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华师大二附中2013届高三数学周测9



华师大二附中 2013 届高三数学周测 9
满分 150 分
一、填空题(满分 56 分) 1.已知全集 U=R,集合 A ? x | x ? 4 x ? 0 ?, B ? {x | x ? 2} ,则 A ? B =_____________.
2

考试时间 2 小时

?

2. 设 a ? R ,且 (a ? i ) ? i 为正实数,则 a 的值为_____________.
2

3.不等式 x ? 3 ? ax ? a 对一切 3 ? x ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是_____________.
2

4. 若 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 y ? a ? 2 与 y ? 3a 的图像有两个交点,则实数 a 的取值范围是
x

_____________. 5.已知函 数 f ( x ) ? _____________.

x ? sin x ? 1 x ?1

( x ? R ) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M ? m 的值为

1 ?1? 6 设函数 f ( x ) ? x ? ? ? , O 为坐标原点, An 为函数 y ? f ( x) 图象上横坐标为 ? 2 ? x ?1 ???? ? ? 0 )夹 角 为 ? n , 则 满 足 n (n ? N * ) 的 点 , 向 量 OAn 与 向 量 i ? ( 1 , 的

x

5 tan ?1 ? tan ? 2 ? ? ? tan ? n ? 的最大整数 n 的值为_____________. 3
7.数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? n ? n ? 3 ,则通项公式 a n ?
2
n ??



2 n 10 7 8. 在 ( x ? a ) 的展开式中, x 的系数是 15,则 lim(1 ? a ? a ? ? ? a ) ? _____________.

9.某单位有青年职工 160 人, 中年职工人数是老年职工人数的 2 倍, 老、 中、 青职工共有 430 人.为了解职工身体状况, 现采用分层抽样方法进行调查, 在抽取的样本中有青年职工 32 人, 则该样本中的老年职工人数为_____________. 10.(理科)一个袋子里装有外形和质地一样的 5 个白球、3 个绿球、2 个红球,将它们充分 混合后,摸得一个白球记 1 分,摸得一个绿球记 2 分,摸得一个红球记 4 分,用随机变量 ? 表示随机摸得一个球的得分,则随机变量 ? 的方差为_____________. (文科)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同数作和,如果和为偶数得 2 分,和为奇数得 1 分,若 ? 表示取出后的得分,则 E? ? .
2 2

11. 若 直 线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始 终 平 分 圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的 周 长 , 则

1 2 ? 的最小值为_____________. a b
12.已知抛物线 x ? 2 py? p ? 0? 的准线过双曲线
2

y2 x2 ? ? 1 的一个顶点,则抛物线的焦 9 16

点坐标为为_____________. 13. 已 知 : 函 数 f ( x ) ? ?

? log 3 x

( 0 ? x ? 9)

?? x ? 11 ( x ? 9)

,若 a , b , c 均不相等,且

f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a ? b ? c 的取值范围是_____________.
14.(理科)已知正三棱锥 P ? ABC 侧棱长为 1,且 PA, PB, PC 两两垂直,以顶点 A 为球

心,

2 3 为半径作一个球,则球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线,则这条封 3

闭曲线的长度为_____________. (文科)圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为 2? cm,半径为 2 cm,则该圆锥的体积为 _____________ cm .
3

二、选择题(满分 20 分) 15. ( 理 科 ) 设 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 ? a7 ? 1? ? 2012( a7 ? 1) ? 1 ,
3

? a2006 ? 1?

3

? 2012(a2006 ? 1) ? ?1 ,则下列结论正确的是
B. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 D. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

A. S2012 ? 2012 , a2012 ? a7 C. S 2012 ? ?2012 , a2012 ? a7

(文科)已知:数列 ?a n ?满足 a1 ? 16 , a n ?1 ? a n ? 2n ,则

an 的最小值为( n



A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

16.对于平面上的三个不共线向量 AB, AC, AO , 若 AB ? AC ? 2 AO , 则 O 为线段 BC 的中 点; 类比上述结论, 对于空间不共面的向量 AB, AC , AD, AO , 若 AB ? AC ? AD ? 3 AO , 则 O 为 ?BCD 的 A.重心 ( C.垂心
3

) D.内心

B.外心

17.(理科)若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax)(a ? 0, a ? 1) 在区间 ( ? 取值范围是 ( )

