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物理竞赛辅导材料(全面详尽)



于万堂

编著

物 理 自 主 招 生 与 奥 赛 备 考 手 册

1

第一讲:相对运动
一. 参照系的巧妙选取

1. 一小船在河中逆水划行,经过某桥下时,一草帽落于水中顺流而下,半小时后划船人才
发觉,并立即掉头追赶,结果在桥下游 8km 处追上草帽

,求水流速度的大小.设船掉头 时间不计,划船速率及水流速率恒定.

2. 火车以速度 v1 匀速行驶, 司机发现前方同轨道上相距 s 处有另一火车沿同方向以速度 v2
(对地,且 v1>v2)做匀速运动。司机立即以加速度 a 紧急刹车,要使两车不相撞,a 应满足什么条件?

3.A 球自塔顶自由落下,当她下落高度 a 时,另一球 B 在离塔顶高度 b 处开始自由落下, 结果两个球同时落地,则 B 球的下落时间为多少

4. 在十字交叉路口,当汽车甲经交叉路口向南行驶时,汽车乙正在叉路口正东方向距离路 口 L 处向路口行驶,已知甲、乙均作匀速直线运动,甲的速度为 v1 ,乙的速度为 v 2 ,求:
2

(1)经多长时间,甲、乙两车相距最近? (2)甲、乙两车的最小距离为多大?



西





二.矢量的计算
1.矢量的加法 A 2.矢量的减法 A

B

B

三.相对运动
[情景:]在无风的下雨天,你会看到窗外的雨丝入帘,垂直而下,若在开动的汽车中,你会 看到雨丝的帘幕似乎飘了起来,车速愈大,雨丝帘幕愈加倾斜。 怎么定量说这个事情呢? 我们不妨研究三个物体 A、B、C (1)标出 B 相对 A 的位移 SBA;C 相对于 A 的位移 SCA; 以及 C 相对于 B 的位移 SCB. (2)根据方才学习的矢量加法的知识, 说出三者之间的关系 A B

C

(3)根据以上知识,画出车的运动和雨滴运动之间关系的矢量图

3

[相关练习] 1.两个物体 A 和 B 同时分别以速度 v A 和 v B 抛出,速度方向如图,则 A 相对于 B 做什么运动?

?
?
vB

vA

2..从离地面同一高度 h(h 足够大) 、相距 l 的两处同时各抛出一个石块,一个以速度 v1 竖 直上抛,另一个石块以速度 v2 向第一个石块原来的位置水平抛出,求两个石块在运动过程 中,它们之间的最短距离?

3.火车在雨中以 30m/s 的速度向南行驶,雨被风吹向南方,在地球上静止的观察者测得单 个雨滴的径迹与铅直方向成 30 0 ,而坐在火车里的乘客看到雨的径迹却恰好沿铅直方向, 求 雨相对于地球的速率。

4.模型飞机以相对于空气 39 km / h 的速度绕着一个边长为 2km 的等边三角形飞行,设风速 u ? 21km / h ,方向与三角形的一边平行,并和飞机起飞方向相同,问:飞机绕三角形一周 需要多少时间?

4

5.几辆相同的汽车以等速度 v 沿宽为 c 的直公路行驶,每车宽为 b,前后两车头尾间距为 a, 则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少?

c a

b

6 . 一 辆 坦 克 以 速 度 v1=54km/h 行 驶 , 子 弹 与 坦 克 的 运 动 方 向 成 角 ? ? 600 以 速 度 被板弹开。 求弹开的子弹将以怎样的速度飞行? v0 ? 1800 km / h 射到坦克的正面防护板上,

7.在赤道上的 A 处静止放置一个小物体, 现在设想地球对物体的万有引力突然消失, 在数小 时内,小物体相对于 A 点处的地面来说,将( ) A.水平向东飞去 B.原地不动,物体对地面的压力消失 C.向上并逐渐向西飞去 D.向上并逐渐向东方飞去

5

8.一帆船在静水中顺风飘行,风速为 v0,问:船速多大时,风供给船的功率最大?(设帆面 是完全弹性面,且与风向垂直)

9.在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向航行,船 B 以速度 2u 向正北方向航行, 船 C 以速度 2 2u 向东偏北 45?方向航行。在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船 A 的航 线并位于船 A 的前方,船 B 到船 A 的距离为 a,船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时刻作为计 算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动的角 速度。

第二讲 牵连关系
一. 几个重要的牵连关系 关系 1:杆上各点沿杆方向的速度方向分量相等。 [相关练习] 1.如图,一杆一端靠在光滑的竖直墙面上,一端放在光滑的 水平面上,当杆下滑至如图所示的位置时. (1) 杆端 A 点和 B 点速度关系是什么?

A

?
6

B

(2) A 相对于 B 作什么运动?

