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答案版 高二文科数学周练试卷2016.4.23



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高二数学(文科)周练试卷

高二数学(文科)周练试卷
一、填空题(每题 5 分) : 2 1、设集合 M={-1,0,1},N={x|x =x},则 M∩N=________.

解析:M={-1,0,1},N={x|x2=x}={0,1} 则 M∩N={0,1}.答案:{0,1}
2、命题:?x∈R,sin x<2 的否定是________.

解析 全称命题的否定是存在性命题.答案
2

?x∈R,sin x≥2

3、若复数 z=(a +2a-3)+(a-3)i 为纯虚数(i 为虚数单位),则实数 a 的值是________.

解析

2 ?a +2a-3=0, z 为纯虚数,需满足? 解得 a=1.答案 ?a+3≠0, 3

1 a b

4、已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为________.

a a 1 解析 y′=(x3)′=3x2,k=3,由题意,3×b=-1,所以b=-3.
2

答案

1 -3

5、若命题“?x∈R,有 x -mx-m<0”是假命题,则实数 m 的取值范围是________.

解析 “?x∈R,有 x2-mx-m<0”是假命题,则“?x∈R 有 x2-mx-m≥0”是真命 题.即 Δ=m2+4m≤0,∴-4≤m≤0.答案 -4≤m≤0
6、若复数 z 满足|z-i|=1(其中 i 为虚数单位),则|z|的最大值为________.

解析 设 z=x+yi(x,y∈R),则由|z-i|=1,得 x2+(y-1)2=1,由画图可知|z|的最大值为 2.答案 2
7、设 p:f(x)=x +2x +mx+1 在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥ ,则 p 是 q 的________
3 2

4 3

条件. 解析 ∵f(x)=x3+2x2+mx+1,∴f′(x)=3x2+4x+m. 4 由 f(x)为增函数得 f′(x)≥0 在 R 上恒成立,则 Δ≤0,即 16-12m≤0,解得 m≥3.故为充 分必要条件.答案 充分必要
3

8、已知 a>0,函数 f(x)=x -ax 在[1,+∞)上单调递增,则 a 的最大值是________.

解析

因为 f′(x)=3x2-a,所以由题意可得在[1,+∞)上有 3x2- a≥0 恒成立,所以 3

a≤(3x2)min,而(3x2)min=3,所以 a≤3.答案
2

9、 若点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是________.

1 1 解析 设 P(t,t2-ln t),由 y′=2x-x ,得 k=2t- t =1(t>0),解得 t=1.所以过点 P(1,1)

的切线方程为 y=x,它与 y=x-2 的距离 d=
10、函数 f(x)=

2 = 2即为所求.答案 2

2

ln x x 在点(x0,f(x0))处的切线平行于 x 轴,则 f(x0)等于________.

1 x0-ln x0 x0· 解析 与 x 轴平行的切线,其斜率为 0,[来 所以 f′(x0)= 2 x0 = 1-ln x0 1 = 0 ,故 x 2 0=e,∴f(x0)= .答案 x0 e 1 e

x2 y2 11、圆 x2+y2=r2 在点(x0,y0)处的切线方程为 x0x+y0y=r2,类似地,可以求得椭圆 8 + 2 =1 在(2,1)处的切线方程为________. x0x y0y 解析 由类比结构可知,相应的切线方程为: 8 + 2 =1,代入点坐标,所求切线方程为: x y x y + = 1. 答案 4 2 4+2=1
12、若三条抛物线 y=x +4ax-4a+3,y=x +(a-1)x+a ,y=x +2ax-2a 中至少有一条与
2 2 2 2

x 轴有公共点,则 a 的取值范围是________________. 解析 假设这三条抛物线与 x 轴均无公共点,则

? ?Δ2=(a-1)2-4a2<0, ?Δ3=4a2-4(-2a)<0,

Δ1=(4a)2-4(-4a+3)<0,

3 ? 3 ? 解得-2<a<-1.记 A=?-2,-1?,则所求 a 的范围是 ? ? 3? ? ?-∞,-2?∪[-1,+∞) ? ?

3? ? ?RA=?-∞,-2?∪[-1,+∞).答案 ? ?

