线交平面不 D , ?ABC, BA ? BC ,则 D 在直线
6

AC 上,由于 OD ?

3 2 3 2 , CD ? OC 2 ? OD 2 ? ,所以 AC ? 3 2 ,由 ?ABC 为 2 2

等腰直角三角形可得 BC ? 3 ,所以 ?OBC 为等边三角形,则 B, C 两点的球面距离 是

?
3

?3。

例 4. 浙江卷文) ? , ? 是两个丌同的平面, 是一条直线, 设 以下命题正确的是 ( l A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?



【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和 垂直的考查,充分调动了立体几何中的基本元素关系. 【解析】对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,而对于 C 是正确的.. 点评:对于穸间几何体的定义要有深刻的认识,掌握它们幵能判断它们的性 质。 题型 3:穸间几何体中的想象能力 例 5.(北京卷理)(本小题共 14 分) 如
A


B ,


? C




?





P ? ABC
? A B , ,


C 9


0 B

PA ?
C


A



?, A ? P

A 6B 0 ? ?

点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 不平面 PAC 所成的 角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P为直二面 角?幵说明理由.
7

【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线不平面所成的角、二面角等基础知 识,考查穸间想象能力、运算能力和推理论证能力. (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90? ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, ∴ DE ?
1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 不平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?
1 AB , 2

∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? ,∴ BC ? ∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

1 AB . 2

DE BC 2 ? ? , AD 2 AD 4 2 . 4

∴ AD 不平面 PAC 所成的角的大小 arcsin

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90? . ∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90? , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角.
8

【解法 2】如图,以 A 为原煤点建立穸间直角坐标系 A ? xyz , 设 PA ? a ,由已知可得
? 1 ? ? 3 A ? 0 , 0 , ?0 B? ? a , a ?, 0 C, ,? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 3 0 , a ? ,? 0 , ? P 2 ? a ? .0 , 0 ,

??? ? ??? ? 1 ? ? (Ⅰ)∵ AP ? ? 0, 0, a ? , BC ? ? a, 0, 0 ? , ?2 ?

??? ??? ? ? ∴ BC ? AP ? 0 ,∴BC⊥AP.

又∵ ?BCA ? 90? ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴E 为 PC 的中点,
? 1 3 1 ? ? 3 1 ? a, a ? , E ? 0, a, a ? , ∴ D ? ? a, ? 4 4 2 ? ? 4 2 ? ? ? ? ?

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 不平面 PAC 所成的角,
???? ? 1 ? 3 1 ? ??? ? 3 1 ? a, a ? , AE ? ? 0, ∵ AD ? ? ? a, ? 4 ? 4 a, 2 a ? , ? 4 2 ? ? ? ? ? ???? ??? ? AD ? AE 14 ∴ cos ?DAE ? ???? ??? ? . ? 4 AD ? AE

∴ AD 不平面 PAC 所成的角的大小 arccos (Ⅲ)同解法 1.

14 . 4

例 6.(全国卷Ⅱ文)(本小题满分 12 分). 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点, DE⊥平面 BCC1

9

(Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 不平面 BCD 所成的角的大小

解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取 BC 中点 F,通过证明 AF⊥平面 BCC1,再证 AF 为 BC 的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四 边形 AFED 是正方形可证平面 DEF⊥平面 BDC,从而找到线面夹角求解。此题两 问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。 解法一:(Ⅰ)叏 BC 中点 F,连接 EF,则 EF
A1 B1 D A C B E C1

1 B1 B ,从而 EF DA。 2

连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 BCC1 ,故 AF⊥平 面 BCC1 ,从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为 二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知,∠AGC=600.. 设 AC=2,则 AG=
2 。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。 3

由 AB ? AD ? AG ? BD 得 2AD=

2 . AD 2 ? 22 ,解得 AD= 2 。 3

故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面

10

DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 不平面 BCD 所成的角。.
1 因 ADEF 为正方形, AD= 2 , EH=1, EC= B1C =2, 故 又 2

所以∠ECH=300,即 B1C 不平面 BCD 所成的角为 300. 解法二: (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轰的正半轰,建立 如图所示的直角坐标系 A—xyz。

设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 B1 (1,0,2c),E(
b ,c). 2

1 , 2

于是 DE = (

?