【发散 1】如图所示,长为 L 的轻质杆两端有质量均为 m 的两 个相同的小球 A 和 B,A 靠在竖直壁上,B 与地接触,两处均 不计磨擦, 开始时杆与水平成 60 ? 角, 放手后 A 下滑, B 右滑, 当? ? 时 A 刚好脱离壁,此刻 。

?B =

【发散 2】四根同样的硬杆长均为 L,杆端用铰链相连,构成菱形,其对角线 BD 比对角线 AC 长,菱形平放在桌面上,某时刻 A 和 C 两顶点以同样大小的速度 v 沿直线 AC 朝相反的 方向开始运动,求当菱形变成正方形时顶点 B 相对桌面的加速度? B

A

C

D

7

【发散 3】如果杆长为 l ,杆的中点固定了一质量为 m 的小钢 珠,B 端匀速向右运动,速度大小为 v B ,求当 ? ? 60 时,杆
0

A

对小钢珠的作用力。

?
B

关系 2:用两根绳连接的物体,沿绳方向的速度相等(因为绳不可伸长) 。 [相关练习] 1.人拉船过程中,人的速度为 v0 假设绳子与水平方向的夹角为 ? 时, 船的速度多大?如果在 人匀速拉船,则船做的是什么运动? v0 v

如果此时船和滑轮之间的绳长为 l,人的速度为 v0 ,绳子与水平方向的夹角为 ? ,船运动的 加速度为 a,则此时人的加速度为多大?

8

【发散 1】距离河岸(看成直线)500m 处有一艘静止的船,船上的探照灯以转速为 1r / min 转动,当光速与岸边成 600 时,光束沿岸边移动的速率为______________

【发散 2】如图所示,AB 为水平的光滑细杆,另一细杆 OP 可饶 AB 上方距 AB 高为 h 的 O 轴转动,两杆都穿过环 Q。若使 OP 杆饶 O 以角速度 ω 逆时针转动,则当 OP 与竖直方向的 夹角为 300 时,环 Q 的速度为多大? O α A Q B P

[发散 3](清华 2011)如图,纸面内两根足够长的细杆 ab、cd 都穿过小环 M,杆 ab 两端固定,杆 cd 可以在纸面内绕过 d 点 并与纸面垂直的定轴转动。 若杆 cd 从图示位置开始, 按照图中 箭头所示的方向,以匀角速度转动,则小环 M 的加速度 A.逐渐增加 B. 逐渐减小 C.先增加后减小 D. 先减小后增加

【发散 4】如图所示,半径 R=0.6m 的光滑半圆细环竖直放置并固定在水平桌面上,环上套 有质量为 1kg 的小球甲,用一根细线将小球甲通过两个光滑定滑轮 B、D 与质量为 2kg 的小 物体乙相连,滑轮的大小不计,与半圆环在同一竖直平面内,它们距离桌面的高度均为 h= 0.8m,滑轮 B 恰好在圆环最高点 C 点的正上方。初始时将甲拉至半圆环左边最低点 A 处, 然后将甲、乙由静止开始释放,则当甲运动到离桌面高度为_________m 时,甲、乙速度大 小相等;当甲运动到 C 点时的速度大小为________m/s。 (g=10m/s2)

B C 甲 A O h

D 乙

9

【发散 5】如图所示,在绳的 A 端以速率 v 做匀速收绳从而 拉物体 M 做水平方向的直线运动,当绳 AB 与水平方向恰 好成 ? 角时,物体的速度为___________。 Bα

A v

关系 3:两个相互接触的刚体,可将其运动沿切线方向和法线方向分解,则沿着法线方向的 速度相等。 [相关练习] 1..如图,三个相同的圆柱体紧靠在在一起后开始运动,达 到如图位置.如果此时 A 球的速度大小为 v A ,则此时 B 球 的速度为多大? B O1 θ O2 A

C

[发散].水平地面上整齐堆放着三个质量分布均匀,长度相等,半径 为 r 的光滑圆柱体,设三个圆柱体的质量分别为

A

mA ? 2mB ? 2mC ? 2m ,若从图示位置释放,求 A 落地时的速
度? B C

10

2.如图,一个倾角为 ? 的斜面靠墙放在光滑的水平面上,一个半径为 R 的圆柱体靠着光滑的 竖直墙面放在斜面上,如果此时圆柱体的速度为 v1 ,斜面体的速度为 v2 ,则 v1和v2 的关系 为________

?

3.顶杆 AB 可在竖直滑槽 K 内滑动,其下端由凸轮 M 推动,凸轮 绕 O 点以角速度 ? 转动,在图示的瞬间, OA ? r ,凸轮轮缘与 A 接触处的法线 n 与 OA 的夹角为 ? ,试求此瞬间 AB 的速度为_______

B

K

A n O

?

4 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右作加速度为a的匀加速运动, 在半圆柱体上搁置 一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,当圆柱体速度为v时,杆与半圆柱体接触点P与柱 心的连线与竖直方向的夹角为 ? ,求此时竖直杆运动的速度和加速度。

P

R ?

