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2013年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及答案


2013 年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
(3 月 8 日下午 4:00—6:00)
班级:: 题 得 号 分 一 姓名: 二 三 四 成绩: 五 合计

评卷人 复核人 考生注意: 1、本试卷共五道大题,全卷满分 140 分; 2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答; 3、解题书写不要超出装订线; 4、不能使用计算器。 一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 本题共有 6 个小题,每题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个答案,其中有且只有一个是正 确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得 7 分;不选、错选或选出的代号 字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1、已知 ?1 ? x ? 0 ,则 ? x 2 ,x, A、 ? x 2 ? x ? C、 x ? ? x 2 ?

1 的大小关系是( x
B、



1 x

1 ? ?x 2 ? x x

1 1 D、 ? x ? ? x 2 x x 2、如图,正方形 ABCD,点 P 是对角线 AC 上一点,连接 BP, 过 P 作 PQ ? BP ,PQ 交 CD
于 Q,若 AP ? CQ ? 2 ,则正方形 ABCD 的面积为( A、 6 ? 4 2 C、 12 ? 8 2 ) B、16 D、32 ) D、 a ? 1
B A P Q C D

3、若实数 a,b 满足 b 2 ? a ? 2b ? 2 ? 0 ,则 a 的取值范围是( A、 a ? ?1 B、 a ? ?1 C、 a ? 1

4、如图,在四边形 ABCD 中, ?B ? 135? , ?C ? 120? , AB ? 6 , BC ? 3 ? 3 , CD ? 6 , 则 AD 边的长为( A、 6 3 C、 4 2
1 1 3 5、方程 ? ? 的正整数解(x,y)的组数是( x y 7


B

C

B、 4 3 D、 3 3
A D



A、0

B、1

C、3

D、5 )

6、已知实数 x,y,z 满足 A、 ?1

y x z y2 x2 z2 ? ? ? 1 ,则 ? ? 的值是( y?z z?x x? y y?z z?x x? y

B、0

C、1 .

D、2

二、填空题(本大题满分 28 分,每小题 7 分)
x 1、x 是正整数,○表示 x 的正约数个数,则③×④÷⑥等于

2、草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70 头牛在 24 天内可以吃完这片青草,30 头牛在 60 天内可以吃完这片青草,则 20 头牛吃完这片青草需要的天数是
?MAN ? 60? ,则 AB 的长是



3、如图,在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、DC 的中点, AM ? 4 , AN ? 3 ,且 . 4、小明将 1,2,3,…,n 这 n 个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示 输入( n ? 1 )个数,且平均值为 30.75,假设这( n ? 1 )个数输入无误,则漏输入的一个数 是 . 三、 (本大题满分 20 分) 解方程 x 2 ? | 2 x ? 1 | ?2 ? 0
D N C M A B

四、 (本大题满分 25 分) 如图,圆内接四边形 ABCD 中, CB ? CD . 求证: CA 2 ? CB 2 ? AB ? AD

B A

C

D

五、 (本大题满分 25 分) 已 知 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c 和 一 次 函 数 y ? ?bx , 其 中 a 、 b 、 c 满 足 a ? b ? c ,
a ? b ? c ? 0 . ?a,b,c ? R ?.

(1)求证:两函数的图象有两个不同的交点 A、B; (2)过(1)中的两点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 A1 、 B1 .求线段 A1 B1 的长的取值范 围。

2013 年全国初中数学联赛(初三组)初试解答
一、 1. 选择题(本大题满分 42 分,每小题 7 分) 1 已知 - 1 < x < 0 ,则 - x 2 , x , 的大小关系是( x A. - x2 < x < C. x < - x2 <
1 x 1 x 1 B. < - x2 < x x 1 D. < x < - x2 x



2.