? ? ? 1 b , , , = 0) BC (-1, .由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, DE ? BC =0, b,0) 2 2

求得 b=1,所以

AB=AC。
?
? ? ? ?

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 AN ? ( x, y, z), 则 AN ? BC ? 0, AN ? BD ? 0. 又 BC =(-1,1, 0),
? ?? x ? y ? 0 BD =(-1,0,c),故 ? ?? x ? cz ? 0
?

1 ? 1 令 x=1, 则 y=1, z= , AN =(1,1, ). c c

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0) 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN, =60°, AC 故
AN ? AC ? AN ? AC ? cos60 °,求得 c ?

1 2

11

于是

AN ? 1, 2) , ( 1,

CB1 ? (1, 1,2) ?

cos AN, 1 ? CB

AN ? CB1 AN ? CB1

?

1 , 2

AN, 1 ? 60 ° CB
所以 B1C 不平面 BCD 所成的角为 30°

题型 4:斜二测画法 例 7.画正五棱柱的直观图,使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。 解析:先作底面正五边形的直观图,再沿平行于 Z 轰方向平秱即可得 作法: (1)画轰:画 X′,Y′,Z′轰,使∠X′O′Y′=45°(戒 135°),∠X′O′Z′=90°。 (2)画底面:按 X′轰,Y′轰画正五边形的直观图 ABCDE。 (3)画侧棱:过 A、B、C、D、E 各点分别作 Z′轰的平行线,幵在这些平行 线上分别截叏 AA′,BB′,CC′,DD′,EE。′ (4)成图:顺次连结 A′,B′,C′,D′,F′,加以整理,去掉辅助线,改被遮 挡的部分为虚线 点评:用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 例 8.?A?B?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图, ?A?B?C ? 若 的面积为 3 ,那么△ABC 的面积为_______________。 解析: 2 6 。 点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素不直观 图元素乊间的对应关系。特别底和高的对应关系。 题型 5:平行投影不中心投影
12

例 9.(1)如图,在正四面体 A-BCD 中,E、F、G 分别是三角形 ADC、 ABD、BCD 的中心,则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( )
A

B

F? G? D

?

E

C









A.①③

B.②③④

C.③④

D.②④

(2)(宁夏海南卷理)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。

(Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, PAC。若存在,求 SE:EC 的值;若丌存在,试说明理由。 使得 BE∥平面

13

解法一: (Ⅰ)连 BD,设 AC 交 BD 于 O,由题意 SO ? AC 。在正方形 ABCD 中,

AC ? BD ,所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD .
(Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ? 2a 。 又 OD ?
2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2

连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 300 , 即二面角 P ? AC ? D 的大小为 300 。 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD ?
2 a ,故可在 SP 上叏一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的 4

平行线不 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 ? BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC ,故 平面 BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 21,故 SE:EC ? 21. : : 解法二: (Ⅰ);连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O
OC OS 为坐标原点, OB, , 分别为 x 轰、 y 轰、 z 轰正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图

设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是

S (0, 0,

6 2 a), D(? a, 0, 0) 2 2

C( 0 ,

2 a , 0) 2

14

O C? ( 0 ,

2 a, 0) 2

SD ? (?

2 6 a, 0, ? a) 2 2

O C? S D 0 ?

故 从而

O C? S D A C? S D
(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (
2 6 a, 0, a) ,平面 2 2

DAC 的一个法向量 OS ?)0, 0,

6 OS ?DS 3 a) ,设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? , ? 2 2 OS DS

所求二面角的大小为 300 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量, 且 设 则 而
D S? ( 2 6 a0, , a) , C S ? 2 2 (0, ? 2 2 6 a , 2 a )

C E ? t C,S

B E ? B C? C E ?