O

11

5.如图所示,B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗,放在光滑的水平桌面上。A是质为 mA的细长直杆,被固定的光滑套管C约束在竖直方向,A可自由上下运动。碗和杆的质量关 系为:mB=2mA。初始时,A杆被握住,使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触(如图)。 然后从静止开始释放A,A、B便开始运动。设A杆的位置用? 表示,? 为碗面的球心O至A 杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小(表示成? 的 函数)。

6.如图所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两端分别连结小球 a 和 b ,它们的质量分别为 ma 和

1 4 几乎接触桌面.在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一 个质量为 m 的立方体匀质物块,图中 ABCD 为过立方体中 心且与细杆共面的截面.现用一水平恒力 F 作用于 a 球上, 使之绕 O 轴逆时针转动, 求当 a 转过? ? 角时小球 b 速度的 大小.设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球 b 与 立方体物块始终接触没有分离.不计一切摩擦.

mb. 杆可绕距 a 球为 l 处的水平定轴 O 在竖直平面内转动. 初始时杆处于竖直位置. 小球 b a O F

B

C

b

A

D

12

7.一木板坚直地立在车上,车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方向垂
直,其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等,雨点匀速坚直下落。下列诸因 素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是 A、雨点下落的速度 C、车行进的速度 B、单位体积中的雨点数 D、木板的面积

8.放映电影时,看到影片中的一辆马车从静止起动,逐渐加快。在某一时刻车轮开始倒转。 已知电影放映机的速率是每秒 30 幅画面,车轮的半径是 0.6 米,有 12 根辐条。车轮开始倒 转时马车的瞬时速度是 __________米/秒。

9.有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初速
度为零) , 落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞. 以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。 现用支架固定一照相机,用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍 摄一张照片,照相机的曝光时间极短,可忽略不计。从所拍到的照片发现,每张照片上小球 都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离(用 H 表示)的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

13

第三讲:抛体运动
抛体运动是一种重要的曲线运动形式, 按照抛出的初速度的方向与重力方向的关系, 可将抛 体运动划分为竖直上抛、竖直下抛、平抛和斜抛。 。 根据运动的叠加原理,抛体运动一般可以分解为竖直方向的匀变速直线运动和水平方向 的匀速直线运动。 y 以斜上抛为例,如图所示,取抛体轨迹平面为 Oxy 平面,抛出 点为坐标原点,则抛体运动的规律为: v0

ax ? 0

v x ? v 0 cos?

a y ? ?g
x ? v 0 cos? ? t

v y ? v 0sin? ? gt

?
O x

1 y ? v 0 sin? ? t ? gt 2 2
其轨迹方程为: y ? xtg? ?

g 2v0 cos ?
2 2

x2

斜抛运动还有一种接法是: 沿着初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动。 当然还有其它 解法,怎么分解要视问题而定。

[相关练习] 1、从底角为 ? 的斜面顶端,以初速度 v 0 水平抛出小球,不计空气阻力,若斜面足够长,则 小球抛出后离开斜面的最大距离 H 为多大?

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2.如图所示,在圆柱形屋顶的天花板上的 O 点,挂一根 L=3m 的细绳,绳的下端系一质量 m=0.5kg 的小球。细绳的最大张力为 10N,小球在水平面内做圆周运动,当速度增大到绳断 裂后,小球以 v=9m/s 的速度落到墙边,求这个圆柱形屋顶的高度 H 和半径 R。

O

3.(2012 清华)小球从台阶上以一定初速度水平抛出,恰落到第一级台阶边缘,反弹后再次落 下经 0.3s 恰落至第 3 级台阶边界,已知每级台阶宽度及高度均为 18cm,取 g=10m/s2。 1 且小球反弹时水平速度不变,竖直速度反向,但变为原速度的 。 4 (1)求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离; (2)问小球是否会落到第 5 级台阶上?说明理由。

15

4.仓库高 20m、宽 40m ,在仓库前某处 A 点抛一石块过屋顶,试问 A 距仓库多远处时,所需 要的初速度 v 0 最小?此时 v 0 为多少?(g=10m/s2)

5.如图所示,竖直面内有一个半径为 R=0.2m 的光滑半圆形轨道固定在地面上,水平地面与 轨道相切于 B 点。 小球以 v0=3m/s 的速度从最低点 B 进入轨道, 求小球落地点和轨道最低点 B 的距离。 A O B

16

6.如图所示,在高为 h 的山顶向平地放炮,若 炮弹的出口速度的大小为 v 0 ,问 v 0 与水平方 向夹角 ? 为多大时,水平射程最远?

