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3.4(补充)函数图像的对称性和周期性2014.11



3.4(补充) 函数的对称性与周期性

函数的奇偶性: 对于函数y ? f ( x)定义域内的任意x, ①都有f (? x) ? f ( x), 则称f ( x)为偶函数; ②都有f (? x) ? ? f ( x), 则称f ( x)为奇函数.
本质: 当自变量的对应点关于原点对称时, 函数值总相等或互为相反数

另一种表述形

式:若函数y ? f ( x)满足 对任意x1, x2 ? D, 若x1 ? x2 ? 0 ①都有f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则f ( x)为偶函数; ②都有f ( x1 ) ? ? f ( x2 ), 则f ( x)为奇函数.

探究1: 上述定义中, 若将“自变量关于原点对称”, 改为“自变量的对应点关于(a, 0)对称”会得 到什么结果?

结论1: 若函数y ? f ( x)满足对任意x ? D, 都有 f ( x) ? f (2a ? x)(即当自变量的对应点关于 点(a, 0)对称时, 函数值相等), 则f ( x)的图像 关于直线x ? a对称 若函数y ? f ( x)满足对任意x ? D, 都有 f ( x) ? ? f (2a ? x)(即当自变量的对应 点关于点(a, 0)对称时, 函数值互为相 反数), 则f ( x)的图像关于点(a, 0)对称.

例1: 已知函数f ( x) ? x 2 ? 3ax ? b满足对任意x ? R, 都有f ( x) ? f (2 ? x), 且f ( x)的最小值是3, 求a、 b的值. 解: 依题意, x 2 ? 3ax ? b ? (2 ? x)2 ? 3a(2 ? x) ? b恒成立, ? (6a ? 4)( x ? 1) ? 0 ? a ? ? 2, 3 于是f ( x) ? x 2 ? 2 x ? b ? ( x ? 1)2 ? b ? 1, 其最小值是 ? b ? 1 ? 3 ? b ? ?4. 例2: 求证: 函数f ( x) ? ?2 的图像关于点(?3, 0)对称. x?3 ? 2 ? 2 证明: f ( x ) ? f (? 6 ? x ) ? ? x ? 3 ?6 ? x ? 3 ?2[(?3 ? x) ? ( x ? 3)] ? ?0 ( x ? 3)(?3 ? x) ? f ( x) ? ?2 的图像关于点(?3, 0)对称. x?3

探究2:若将结论1中 “f ( x) ? ? f (2a ? x)”改为“f ( x) ? 2b ? f (2a ? x)”或 “f (a ? x) ? ? f (a ? x)”改为“f (a ? x) ? 2b ? f (a ? x)” 会得到什么结果?
结论2: 若函数y ? f ( x)满足对任意x ? D, 都有 f ( x) ? 2b ? f (2a ? x)(即当自变量的对应点 关于点(a, 0)对称时, 函数值之和为2b), 则f ( x) 的图像关于点(a, b)对称.
结论2的另一种叙述: 对于函数定义域内的任意两个自变量x1, x2, 若x1 ? x2 ? 2a, 总有f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b, 或 f ( x1 ) ? 2b ? f ( x2 ), 则函数图像关于点(a, b)对称.

x ? 5 1 例3: 若函数f ( x) ? 的图像关于点(2, )对称, 2 x ? m 2 2 x ? 5 求函数y ? 2 的值域. 2x ? m 解: f ( x) ? f (4 ? x) ? 1 ? m ? ?4. 2 2 4y ? 5 x ? 5 x ? 5 2 y? 2 ? 2 ?x ? ?0 2y ? 1 2x ? m 2x ? 4 2 x 1 ) ? [ 5, ?函数y ? 2 ? 5 的值域是(??, ? ?) 2 4 2x ? m 例4: 定义在R上的函数f ( x)图像关于x ? 2对称, 若x ? 2时,f ( x) ? x 2 ? 2 x, 求f ( x)的解析式. 解: 若x ? 2, 则4 ? x ? 2, 而f ( x) ? f (4 ? x) ? x 2 ? 10 x ? 24, 2 x ? 10 x ? 24 , x ? 2 f ( x) ? 2 x ? 2 x, x?2

?