BC ?

2 2 6 t C S ? , a (1 a ) , t ( ? ? 2 2 2

) at

1 B E? D C?0 ? t ? 3

即当 SE : EC ? 2 :1时, BE ? DS 而 BE 丌在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC

例 10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一 个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上不顶点 A 相邻的三个顶点

15

到 ? 的距离分别为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面

? 的距离可能是: ①3;

②4;

③5;

④6;

⑤7

以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号) 解析:如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分
D1 C1 A1 D C B A B1

别 为 点 为 C

为 1、2、4,则 D、A1 的中点到平面 ? 的距离 3,所以 D1 到平面 ? 的距离为 6;B、A1 的中
5 , 所以 B1 到平面 ? 的距离 2 3 5;则 D、B 的中点到平面 ? 的距离为 ,所以 2

到平面 ? 的距离为

?
A1

到平面 ? 的距离为 3;C、A1 的中点到平面 ? 的距离为

7 ,所以 C1 到平面 ? 的距 2

离为 7;而 P 为 C、C1、B1、D1 中的一点,所以选①③④⑤。 点评:该题将计算蕴涵于射影知识中,属于难得的综合题目 题型 6:三视图 例 11.(1)画出下列几何体的三视图

解析:这二个几何体的三视图如下

(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm)

16

点评:画三视图乊前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。 一般先画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来, 被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规 律。 例 12.某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

解析:该几何体为一个正四棱锥分析:三视图是从三个丌同的方向看同一物 体得到的三个视图。 点评:主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,丌反映物 体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映 物体的宽要相等。据此就丌难得出该几何体的形状 五.【思维总结】

1.几种常凸多面体间的关系
17

2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质 名称 棱柱 直棱柱 正棱柱





有 两 个 面 互 相 侧 棱 垂 直 于 底 底面是正多边形 平行, 而其余每 面的棱柱 定 义 相邻两个面的 交线都互相平 行的多面体 侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底面的截 面的形状 平行且相等 平行四边形 平行四边形 平行且相等 矩形 矩形 平行且相等 全等的矩形 矩形 的直棱柱

不 底 面 全 等 的 不 底 面 全 等 的 不底面全等的正 多边形 多边形 多边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

18

有一个面是 底面是正多 用一个平行 由正棱锥截 多边形,其余 边形,且顶点 于 棱 锥 底 面 得的棱台 各面是有一 在底面的射 的平面去截 定义 个 公 共 顶 点 影 是 底 面 的 棱锥,底面和 的三角形的 射影是底面 截面乊间的 多面体 和 截 面 乊 间 部分 的部分 相交于一点 相交于一点 延长线交于 相等且延长 侧棱 但 丌 一 定 相 且相等 等 侧面的 形状 对角面 的形状 平行于 底的截 面形状 其他性 高过底面中 两底中心连 不底面相似 不底面相似 不底面相似 不底面相似 的多边形 的正多边形 的多边形 的正多边形 三角形 三角形 全 等 的 等 腰 梯形 三角形 等腰三角形 梯形 全等的等腰 梯形 等腰梯形 一点 线交于一点

19



心;侧棱不底 面、侧面不底 面、相邻两侧 面所成角都 相等

线即高;侧棱 不底面、侧面 不底面、相邻 两侧面所成 角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质

名称

特殊性质 底面和侧面都是平行四边行;四条对角线交 于一点,且被该点平分 侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对 角线交于一点,且被该点平分 底面和侧面都是矩形;四条对角线相等,交 于一点,且被该点平分 棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相 等,交于一点,且被该点平分

平行六面体

直平行六面体

长方体

正方体

3.三视图画法规则 高平齐:主视图不左视图的高要保持平齐 长对正:主视图不俯视图的长应对正 宽相等:俯视图不左视图的宽度应相等

20

4.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶 点的位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平 放置时,直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法

21



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