?
h

7.如图所示,一小球自 A 点以初速 v0 与水平成 θ 角 抛出, 最后落在 B 点。 球抛出的同时, 人从 C 点向 B 点跑保持等速率为 v1 ,人与球同时到达 B 点,已知

BC = x0 , 人与球的连线与水平所成之角度 ? , 证明:
tan ? 与时间 t 成正比。

17

8.如图所示,在仰角 a 的雪坡上举行跳台滑雪比赛,运动员从高处滑下,能在 O 点借助于器 材以与水平方向成 θ 角的速度 v0 起跳,最后落在坡上的 A 点,假如 v0 的大小不变,那么以 怎样的 θ 角起跳能使 OA 最远?最远距离为多少? v0 P θ vt/2 O α A

9..在掷铅球时,铅球出手时距地面的高度为 h、速度为 v0,以何角度掷铅球时,水平射程最 远?

10..从 h 高的平台上以速度 v0 水平抛出一球,落到平地后反跳作斜抛体运动。设每次与地面 碰撞后,竖直分速度变为碰撞前的 e 倍(e<1) ,而水平分速度不变。不计空气阻力。求: (1) 小球与地面第 n 次与第 n+1 次碰撞之间的射高和水平射程。 (2)小球与地面作第 n+1 次碰 撞时,到出发点的水平距离和经过的时间。

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11..为训练宇航员能在失重状态下工作和生活,需要创造一种失重的环境。 在地球表面附近, 当飞机模拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。 现要求一架飞机在速率为 v1=500m/s 时进入失重状态试验,在速率为 v2=1000m/s 时退出失 重状态试验。重力加速度 g=10m/s2。试问: (i)在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何种运动,方可在一定范围内任意选择失 重时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素。 (ii)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?

12.用细线悬挂着质量 m 为 5.0× 10-2kg 的小球,线的长度 L 为 1m,线所能承受的最大张力 T 为 0.735N,现把线拉直到水平位置后放开(如图) ,小球的落地点 C 恰好在悬点 O 的正下 方,求 OC 的高度 H 为多少? O L

C

19

13.有一个摆长为 l 的摆(摆球可视为质点,摆线的质量不计) ,在过悬挂点的竖直线上距悬 挂点 O 的距离为 x 处(x<l)的 C 点有一固定的钉子,如图所示,当摆摆动时,摆线会受 到钉子的阻挡.当 l 一定而 x 取不同值时,阻挡后摆球的运动情况将不同.现将摆拉到位于 竖直线的左方(摆球的高度不超过 O 点) ,然后放手,令其自由摆动,如果摆线被钉子阻挡 后,摆球恰巧能够击中钉子,试求 x 的最小值.

第四讲:物体的平衡
一.三力平衡问题 (1) 三力平衡原理:若物体受到三个力而平衡,那么其中任意 两个力的合力和第三个力是一对平衡力。 (2) 三力汇交原理:若三力平衡,则该三力必共点。 (3) 拉密定理:若三力平衡,则三力必共面,且其中一个力与 另外两个力夹角的正弦相等。 F1 F2

?

?
?
F3

F F F2 ? 3 即有: 1 ? sin ? sin ? sin ?
20

即:三个力可以组成一个三角形,利用正弦定理 便可证明之。 1.一不均匀的木棒通过两根细绳系在两端,并挂在天花板上 保持水平,如图所示,已知木棒长度为 L,求木棒的重心距 离其左端的水平距离?

370

530

A 2.如图所示, 轻杆 BC 的 C 端用铰链接于墙, B 端用绳子拉紧, 挂重物 G,当重物 G 从 C 点缓慢运动到 B 的过程中,墙对轻 杆 BC 的作用力 N 大小变化为______________, 绳子拉力 T 的 变化为_________________ C G

B

3.如图,一轻杆两端固结两个小球 A 和 B,A、B 两球质 量分别为 4m 和 m,轻绳长为 L,求平衡时 OA 和 OB 分 别多长(不计绳和滑轮间的摩擦) 。

O

B

A

21

4..(2005 年交大)如图,一均匀细杆长为 1m,重量为 W,在距其上端 25cm 处用一钉子将其 钉在铅直墙面上,使细杆可绕此钉子无摩擦地转动,今施一水平力作用在其上端,使细杆偏 离铅垂线 ? 角 (? ? 900 ) 而平衡,则钉子作用在细轴上的力的范围为多大? F

钉子

5.如图,两个重力分别为 W A 和 W B 的小圆环用细线连接着套在一个竖直固定着的大圆环上, 如果连线对圆心的夹角为 ? , 当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时, 求A 处连线与竖直方向的夹角 A B

O

22

6.在图 1-2 中,A、B 是两个带柄(a 和 b)的完全相同的长方形物体,C 是另一长方体,其 厚度可以忽略,质量为 m,A、B 与斜面间以及与 C 之间皆有摩擦,C 与 A 或 B 间的静摩 擦系数均为 μ0,设它们原来都处于静止状态。 (1)若一手握住 a,使 A 不动,另一手握住 b,逐渐用力将 B 沿倾角为 θ 的斜面向上拉。 当力增大到能使 B 刚刚开始向上移动时,C 动不动?若动,如何动? (2)此时 A 与 C 之间的摩擦力为多大? (3)若握住 b 使 B 不动,握住 a 逐渐用力将 A 沿倾角为 θ 的斜面向下拉。当 A 开始移动 时,C 动不动?若动,如何动?