1 , 0) 内单调递增,则 a 的 2

A. [ ,1)

1 4

B. [ ,1)

3 4

C. [ ,?? )

9 4

D. [1, ) [来

9 4

?x ? y ? 0 ? (文科)在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 , ( a 为常数)表示的平面区域的 ?x ? a ?
面积是 9,那么 a 的值为 A.-5 B.1 C. 3 2 ? 2 ( ) D. ? 3 2 ? 2

18.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为 A1 D1 的中点, Q 为 A1 B1 上 任意一点, E、F 为 CD 上任意两点,且 EF 的长为定值, 则下面的四个值中不为定值的是 A. 点 P 到平面 QEF 的距离
A1

(

)
P

D1

C1

Q

B1

B. 直线 PQ 与平面 PEF 所成的角 C. 三棱锥 P ? QEF 的体积 D.二面角 P ? EF ? Q 的大小
D C

E

F

A

B

三、解答题(满分 74 分) 19.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A, B, C 的对边, 且 sin A ? sin B ? 3 sin C ? 0, a ? b ? c ? 4 (1)求边长 c 的值;

a2 ? b2 1 2 2 (2)若△ABC 的面积 S ? 1 ? a ? b ,求① sin C 的值; ② 的值。 a sin A ? b sin B 9

?

?

20. A 是由在 ?1, 4 ? 上有意义且满足如下条件的函数 ? ? x ? 组成的集合; ① 对任意 x ? ?1, 2? ,都有 ? ? 2 x ? ? ?1, 2 ? ; ②存在常数 L ? 0 ? L ? 1? ,使得对任意的 x1 , x2 ? ?1, 2? 都有 ? ? 2 x1 ? ? ? ? 2 x2 ? ? L x1 ? x2

2 x ? 15 , x ? ?1,2? ,证明: ? ? x ? ? A ; 18 x 2 ? 15 (2)设 ? ? x ? ? , x ? ?1,2? ,是否存在设 x0 ? ?1, 2 ? ,使得 x0 ? ? ? 2 x0 ? ,如存在,求出 18
(1)设 ? ? x ? ? 所有的 x0 ,如不存在请说明理由!

21.已知:四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是边长为 2 的菱 形,PA ? 平面 ABCD , 且 PA ? 2 ,?ABC ? 60? ,E ,F 分别是 BC , PC 的中点. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2) (理科)求二面角 F ? AE ? C 的大小. (文科)求异面直线 BF , PD 的夹角。
B

P

F A D

E

C

22.已知椭圆 M:

c 6 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率 e ? ? ,椭圆与 x 正半轴交于点 A, 直线 2 a 3 a b

l 过椭圆中心 O ,且与椭圆交于 B、C 两点,B(1,1). (1) 求椭圆 M 的方程; ( 2 )如果椭圆上有两点 P、Q , 使 ?PBQ 的角平分线垂直于 AO ,问是否存在实数

? (? ? 0) 使得 PQ ? ? AC 成立?

23.(理科)实数列 a0 , a1 , a 2 , a3 ? ,由下述等式定义 an ?1 ? 2 ? 3an , n ? 0,1, 2,3,?.
n

(1)若 a0 为常数,求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求依赖于 a0 和 n 的 an 表达式; (3)求 a0 的值,使得对任何正整数 n 总有 an ?1 ? an 成立.

(文科)设 f ( x) 是定义在 R 上的减函数,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 且 f (0) ? 1 , 数列

?a n ?满足 a1 ? 4 , f (log3 an?1 ) f (?1 ? log3 an ) ? 1(n ? N * )
4 4
(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和,试比较 S n 与 6n ? 2 的大小。
2

参考答案
1. [0, 2) 6. 3 2. a ? ?1
? 2 n, n ? 2 7. an ? ? ??1, n ? 1

3. a ? 3 8.
2 3

1 4. (0, ) 3

5. 2 10. 理
3 ? 2

9. 18

129 100




7 5

11. 3 ? 2 2 15 理 A 文B

12. (0,3) 16 A 17 B

13. (9,11) 18 B

14. 理

? 3

三、解答题(满分 74 分) 19.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为三个内角 A, B, C 的对边, 且 sin A ? sin B ? 3 sin C ? 0, a ? b ? c ? 4 (1)求边长 c 的值; (2)若△ABC 的面积 S ? 1 ?

a2 ? b2 1 2 的值。 a ? b 2 ,求① sin C 的值; ② a sin A ? b sin B 9

?