思考: 1、 如果对函数定义域内的任意自变量x, 都有f (a ? x) ? f (b ? x), 那么函数图像具 有怎样的对称性? 2、 如果对函数定义域内的任意自变量x, 都有f (a ? x) ? f (b ? x) ? 2c, 那么函数图像 具有怎样的对称性?

思考题答案

1、 如果对函数定义域内的任意自变量x, 都有f (a ? x) ? f (b ? x), 那么函数图像关 a ? b 于直线x ? 对称. 2 2、 如果对函数定义域内的任意自变量x, 都有f (a ? x) ? f (b ? x) ? 2c, 那么函数图 a ? b 像关于点( , c)对称. 2

补充:函数的周期性 如果函数y ? f ( x)满足: 存在非零常数T, 使 得f ( x ? T ) ? f ( x)对任意x ? D都成立, 则称函 数f ( x)为周期函数,其中T 是f ( x)的一个周期. 2 x ? 3 x , x ? (0 , 2] 例5: 若函数f ( x) ? , 则f (9) ? f ( x ? 2),x ? (0, 2] 解: f (9) ? f (7) ? ? ? f (1) ? ?2.

?

.

例6: 若奇函数f ( x)满足对任意的x ? R, 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x), 则f (6) ? .

解: 由f ( x ? 2) ? ? f ( x)得, f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (6) ? f (2) ? ? f (0) ? 0

1 例7: 若定义在R上的奇函数f ( x)图像关于x ? 2 对称, 则f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? .

解: 依题意, f ( x) ? f (1 ? x) ? ? f ( x ? 1) ? ? f (2 ? x) ? f ( x ? 2) ? f (1) ? f (1 ? 1) ? f (0) ? 0; f (2) ? f (0) ? 0; f (3) ? f (1) ? 0; f (4) ? f (0) ? 0; f (5) ? f (1) ? 0 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? 0. 例8: 若偶函数f ( x)满足对任意的x ? R, 都有 f ( x ? 3) ? f ( x), 且f (2) ? 0. 则在区间(0, 6) 内f ( x) ? 0的解的个数至少是 .
解: 由f (2) ? 0得, f (?2) ? f (1) ? f (4) ? 0 f (2) ? f (5) ? 0, ? 至少5个解.

思考: 1、 若函数y ? f ( x)是奇函数, 又图像关于点 (a, 0)(a ? 0)对称, 求证: 函数f ( x)是周期函数. 2、 如果函数y ? f ( x)是偶函数, 又图像关于 点(a, 0)(a ? 0)对称, 求证: 函数f ( x)是周期函数. 3、 如果函数y ? f ( x)是奇函数, 又图像关于 直线x ? a(a ? 0)对称, 求证: 函数f ( x)是周期函数. 4、 如果函数y ? f ( x)是偶函数, 又图像关于 直线x ? a(a ? 0)对称, 求证: 函数f ( x)是周期函数. 5、 如果函数y ? f ( x)图像有两条对称轴x ? a 和x ? b(a ? b), 求证: 函数f ( x)是周期函数. 6、 如果函数y ? f ( x)图像有个对称中心(a, 0)和 (b, 0)(a ? b), 求证: 函数f ( x)是周期函数. 7、 如果函数y ? f ( x)图像一个对称中心(a, 0)和 一条对称轴x ? b(a ? b), 求证: 函数f ( x)是周期函数.

思考题答案
1、 如果函数y ? f ( x)是奇函数, 又图像关于 点(a, 0)(a ? 0)对称,则函数y ? f ( x)是周期函数, 其中2 | a | 是它的一个周期. 2、 如果函数y ? f ( x)是偶函数, 又图像关于 点(a, 0)(a ? 0)对称, 则函数y ? f ( x)是周期 函数, 其中4 | a | 是它的一个周期. 3、 如果函数y ? f ( x)是奇函数, 又图像关于 直线x ? a(a ? 0)对称,则函数y ? f ( x)是周 期函数, 其中4 | a | 是它的一个周期. 4、 如果函数y ? f ( x)是偶函数, 又图像关于 直线x ? a(a ? 0)对称,则函数y ? f ( x)是周 期函数, 其中2 | a | 是它的一个周期.