θ
图 1-2

二.重心的确定 1、如图的棒槌,假设球 A 的质量为 M,半径为 R;匀质 棒 B 的质量为 m,长度为 l ,求它的重心位置

A B

2. 如图所示,半径为 R 的实心球,质量为 m,在其内部挖去一直径为 R 的球,则剩余部分 的重心位置。

O

R

23

三:滑动摩擦力的方向 1.如图所示,质量为 m 的物体放在水平放置的钢板 C 上,与钢板的动摩擦因素为 u 。由于 光滑导槽 AB 的控制,物体只能沿水平导槽运动。现使钢板以速度 v1 向右运动,同时用力 F 沿导槽的方向拉动物体,使物体沿导槽 A、B 以速度 v2 匀速运动,则 F 的大小 物体对光滑导槽的压力 。 ,

2.一个倾角为 ? 的斜面以速度 v 0 沿平行于底边的方向匀速运动,滑块和斜面之间的滑动摩 擦因数为 ? ,一块垂直于底边的竖直光滑挡板限制滑块的运动方向,先给滑块一个较大的 沿挡板向下的速度,求滑块最后的稳定速度。

v0

四:刚体平衡的条件

?F
物体平衡的充要条件

x

?0 ?0
?0

?F

y

?M

i

24

1.如图所示,质量为 m 匀质木杆,上端可绕固定转动光滑轴 O 转动,下端放在木板上, 木板放在光滑的水平地面上,棒与竖直线成 450 角,棒与木板间的摩擦系数为 0.5。为使木 板向由匀速运动,水平拉力为: ( ) A.

1 mg 2

B. mg

1 3

C.

1 mg 4

D.

1 mg 6

O

m F

2.(2004 交大)半径为 R 的匀质半球体置于水平地面上,其重心在球心 O 正下方 C 点处,

OC ?

3 R ,半球质量为 m,在半球的平面上放一个质量为 m / 8 的物体,它与半球间的动 8

摩擦因数为 0.2,如图所示,则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为_______

3.(2006 交大)两个质量分布均匀的球体,半径为 r,重为 P,置于两端开口的圆筒内,圆筒 的半径为 R( r ? R ? 2r ) ,并竖直放在水平面上,设所有的接触面光滑,为使圆筒不至于 倾倒,圆筒的最小重量 Q 为多少?如果换成有底的圆筒,情况又如何?

25

4.(2008 交大)重为 80kg 的人沿如图的梯子从底部向上攀登, 梯子的质量为 25kg, 顶角为 300.。 已知 AC 和 CE 都为 5m 长且用铰链在 C 处相连,BD 为一段轻绳,两端固定在梯子高度的 一半处,设梯子与地面的摩擦可以忽略,求在人向上攀登的过程中轻绳中张力的变化? C

B A

D E

5.(2010 南大)如图,一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上,杆和圆环相切, 系统静止在水平地面上,杆和地面的接触点为 A,与环面的接触点为 B。已知两个物体的质 量线密度均为 ? , 直杆和地面的夹角为 ? , 圆环半径为 R。 所有接触点的摩擦力足够大, 求: (1)地给圆环的摩擦力 (2)求 A、B 两点的静摩擦系数的取值范围?

B

A

?

26

6.如图所示,AOB 是一把等臂夹子,轴 O 处的摩擦不计, 若想在 A、B 处用力去夹一个圆形物体 C,则能否夹住与 那些因素有关?这些因素应该满足什么条件?(不考虑圆 柱形物体受到的重力)

A

O

C B

7.如图所示,一架均匀的梯子 ,一端放置在水平地面上,另一端靠 在竖直墙上,已知梯子与地面间的静摩擦因数为 ?1 ,梯子与墙壁 之间的静摩擦因数为 ? 2 ,求梯子平衡时与水平地面之间的最小 夹角。 A B

27

8.如图所示,一架均匀梯子 AB ,质量为 M ,长 AB ? 10 m ,靠在光滑的墙壁上, A 、 B 两端到墙角 O 的距离为 AO ? 8m , BO ? 6m ,已知梯子与水平 面间的静摩擦因数为 ? ? 0.5 。试回答下列问题: (1) 地面对梯子的作用力为多大? (2)一个质量为 5M 的人沿此梯子向上爬,他能 沿梯子上升多远而不致使梯子倾倒?

A

O

B

9.如图所示,一人对一均匀细杆的一端施力,力的方向总与杆垂直,要将杆从地板上无滑动 地慢慢抬到竖直位置,试求杆与地板间的静摩擦因数至少是多大?