?

解: (Ⅰ) ? sin A ? sin B ? 3sin C ? a ? b ? 3c 而 a+b+c=4,故 c=1…… (Ⅱ)①? S ?ABC ?

?a ? b ? ? 2ab ? 2ab 1 1 ab sin C ? 1 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 9 9 9 ,

?

?

2

? sin C ?

4 9
a2 b2 9 a2 ? b2 9 ? ? ? ,故 ? as i n A bs i n B 4 a sin A ? sin B 4

a b c 9 ②? sin A ? sin B ? sin C ? 4

21.(1) VP ? ABCD ?

4 3 …………4 分 3

(2)取 AC 的中点 O,连接 FO,?F 为 PC 中点,? FO // PA 且 FO ?

面 ABCD ,? FO ? 平面 ABCD .……………………6 分 过 O 作 OG ? AE 于 G , 则 ?F G O 就 是 二 面 角 F ? AE ? C 的 平 面 角.…………………………8 分 由 FO ? 1 , GO ?

1 PA ,又 PA ? 平 2

1 ,得二面角的大小为 arctan 2 ………………14 分 2

22. 已知椭圆 M:

c 6 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率 ? ,椭圆与 x 正半轴交于点 A,直线 l 2 a 3 a b

过椭圆中心 O ,且与椭圆交于 B、C 两点,B(1,1). (1)求椭圆 M 的方程; ( 2 ) 如 果 椭 圆 上 有 两 点 P、Q , 使 ?PBQ 的 角 平 分 线 垂 直 于 AO ,问 是 否 存 在 实 数

? (? ? 0) 使得 PQ ? ? AC 成立?

(1)由题意可知 e ?

6 b ? 1 ? ( ) 2 ,得 a 2 ? 3b 2 3 a

?点B(1,1) 在椭圆上

1 1 4 ? 2 ? 1 解得: a 2 ? 4,b 2 ? 2 3 a b
x2 3y 2 ? ?1 4 4

故椭圆 M 的方程为:

(2)由于 ?PBQ 的平分线垂直于 OA 即垂直于 x 轴,故直线 PB 的斜率存在设为 k,则 QB 斜率为 - k,因此 PB、QB 的直线方程分别为 y = k (x-1)+1, y = -k (x-1) +1

? y ? k ( x ? 1) ? 1 ? 2 2 2 由 ? x2 3y 2 得 ( 1 ? 3k )x ? 6k ( k ? 1 )x ? 3k ? 6k ? 1 ? 0 ① ?1 ? ? 4 ?4
由 ? ? 0 ,得 k ? ?

1 3

?点 B 在椭圆上,x =1 是方程①的一个根,设 P( x p , y p ), Q( xQ , yQ )
? x P ?1 ? 3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 即 ,同理 … ? x ? x ? P Q 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? k PQ ?

y P ? yQ x P ? xQ

?

k ( x P ? x Q ) ? 2k x P ? xQ

k? ?

2(3k 2 ? 1) ? 2k 1 3k 2 ? 1 ? 12 k 3 ? 2 3k ? 1

? A(2,0), C (?1,?1)

? k AC ?

1 3

即: k PQ ? k AC

?向量 PQ // AC ,则总存在实数 ? 使 PQ ? ? AC 成立.

23.实数列 a0 , a1 , a 2 , a3 ? ,由下述等式定义

an ?1 ? 2n ? 3an , n ? 0,1, 2,3,?.
(Ⅰ)若 a0 为常数,求 a1 , a2 , a3 的值; (Ⅱ)求依赖于 a0 和 n 的 an 表达式; (Ⅲ)求 a0 的值,使得对任何正整数 n 总有 an ?1 ? an 成立.

解: (Ⅰ) a1 ? 1 ? 3a 0 , a2 ? ?1 ? 9a0 , a3 ? 7 ? 27 a 0 (Ⅱ)由 an ?1 ? 2 ? 3an , 得
n

an ?1 an 2n ? ? (?3) n ?1 (?3) n (?3) n ?1

令 bn ?

an 2n ,所以 b ? b ? n ? 1 n (?3) n ?1 ( ?3) n

所以 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ? ? ? (bn ? bn ?1 )

? b1 ?