解:由 - 1 < x < 0 ,得 x + 1 > 0 ,从而 x + x 2 = x(x + 1) < 0 ,所以 x < - x 2 , 1 1- x2 (1- x)(1 + x) 1 又 - x= = < 0 ,所以 < x . x x x x 故选 D. A 如图,正方形 ABCD,点 P 是对角线 AC 上一点,连接 BP, 过 P 作 P PQ⊥BP,PQ 交 CD 于 Q,若 AP=CQ=2,则正方形 ABCD 的面积为 A. 6 + 4 2 C. 12 + 8 2 B.16 D.32

D Q C
D F Q C
为 因

B

A G E、F、G.易证 Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP,所以 FQ=FD=EP= 2 , E P 此正方形 ABCD 的边长为 2 + 2 2 ,所以面积为 (2 + 2 2)2 = 12 + 8 2 . B 故选 C. 2 3. 若实数 a , b 满足 b + a - 2b + 2 = 0 ,则 a 的取值范围是( ) A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1
解:将原式看作为关于 b 的一元二次方程,则其判别式

解:如图,过 P 分别作 PE、PF、PG 垂直于 AB、CD、AD,垂足分别

D = (- 2)2 - 4创 (a + 2) 1 解得 a ? 1 . 故选 A.
4. BC= 3 A. 6 3 C. 4 2

0,

如图,在四边形 ABCD 中,∠ B=135° C=120° ,∠ ,AB= 6 ,
3 ,CD= 6 ,则 AD 边的长为(



B

C

B. 4 3 D. 3 3

解:过 A 和 D 点向 BC 作垂线,垂足为 M 和 N, 那么 BM=AM= 3 ,CN=3,DN= 3 3 ,
MN = BM + BC + CN = 6 ,

A
N B M C

D

所以 AD2 = MN 2 + ( DN - AM )2 = 48,所以 AD= 4 3 . 故选 B. 1 1 3 方程 + = 的正整数解 ( x, y ) 的组数是( x y 7 A.0 解:不妨设 x ? y )

5.

A
D.5

D

B.1 C.3 1 1 3 2 0 ,则 ? ,所以 ? ,解得 y ? 4 . x y 7 y
4 .经验证: y = 3, y = 4 均不符合条件.

又显然 y ? 3 ,即 3 # y

所以,符合条件的解的组数为 0 组.故答案选 A.

6.

已知实数 x, y, z 满足 A. - 1 解:显然 x + y + z 由已知得 ( 即

x y z x2 y2 z2 + + = 1 ,则 + + 的值是( y+ z z+ x x+ y y+ z z+ x x+ y



C.1 x y z + + =- 3 0 ,否则 y+ z z+ x x+ y

B.0

D.2

x y z + + )( x + y + z ) = x + y + z y+ z z+ x x+ y

x2 y2 z2 + x+ + y+ + z= x+ y+ z y+ z z+ x x+ y x2 y2 z2 + + = 0. y+ z z+ x x+ y

所以

故选 B. 二、 填空题(本大题满分 28 分,每小题 7 分) x 1. x 是正整数,○表示 x 的正约数个数,则③×④÷⑥等于 解:③ = 2 ,④ = 3 ,⑥ = 4 ,所以③×④÷⑥ = 2.
3 3 .故填 . 2 2



草原上的一片青草,到处长得一样密一样快,70 头牛在 24 天内可以吃完这片青草,30 头牛 在 60 天内可以吃完这片青草,则 20 头牛吃完这片青草需要的天数是 . 解:设草原上原有草量为 a,每天长出量为 b,并设 20 头牛在 x 天内可以吃完这片青草. 因为一头牛一天的吃草量相等,根据题意可得方程组
a + 24b a + 60b a + bx . = = 70创24 30 60 20 x



a + 24b a + 60b 得 a = 480b . = 70创24 30 60 a + 60b a + bx 3 480 + x 中,得 b = = b, 30? 60 20 x 10 20 x

代入

3.

解得 x = 96 . 故填 96. 如图,在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、DC 的中点,AM=4,AN=3,且 ? MAN 60 ,则 AB 的长 是 . 解:延长 AM 交 DC 的延长线于 F,则△AMB≌ FMC. △ 则 CF=AB,则 NF= 则 AH=
3 AB ,过 N 作 NH 垂直 AF 于 H, D 2

A M N C

B

3 3 1 3 ,故 HF = 2? 4 AN = , NH = 2 2 2

3 13 , = 2 2

NF =

(

3 3 13 2 14 . ) + ( )2 = 7 .所以 AB = NF = 2 2 3 3

故填 4.