28

10.图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿 1、2、3、4 支撑于桌角 A、 B、C、D 处,桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。 现于桌面中心点 O 至角 A 的连线 OA 上某点 P 施加一竖直向下的力 F,令 面对桌腿 1 的压力 F1。 B O C 2 3

OP ? c ,求桌 OA
F P D 4 A

1

11..用两个―爬犁‖(雪橇)在水平雪地上运送一根质量为 m, 长为 l 的均匀横梁, 横梁保持水平, 简化示意图如图所示,每个爬犁的上端 A 与被运送的横梁端头固连,下端 B 与雪地接触, 假设接触面积很小,一水平牵引力 F 作用于前爬犁,作用点到雪地的距离用 h 表示。已知 前爬犁与雪地间的动摩擦因数为 ?1 ,后爬犁与雪地之间的动摩擦因数为 ? 2 。问要在前后两 爬犁都与雪地接触的条件下,使横梁沿雪地匀速向前移动,h 应满足什么条件?水平牵引力 F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计。 A B B A h

29

12..如图所示,一根细棒 AB , A 端用铰链与天花板相连, B 端 用铰链与另一棒 BC 相连, 两棒长度相等, 限制在如图的竖直平 面内运动,且不计铰链处的摩擦;当在 C 端加一个适当的外力 (与 AB 、 BC 在同一平面内) ,可使二棒静止在如图的位置, 即两棒互相垂直,且 C 端在 A 端的正下方。 (1) 不论二棒的质量如何,此外力只可能在那些方向范围 内?说明理由。 (2) 如果 AB 棒的质量为 m1 , BC 棒的质量为 m2 ,且 AB 、

A B

C

BC 的质量分布均匀,求此外力的大小和方向。
如果 m1 ?? m2 , 该外力方向如何 ? 如果 m1 ?? m2 , 该外力方向 如何?

13.如图 4-6,底边长为 a,高度为 b 的长方形匀质物块置于斜面上,斜面与物块之间的静摩 擦系数为 μ,斜面的倾角为 θ。当 θ 足够小时,物块静止于斜面上,如逐渐将倾角增大,当 θ 取某个临界值 θ0 时,物块或将开始滑动或将翻倒。试分别求出滑动和翻倒时的 θ0,并说明 在什么条件下出现的是滑动,在什么条件下出现的是翻倒。

b

θ
图 4-6

30

14.在图 1-3 中,A 是一质量为 M 的木块,B 是一质量为 m 的小铁块,共同浮在水面上。 若将铁块取下,直接放在水内,最后杯中水面的高度变 。

B A

15.半径为 r、质量为 m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上,两两互相接触。用一 个高为 1.5r 的圆柱形刚性圆筒(上下均无底)将此三球套在筒内,圆筒的半径取适当值, 使得各球间以及球与筒壁之间均保持接触,但相互间无作用力。现取一质量亦为 m、半径为 R 的第四个球, 放在三球上方的正中。 设四个球的表面、 圆筒的内壁表面均由相同位置构成, 其相互之间的最大静摩擦系数均为 ? ?

3 15

(约等于 0.775) ,问 R 取何值时,用手轻轻竖

直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来?

31

16.磅秤由底座、载物平台 Q、杠杆系统及硅码组成,图示为其等效的在竖直平面内的截面 图。Q 是一块水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K 压在 E、B 处的刀口上。杠杆 系统由横杆 DEF、ABCP 和竖杆 CF、MP 以及横梁 MON 组成,另有两个位于 A、D 处的刀 口分别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 沿垂直于纸面的方向都有一定的长度, 图中为其断面)。C、F、M、N、O、P 都是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座固连的 支架 OL 吊住,所以转轴 O 不能发生移动,磅秤设计时,已做到当载物平台上不放任何待秤 物品、游码 S 位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状态,这时 横杆 DEF、ABCP 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的。 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处 刀口增加的压力,由于杠杆系统的调节,横梁 MON 失去平衡,偏离水平位置。适当增加砝 码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置。待秤物品的重量(质 量) 可由砝码数值及游码的位置确定。 为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能 显示出相同的结果,在设计时,AB、DE、AC、DF 之间应满足怎样的关系?

17.有一半径为 R 的圆柱 A, 静止在水平地面上, 并与竖直墙面相接触. 现 有另一质量与 A 相同,半径为 r 的较细圆柱 B,用手扶着圆柱 A,将 B 放在 A 的上面,并使之与墙面相接触,如图所示,然后放手. 己知圆柱 A 与地面的静摩擦系数为 0.20, 两圆柱之间的静摩擦系数 为 0.30.若放手后,两圆柱体能保持图示的平衡,问圆柱 B 与墙面间的 静摩擦系数和圆柱 B 的半径 r 的值各应满足什么条件?