5、 如果函数y ? f ( x)图像有两条对称轴x ? a和 x ? b(a ? b),则函数y ? f ( x)是周期函数, 其中 2 | a ? b | 是它的一个周期. 6、 如果函数y ? f ( x)图像有两个对称中心(a, 0)和 (b, 0)(a ? b),则函数y ? f ( x)是周期函数, 其中 2 | a ? b | 是它的一个周期. 7、 如果函数y ? f ( x)图像有一个对称中心(a, 0)和 一条对称轴x ? b(a ? b),则函数y ? f ( x)是周期函 数, 其中4 | a ? b | 是它的一个周期.

作业一 2 1. 若函数f ( x) ? ? x ? ax ? b满足f (1 ? x) ? f (1 ? x), 且f ( x) ? 0在[0, 4]上有两根不等的实根, 求b的范围. 2.若奇函数f ( x)满足f (?1) ? 0, 且x ? 0时, f ( x) ? x ? a , x?a 求实数a的取值范围. 3.已知函数f ( x)的图像关于点(?2, 0)对称, 且f ( x)在 (?2,? ?)上单调递减, f (0) ? 0, 若( x ? 2) f ( x) ? 0, 求x的取值范围. 4.已知函数f ( x)的图像关于点(1, 2)对称,且x ? 1时, f ( x) ? x 2 ? 3 x,求x ? 1时,f ( x)的解析式. 5.已知f ( x) ? x 2 ? 2 x,若函数y ? g( x)与f ( x)的图像 关于y轴对称,求g( x)的解析式。 6.已知f ( x) ? x 2 ? 2 x,若函数y ? g( x)与f ( x)的图像 关于原点对称. (1)求g( x)的解析式; (2)解不等式:g( x) ? f ( x)? | x ? 1 | .

作业二(共2页) 1.定义在R上的函数f ( x)满足f (? x) ? ? f ( x ? 4), 且 f ( x)在(2,? ?)上递增, 若x1 ? 2 ? x2, x1 ? x2 ? 4, 判断f ( x1 ) ? f ( x2 )与0的大小关系. 2.定义在R上的偶函数f ( x)满足f ( x) ? f (2 ? x), 若 f ( x)在[1, 2)上递增, 判断并证明f ( x)在[3, 4)上的 单调性. 3.定义在R上的奇函数f ( x)满足f ( x ? T ) ? f ( x) (T ? 0), 若将f ( x) ? 0在[?T, T ]上的根的个数记 为n, 求n的最大值. 4.已知函数f ( x)的图像关于直线x ? 2和x ? 4都对 称, 且当0 ? x ? 1时,f ( x) ? x, 求f (19.5)的值. 5.已知函数f ( x) ? 1 ? x , 若f1( x) ? f [ f ( x)], 1 ? 3x f 2( x) ? f [ f1( x)], ?, f n ?1( x) ? f [ f n( x)], 求f 2014(2).

6.定义在R上的函数f ( x)是偶函数,且f ( x ? 1)是 奇函数,若f (0) ? 2014, 求f (2014)的值. 7.若定义在R上的函数g( x), 满足对任意实数x都 有g(1 ? x) ? g(2 ? x)成立, 且方程g( x) ? 0有101 个实根, 求这101个实根之和. 8.函数y ? f ( x)是定义在R上周期为4的周期函数, 且当x ? [?2,2)时,f ( x) ?| x 3 | . (1)求f ( x)在R上的解析式; (2)若f ( x) ? tx在[4n ? 2, 4n ? 2)(n ? N )上只有一 个解, 求实数t的取值范围. 9.定义在 R上的函数 f (x)满足f ( x ? 5) ? f ( x)对 一切 x 恒成立, y ? f ( x)(?1 ? x ? 1)奇函数, 又 x ? [0, 1]时, f ( x)是一次函数, x ? [1, 4]时, f ( x) 是二次函数, 且当 x ?2时, f ( x)取得最小值 ? 5, 求f ( x)在[4, 9]上的解析式.



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