14 . 3

小明将 1,2,3,…,n 这 n 个数输入电脑求其平均值,当他认为输完时,电脑上只显示输 入 (n - 1) 个 数 , 且 平 均 值 为 30.75 , 假 设 这 (n - 1) 个 数 输 入 无 误 , 则 漏 输 入 的 一 个 数 是 . 解:依题意得 1 + 2 + ? + n ? 30.75(n 1) ? 2
3 + ?+ n ,

n n+ 2 所以 #30.75 ,即 59.5 #n 61.5 ,所以 n=60 或 61. 2 2 因为 30.75(n - 1) 是整数,所以 n=61.

所以漏输入的数为 故填 46. 三、

61? 62 - 30.75? 60 2

46 .

(本大题满分 20 分)

解方程 x2 - | 2 x - 1| - 2 = 0 . 1 解:当 x ? 时,原方程可化为 x2 - (2x - 1) - 2 = 0 , 2 解得 x1 = 1 +

2 , x2 = 1- 2 . 1 又因为 x2 = 1- 2 < ,故应舍去. ·······················10 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 2
当x<
1 时,原方程可化为 x2 - (- 2x + 1) - 2 = 0 , 2

解得 x3 = - 3 , x4 = 1 . 1 又因为 x4 = 1 > ,故应舍去. 2 所以原方程的解为 x = 1 + 四、 (本大题满分 25 分)
2 和 x = - 3 .···················· 20 分 ··········· ········· ·········· ··········

B

如图,圆内接四边形 ABCD 中,CB = CD, C A 求证: CA2 - CB 2 = AB AD ; E 证明:连结 BD、AC 交于点 E,则 D ? BAE CAD , ? ABE ACD , 所以△ ABE ∽ ACD ,······························ 5 分 △ ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 所以
AB AC , = AE AD

所以 AB ? AD AC AE . ·····························10 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· CAB , ? BCE ACB , 又 ? CBE 所以△ CBE ∽ CA , ······························ 15 分 △ B ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· 所以
CB CA , = CE CB

所以 CB2 = CA CE , ······························· 20 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· 2 所以 CB + AB ? AD CA ?CE CA ? AE CA2 , 所以 CA2 - CB 2 = AB AD .···························· 分 ··························· 25 ·········· ··········· ······ 五、 (本大题满分 25 分) 已 知 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c 和 一 次 函 数 y = - bx , 其 中 a 、 b 、 c 满 足 a > b > c , a + b + c = 0 .( a, b, c ? R). (1)求证:两函数的图象有两个不同的交点 A、B; (2)过(1)中的两点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 A1、B1.求线段 A1B1 的长的取值范 围.
ì y = ax 2 + bx + c ? (1)证明:由 ? 消去 y 得 ax 2 + 2bx + c = 0 , í ? y = - bx ? ?

D = 4b2 - 4ac = 4(- a - c)2 - 4ac = 4(a 2 + ac + c2 ) = 4[(a +

c 2 3 2 ··· ··· ) + c ] . ··· 5 分 2 4

∵a + b + c = 0 , a > b > c , ∴a > 0 , c < 0 .
3 ∴ c2 > 0 , 4

∴D > 0 ,即两函数的图象有两个不同的交点. ·················10 分 ··········· ······ ·········· ······ (2)解:设方程 ax 2 + 2bx + c = 0 的两根为 x1 和 x 2 , 则 x1+x2 = - 2b ,x1x2 = c . ···························· 分 ··························· 15 ·········· ··········· ······ a a | A1B1 |2 = ( x1 - x2 )2 = ( x1 + x2 )2 - 4 x1 x2 2b 2 4c 4b2 - 4ac 4(- a - c)2 - 4ac c c c 1 3 = () = = = 4[( )2 + + 1] = 4[( + )2 + ] . 2 2 a a a 2 4 a a a a ······································· 20 分 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······· ∵a + b + c = 0 , a > b > c ,∴a > 0 , c < 0 ∴a > - a - c > c ,解得 - 2 <
c 1 <- . a 2

∴3 < | A1 B1 |2 < 12 ,故 3 < | A1 B1 | < 2 3 .···················25 分 ··········· ········ ·········· ········


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