32

第五讲 牛顿定律 一、质点系牛顿第二定律 对于连接体的问题,如果组成连接体的各个物体的加速度相同时,采 用的方法一般是―先整体,后隔离‖。如果加速度组成连接体的各个物 体的加速度不相同时,则一般采用―质点系牛顿第二定律‖来解答。 如果一个质点系中的诸质点 m1 、 m 2 ……. m n 在某一个任意的 x 方 向上受到了质点系以外的沿 x 方向的作用力 F1x 、 F2x ……… Fnx (注意 不包括这些质点间的相互作 用 力 ) , 从 而 使 得 物 体 m1 、
m 2 …… m n 分别产生了加速度
m1 Fx a1 mn an m2 a2

a1 、 a 2 …….. a n 。

【练习:】 1.如图所示,一只木箱放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,在杆上套着一个环,箱与 杆的总质量是 M,环的质量为 m,已知,环沿杆以加速度 a ?a ? g ? 加速下滑,则此时木箱 对地的压力为多大?

33

2.一条轻绳跨过一轻滑轮,滑轮和轴的摩擦不计。在绳的一端挂一质量为 m1 的物体,在另 一侧有一质量为 m2 的环,求当环相对于绳以恒定的加速度 a2 沿绳向下滑动时,物体和环相 对于地面的加速度各为多大?环与绳间的摩擦多大?

m2 m1

3.如图所示,一密度为 ? 0 ,重为 W1 的铁块悬挂在细线下,并全部浸入密度为 ? 的液体中, 液体和杯共重 W2 ,置于地面上。 (1)铁块平衡时,线的拉力以及杯底对地面的压力各为多大? (2)若剪断细线,铁块在该液体中―自由下落‖时,杯底对地面的压力 为多大?

4.如图所示,一质量为 M 的楔形块放在水平桌面上,它的顶角为 90° ,两底角为 α 和 β;a、b 是两个位于斜面上的质量均为 m 的木块。 (1)若 a、b 均静止。而楔形块也静止不动。这时楔形块 对水平桌面的压力等于 A.Mg+mg C.Mg+mg(sinα+sinβ) 此时地面对楔形块的摩擦力( A.向左 B。向右 ( ) B.Mg+2mg D.Mg+mg(cosα+cosβ) ) C。无法确定 D。无摩擦 α ? a M

b
β

(2)若所有接触面都是光滑的。现发现 a、b 沿斜面下滑,而楔形块静止不动,这时楔形 块对水平桌面的压力等于 ( A.Mg+mg C.Mg+mg(sinα+sinβ)
34

) B.Mg+2mg D.Mg+mg(cosα+cosβ)

(3)此时地面对楔形块的摩擦力( A.向左 B 向右

) D 无摩擦

C 无法确定

5.如图一个质量为 M 的斜面放在粗糙的地面上,斜面的表面 光滑,一个质量为m的物块沿斜面自由下滑,斜面保持静止, 求: 物体在下滑的过程中, 斜面受到的摩擦力和支持的的大小 各多大?

?

6.如图所示,一根绳跨过装在天花板上的滑轮,一段接质量为 M 的物体,另一端吊一载人 的梯子而平衡,人的质量为 m。若滑轮与绳子的质量均不计,绳绝对柔软,不可伸长,问为 使滑轮对天花板的作用力为零,人相对于梯子应该按照什么规律运动?

7.如图所示,C 为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面,其质量 m C ? 6.5kg,顶端有一 定滑轮, 滑轮的质量及轴处的摩擦皆可以不计, A、 B 是两个滑块, 质量分别为 3.0kg 和 0.5kg , 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连,开始时,设法抓住 A、B 和 C,使它们处于静止状态, 且滑轮两边的轻绳恰好伸直, 今用一大小等于 26.5N 的水平推力 F 作用于 C, 并同时释放 A、 B 和 C,若 C 沿着桌面向左滑动,其加速度大小 a ? 3.0m / s ,B 相对于桌面无水平方向的
2

35

位移(绳子一直是绷紧的) ,试求 C 与桌面间的摩擦因数。 ( g ? 10m/ s 2 , sin37 ? 0.6 )
0

B

A
0

C

53

37 0

F

8.尖劈 A 的质量为 m A ,一面靠在光滑的竖直墙上,另一面与质量为 m B 的滑棱柱 B 接触,B 可沿着光滑水平面 C 滑动,求 A、B 的加速度 a A 和 a B 的大小以及 A 对 B 的压力。

A

?