13 、使得关于 x 的方程 ax2 +2x+1 = 0 至少有一个负实根的充要条件的 a 的取值范围是 ________. 解析 当 a=0 时,原方程变形为一元一次方程 2x+1=0,有一个负实根,当 a≠0 时,原 方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a≥0,即 a≤1, 2 1 设两根分别为 x1,x2,则 x1+x2=-a,x1x2=a, a≤1, ? ? 当有一负实根时,?1 ?a<0, < 0 ? ?a

? ?-2 <0,?0<a≤1. 有两个负实根时,? a 综上所述,a≤1 答案 1 ? ?a>0
a≤1,

(-∞,1]

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2 2 2

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e x +1 ex g?x1? f?x2? 14、设函数 f(x)= ,g(x)= x ,对任意 x1,x2∈(0,+∞),不等式 ≤ 恒成立,则正数 k 的取 x e k k+1 值范围是________. 答案 [1,+∞)

g?x1? f?x2? k g?x1?max 解析 因为对任意 x1,x2∈(0,+∞),不等式 ≤ 恒成立,所以 ≥ . k k+1 k+1 f?x2?min e2x - 因为 g(x)= x ,所以 g′(x)=e2 x(1-x).当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, e 所以 g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减.所以当 x=1 时,g(x)取到最大值,即 g(x)max=g(1) 1 1 1 g?x1?max e 1 =e.又 f(x)=e2x+ ≥2e(x>0).当且仅当 e2x= ,即 x= 时取等号,故 f(x)min=2e.所以 = = ,应 x x e f?x2?min 2e 2 有 k 1 ≥ ,又 k>0,所以 k≥1. k+1 2

二、 (满分 90 分) 15、 (本小题满分 14 分)
? ?1 ? 已知 A=?x?x≥1?,B={y|y=x2+x+1,x∈R}. ? ? ?

(1)求 A,B; (2)求 A∪B,A∩?RB. 解 1-x 1 1 (1)由 x≥1,得x-1= x ≥0,

即 x(x-1)≤0 且 x≠0,解得 0<x≤1,所以 A=(0,1]. ? 1?2 3 3 ?3 ? 由 y=x2+x+1=?x+2? +4≥4,得 B=?4,+∞?. ? ? ? ? 3? 3? ? ? (2)因为?RB=?-∞,4?,所以 A∪B=(0,+∞),A∩(?RB)=?0,4?. ? ? ? ?
16、 (本小题满分 14 分)

已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若非 p 是非 q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围. 解 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴非 p:x<1 或 x>5. q:m-1≤x≤m+1,∴非 q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵非 p 是非 q 的充分而不必要条件, ?m-1≥1, ∴? ∴2≤m≤4. ?m+1≤5.
17. (本小题满分 15 分)

已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1 (1)?x∈R,使 f(x)<b·g(x),求实数 b 的取值范围;

(2)?x∈R,使 f(x)≥b·g(x),求实数 b 的取值范围. 解 (1)由?x∈R,f(x)<b·g(x),得?x∈R,x2-bx+b<0,所以 Δ=(-b)2-4b>0,

解得 b<0 或 b>4,即实数 b 的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞). (2)由?x∈R,f(x)≥b·g(x),得?x∈R,x2-bx+b≥0, 所以 Δ=(-b)2-4b≤0,解得 0≤b≤4.即实数 b 的取值范围是[0,4].
18. (本小题满分 15 分)

已知函数 f(x)=

ln x+k ex (k 为常数,e=2.718 28?是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))

处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; 解 (1)由 f(x)= ln x+k 1-kx-xln x ,得 f ′ ( x ) = (x>0). x e x ex

由题意,得 f′(1)=0,所以 k=1. 1 (2)由(1)得 f′(x)=xex(1-x-xln x)(x>0). 令 h(x)=1-x-xln x(x>0),则当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0,又 ex>0, 所以 x∈(0,1)时, f′(x)>0,x∈(1,+∞)时,f(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1,+∞)
19. (本小题满分 16 分)

请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所 示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的 点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三 角形斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大, 试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值.

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设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm).由已知得 60-2x = 2(30-x),0<x<30. 2

a= 2x,h=

(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800. 所以当 x=15 cm 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也就是最大值, h 1 1 此时a=2,即包装盒的高与底面边长的比值为2.
20. (本小题满分 16 分)

已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 解 (1)由 f(0)=1, f(1)=0, 得 c=1, a+b=-1, 则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex, f′(x)=[ax2

+(a-1)x-a]ex, 依题意需对任意 x∈(0,1),有 f′(x)<0.当 a>0 时,因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图 象开口向上,而 f′(0)=-a<0,所以需 f′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1. 当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对任意 x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符合条件;当 a<0 时,因为 f′(0)=- a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex, 所以 g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时, g′(x)=ex>0, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1, 在 x=1 处取得最大值 g(1) =e.

(ii)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x=0 处取得最大值 g(0)=2, 在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. 1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= 2a >0. 1-a 1 ①若 2a ≥1, 即 0<a≤3时, g(x)在[0,1]上单调递增, g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a, 在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e. 1-a 1-a 1-a 1 ?1-a? ?=2ae ②若 2a <1,即3<a<1 时,g(x)在 x= 2a 处取得最大值 g? 2a ,在 x=0 或 x ? 2a ? =1 处取得最小值. 而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, e-1 e-1 1 则当3<a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a;当 <a<1 时,g(x)在 x=1 处 e+1 e+1 取得最小值 g(1)=(1-a)e.



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