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三垂线定理及其逆定理-人教版[原创]



(1)射影
p 自一点向平面引垂 线,垂足叫做这点在这 个平面上的射影;

Q
?

O

这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。

A B
?

C

一条直线和一个平面 相交,但不和这个平面垂 直,这条直线叫做这个平 面的斜线,斜线和平面的 交点叫做斜足。 斜线上一点与斜足间 斜线上任意一点 的线段叫做这点到这个平 在平面上的射影,一 面的斜线段。 定在斜线的射影上。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影;
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。

A

定理 从平面外一
点向这个平面所引的
?

B

O

C

垂线段和斜线段中,

(1)射影相等的两条斜线段相等,射影较 长的斜线段也较长

(2)相等的斜线段的射影相等,较长的斜 线段的射影也较长
(3)垂线段比任何一条斜线段都短

三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么,它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别 是平面?的垂线、斜 线,AO是PO在平面? 上的射影。a? ?, a⊥AO。 P

O

a

求证: a⊥PO

? A

P

证明:
PA⊥? a??

O

a

? A

PA ⊥a AO⊥a, AO与PA相交

a⊥平面PAO
PO?平面PAO

a⊥PO

例1 已知P 是平面ABC 外一点, PA⊥平面 ABC ,AC ⊥ BC, 求证: PC ⊥ BC 证明:∵PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC?平面ABC 且AC ⊥ BC A ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC P

B

C

例2 直接利用三垂线定理证明下列各题: (1) PA⊥正方形ABCD所在平面,O为对角线BD的中点 求证:PO⊥BD,PC⊥BD (2) 已知:PA⊥平面PBC,PB=PC,M是BC的中点, 求证:BC⊥AM (3) 在正方体AC1中,求证:A1C⊥B1D1,A1C⊥BC1

P A O B C

P

D1

C1

A1
D A C

B1 D
C

M (2) B

A (3)

(1)

B

我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ,怎么找? P A O

解 题 回 顾

α

A

O

a

α
P

a

P

A1

B1

C1 C C B A M B

三垂线定理解题的关键:找三垂!

解 题 回 顾

怎么找?
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P

α

A

O

a

注意:由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件

使用三垂线定理还应注意些什么?

解 题 回 顾

三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理, 这两条直线可以是: ①相交直线 ②异面直线 e P

d c A

O b

a

α

注意:如果将定理中

解 题 回 顾

“在平面内”的条件 去掉,结论仍然成立 吗?

例如:当 b⊥? 时, b⊥OA

但 b不垂直于OP
P
b

直线a 在一定要在 平面内,如果 a 不 在平面内,定理就 不一定成立。

O

a

α

A

三垂线定理包含几种垂直关系?
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P P P O

α

A

O

a

α

A

a

α

A

O

a

直 线 和

平面垂直

平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直

平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P

A

O

a


α

P A

线斜垂直
O

a

平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直

平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么,它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知:PA,PO分 别是平面? 的垂线和斜 线,AO是PO在平面? A O

a

α

的射影,a ? ? ,a ⊥PO

求证:a ⊥AO

线射垂直
三垂线定理:





逆定理

线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理

在平面 内的一条直线,如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直,那 么,它就和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和 这个平面的一条斜线垂直,那 么,它也和这条斜线的射影垂 直。

线斜垂直

例3 在四面体ABCD中,已知AB⊥CD,AC⊥BD 求证:AD⊥BC 证明:作AO⊥平面BCD于点O, 连接BO,CO,DO,则BO, CO,DO分别为AB,AC, AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD,∴BO⊥CD, 同理CO⊥BD, 于是O是△BCD的垂心, ∴DO⊥BC,于是AD⊥BC.

A

B
O C

D

例4、道旁有一条河,彼岸有电塔AB,高15m,只有测角
器和皮尺作测量工具,能否求出电塔顶与道路的距离? 解:在道边取一点C, 使BC与道边所成水平角等于90°, 再在道边取一点D, 使水平角CDB等于45°, 测得C、D的距离等于20m A
B

90°

C

45°

D

∵BC是AC的射影

且CD⊥BC

∴CD⊥AC

因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 ∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20m 答:电塔顶与道路的距离是25m。
A
B

∴BC=20m,

在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2,AC= 152+202 =25(m)

90°

C

45°

D

练习:
1.已知 PA、PB、PC两两垂直, 求证:P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。

P

B
2.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线,如果斜线和 这个角两边的夹角相等,那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。 C

H

A



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