2 22 23 2n ?1 ? ? ? ? ? (?3) 2 (?3)3 (?3) 4 (?3) n

1 2 2 2 ? b1 ? (? )[(? ) ? (? )2 ? ? ? (? )n?1 ] 3 3 3 3 2 2 (? )(1 ? (? ) n ?1 ) 1 3 ? b1 ? (? ) 3 2 3 1 ? (? ) 3 2 2 ? b1 ? (1 ? (? )n?1 ), 15 3
所以

an a 2 2 ? 1 ? (1 ? (? ) n ?1 ) n (?3) ?3 15 3
所以 an ? a1 ? (?3)

2 [(?3)n ? 3 ? 2n ?1 ] 15 2 ? (1 ? 3a0 )(?3)n?1 ? [(?3)n ? 3 ? 2n?1 ] 15
n ?1

?

1 ? [2n ? (?1)n?1 ? 3n ] ? (?1) n ? 3n ? a0 5 1 n?1 n n ?1 n ?1 n ?1 (Ⅲ) an ?1 ? an ? [2 ? (?1) ? 3 ] ? (?1) ? 3 ? a0 5 1 ? [2n ? (?1)n?1 ? 3n ] ? (?1) n ? 3n ? a0 5 1 1 ? ? 2n ? (?1)n ? 4 ? 3n ( ? a0 ) 5 5 1 1 2 n 1 n 所以 n (an ?1 ? an ) ? ( ) ? (?1) ? 4 ? ( ? a0 ) 3 5 3 5 1 2 n 如果 ? a0 ? 0 ,利用 n 无限增大时, ( ) 的值接近于零,对于非常大的奇数 n ,有 5 3 1 an ?1 ? an ? 0 ;如果 ? a0 ? 0 ,对于非常大的偶数 n , an ?1 ? an ? 0 ,不满足题目要求.当 5 1 1 1 a0 ? 时, an?1 ? an ? ? 2n , 于是对于任何正整数 n , an ?1 ? an ,因此 a0 ? 即为所求. 5 5 5

设 f ( x) 是定义在 R 上的减函数,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 且 f (0) ? 1 ,数列 ?a n ? 满足 a1 ? 4 , f (log3

an?1 a ) f (?1 ? log3 n ) ? 1(n ? N * ) 4 4

(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 S n 是数列 ?a n ?的前 n 项和,试比较 S n 与 6n ? 2 的大小。
2

n ?1 n )由题设知 f(log3 4 ) ?f(-1-log3 4 ) =1 (n∈N )可化为
*

a

a

f (log 3

a n ?1 a ? 1 ? log 3 n ) ? f (0) ,∵y=f(x)是定义在 R 上的单调减函数, 4 4 a n ?1 a a a ? 1 ? log 3 n ? 0 即 log 3 n?1 ? log 3 n ? 1 4 4 4 4
? ? an ? a1 a 首 项 , 1 为 公 差 的 等 差 数 列 。 ∴ log3 n ? n ? 1 即 ? 是 以 为 lo g3 4? 4 4

∴ log 3

∴ 数 列 ?lo g3 an= 4 ? 3
n ?1

(n ? N * ) .-

(Ⅱ)Sn=a1+a2+a3+· · · +an =4(1+31+32+· · · +3n-1)=2(3n-1) 当 n=1 时有 Sn=6n2-2=4; 当 n=2 时有 Sn=16<6n2-2=22; 当 n=3 时有 Sn=6n2-2=52; 当 n=4 时有 Sn=160>6n2-2=94; 当 n=5 时有 Sn=484>6n2-2=148. 由此猜想当 n≥4 时, 有 Sn>6n2-2 ? 3n-1>n2.下面用数学归纳法证明: ①当 n=4 时显然成立; * ②假设当 n=k(k≥4,k∈N )时, 有 3k-1>k2; 当 n=k+1 时,有 3k=3· 3k-1>3k2, ∵ k ≥ 4 ∴ k(k-1) ≥ 12, ∴ 3k2-(k+1)2=2k(k-1)-1>0 即 3k2>(k+1)2, ∴ 3k>3k2>(k+1)2, ∴ 3k>(k+1)2,因此当 n=k+1 时原式成立.[来源:Z。xx。k.Com] 由①②可知当 n≥4 时有 3n-1>n2 即 Sn>6n2-2. 综上可知当 n=1,3 时,有 Sn=6n2-2;当 n=2 时,有 Sn<6n2-2;当 n≥4 时,有 Sn>6n2-2。



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