9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

三垂线定理及其逆定理-人教版[原创]


(1)射影
p 自一点向平面引垂 线,垂足叫做这点在这 个平面上的射影;

Q
?

O

这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。

A B
?

C

一条直线和一个平面 相交,但不和这个平面垂 直,这条直线叫做这个平 面的斜线,斜线和平面的 交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间 斜线上任意一点 的线段叫做这点到这个平 在平面上的射影,一 面的斜线段。 定在斜线的射影上。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影;
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。

A

定理 从平面外一
点向这个平面所引的
?

B

O

C

垂线段和斜线段中,

(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较 长的斜线段也较长

(2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜 线段的射影也较长
(3)垂线段比任何一条斜线段都短

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别 是平面?的垂线、斜 线,AO是PO在平面? 上的射影。a? ?, a⊥AO。 P

O

a

求证: a⊥PO

? A

P

证明:
PA⊥? a??

O

a

? A

PA ⊥a AO⊥a, AO与PA相交

a⊥平面PAO
PO?平面PAO

a⊥PO

例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面 ABC ,AC ⊥ BC, 求证: PC ⊥ BC 证明:∵PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC A ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC P

B

C

例2 直接利用三垂线定理证明下列各题: (1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM (3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1

P A O B C

P

D1

C1

A1
D A C

B1 D
C

M (2) B

A (3)

(1)

B

我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ,怎么找? P A O

解 题 回 顾

α

A

O

a

α
P

a

P

A1

B1

C1 C C B A M B

三垂线定理解题的关键:找三垂!

解 题 回 顾

怎么找?
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P

α

A

O

a

注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件

使用三垂线定理还应注意些什么?

解 题 回 顾

三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理, 这两条直线可以是: ①相交直线 ②异面直线 e P

d c A

O b

a

α

注意:如果将定理中

解 题 回 顾

“在平面内”的条件 去掉,结论仍然成立 吗?

例如:当 b⊥? 时, b⊥OA

但 b不垂直于OP
P
b

直线a 在一定要在 平面内,如果 a 不 在平面内,定理就 不一定成立。

O

a

α

A

三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P P P O

α

A

O

a

α

A

a

α

A

O

a

直 线 和

平面垂直

平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直

平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P

A

O

a


α

P A

线斜垂直
O

a

平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直

平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知:PA,PO分 别是平面? 的垂线和斜 线,AO是PO在平面? A O

a

α

的射影,a ? ? ,a ⊥PO

求证:a ⊥AO

线射垂直
三垂线定理:





逆定理

线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理

在平面 内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和 这个平面的一条斜线垂直,那 么,它也和这条斜线的射影垂 直。

线斜垂直

例3 在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD 求证:AD⊥BC 证明:作AO⊥平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD,∴BO⊥CD, 同理CO⊥BD, 于是O是△BCD的垂心, ∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.

A

B
O C

D

例4、道旁有一条河,彼岸有电塔AB,高15m,只有测角
器和皮尺作测量工具,能否求出电塔顶与道路的距离? 解:在道边取一点C, 使BC与道边所成水平角等于90°, 再在道边取一点D, 使水平角CDB等于45°, 测得C、D的距离等于20m A
B

90°

C

45°

D

∵BC是AC的射影

且CD⊥BC

∴CD⊥AC

因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 ∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20m 答:电塔顶与道路的距离是25m。
A
B

∴BC=20m,

在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2,AC= 152+202 =25(m)

90°

C

45°

D

练习:
1.已知 PA、PB、PC两两垂直, 求证:P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。

P

B
2.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线,如果斜线和 这个角两边的夹角相等,那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。 C

H

A


赞助商链接

更多相关文章:
三垂线定理及其逆定理》教案
三垂线定理及其逆定理板 书设计一、温故知新 二、定理探索 三、定理证明 四、定理分析 五、例题分析 六、课内联系 七、知识总结 八、作业设计 教后 学记 ...
三垂线定理
三垂线定理和逆定理的论证. 2.三垂线定理及逆定理的简单应用. (二)能力目标 通过探索三垂线定理及其逆定理证明,培养学生观察问题,发现问题的能力和空间想象能力,...
三垂线定理
高二数学 三垂线定理 第 1 页 三垂线定理教学设计(第一课时)【教学目标说明】 (1)三垂线定理及其逆定理都是研究直线和直线的垂直关系的。 它们 在空间图形的...
三垂线定理导学案
BC P 三垂线定理实质上是平面内的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理,这两条直线可以 是相交直线,也可以是异面直线。 探究 2:三垂线定理的逆定理 在...
试用向量证明三垂线定理及其逆定理._答案_百度高考
简答题 数学 三垂线定理 试用向量证明三垂线定理及其逆定理.正确答案及相关解析 正确答案 证明:设直线a上非零向量,要证a⊥PA⇔a⊥OA, 即证•=0⇔•=...
高三数学复习三垂线定理
高三数学复习三垂线定理 - 9.3-2 三垂线定理 【教学目标】 正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理,并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】 O 1.斜线长...
三垂线定理》教案
《三垂线定理》教案_数学_高中教育_教育专区。《三垂线定理》教案基本问题: 三垂线定理及逆定理内容是什么 单元问题: 如何运用三垂线定理和逆定理解题 内容问题: ...
三垂线定理(一)
三垂线定理( 三垂线定理(一)一、教学目标 教学目标 1.三垂线定理及其逆定理的形成和论证. 2.三垂线定理及其逆定理的简单应用. 教学重点、 二、教学重点、难点 ...
三垂线定理word
三垂线定理及其逆定理》教案段宏兴 湖北省监利县柘木中学 邮编:433331 知识目标: 1、掌握三垂线定理及其逆定理; 2、用三垂线定理及其逆定理培养学生的空间想象...
四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面AB...
简答题 数学 直线与平面所成的角、三垂线定理及其逆定理 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2 ,SA=SB=,...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图