B

C

二、 惯性力 凡是牛顿第一 I 定律成立的参照系,叫做惯性系,一切相对于某一个惯性系静止或匀 速运动的参照系也都是惯性参照系。如果不考虑地球的自转,那么在很短的时间内,地球就 可以被看成近似程度很好的惯性系。 凡是相对于地面静止或匀速运动的物体都可以被看成是 惯性系

a
f =-ma


a
F f =-ma


图(a)
36

图(b)

在图(a)中,车内的桌面光滑,一个小球放在桌面上且保持静止,现在小车一加速度 a 向 左方作直线运动,从地面上观察,小球保持静止状态;如果人站在车里面观察,小球向右作 加速度为 a 的直线运动,小球不受力却有加速度,这与牛顿第一定律不符,因为加速运动的 小车不是一个惯性系,然而在加速运动的小车内,我们可以设想有一个力,方向与 a 的方向 相反,大小为 。 这个力我们称之为惯性力。这样在非惯性系里,我们仍然可以沿用 牛顿第二定律的形式。 同样道理在图(b)中,如果从地面上看,小球随同小车一起向左以加速度 a 做直线运 动,小球受到了弹簧的弹力作用;如果人在车内观察小球,小球是静止的,不符合牛顿第二 定律,为保证牛顿第二定律的形式不变,必须要承认小球受到了一个惯性力f★, 方向与 a 的方向相反。大小等于 ma,它与弹簧的弹力平衡。 ★ 在作加速运动的非惯性系中,质点所受到的惯性力 f 与非惯性系的加速度 a 的方向相 反,大小等于质点的质量 m 与非惯性系加速度大小 a 的乘积。

【典型习题】
1..如图所示,AB 棒上有一滑套 C,可以无摩擦地在棒上滑动, 棒与水平方向保持 ? 角, 当滑套 C 距 A 端为b时, 使滑套相对 于棒静止,若棒开始以加速度 a( a ? tg? )作匀加速直线运动, a 求滑套 C 从 A 端滑出所经历的时间(设滑套长不计) C b A

?
B

2.如图一根长为 2L 的轻杆,在其中点和下端点各固定一个相同的小 球,上端固定(可以自由转动) ,已知两个小球在水平面内作角速度为 ω 的圆周运动,求 θ 角为多大?

?

?

37

3.图示,物体 m 静止在光滑的斜面上,斜面倾角为 ? , ( ? ? 90 ,是一个确定的量,但可
0

取不同的值) ,假设细线在承受 2mg 拉力时将断掉,则在保持 m 与斜面相对静止的条件下 (同时不脱离斜面)使斜面水平向右做匀加速运动的加速度 a 不能超过多少?

m

?

4.倾角为 ? 的斜面上有一小车沿斜面向下运动,小车上悬挂着一小球,当悬线与竖直方向的 夹角为以下值时,小车的加速度如何?(1) 0 答案: (1)_______________________ (2)_________________________ (3)_________________________
0

(2) ?

(3) ? ( ? ? ? )

?

?

5.如图所示 A 为定滑轮,B 为动滑轮,三个物体的质量分别为 m1 = 0.2kg,m2 = 0.1kg, m3 = 0.05kg。滑轮的质量与绳的伸长和摩擦均可忽略。求: (1)每个物体的加速度. (2)两根绳中的张力 T1 和 T2。 A B m1 m2 m3

38

6.如图,斜面的质量为M,高为h,斜面的倾角为 ? ,顶端放一个质量为 m 的小物体,自静 止下滑,一切摩擦不计,求: (1)m 下滑时,m的加速度 (2)m下滑时,M的加速度 (3)m下滑时,m对M的加速度 (4)m与M之间的弹力 (5)M对桌面的正压力 ? (6)m 滑到底端时,M 的位移?

7.长为 2b 的轻绳,两端各系一个质量为m的小球,中央系一个质量为M的小球,三球静止 在光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态,现给中间球施加一个垂直于绳方向初速度 v0 ,分 析当绳端的两球发生碰撞的瞬间绳中的张力以及绳端小球速度的大小? v0 m M m

39

8.在与水平方向成 ? 角的光滑杆上套一个质量为 m1 的小 环, 一根轻绳系在环上, 绳上挂一个质量为为 m 2 的小球,

?

求: (1) 当绳静止在竖直方向时释放环, 释放的瞬间升上 的张力多大? (2) 绳与竖直方向成多大角度时释放环,绳在竖直方向不发生摆动?

9 棒 AB 的 A 端靠在竖直墙上,B 端搁置在水平地面上,棒长 L ? 2m ,在棒的中点 C 处,有 一质量 m ? 0.5 kg 的小物体被固定在棒上,棒的两端可分别沿墙面和地面滑动。今棒的 B 端以速度 v ? 3m / s 向右匀速滑动,当棒与地面的夹角 ? ? 60 时,棒对小物体的作用力为
0

多大?(取 g ? 10m/ s )
2

A

C

?

B

V

40

10.如图所示,斜面体置于水平面上,其斜面的倾角为 ? ,斜面体 B 恰好与斜面 A 重合,而 B 的上表面呈水平状态,物体 C 置于 B 的上表面上,已知 A、B、C 三者的质量相同,现将 三者同时由静止释放,不计一切摩擦,求刚释放后物体 C 的加速度。 C B

?

A

11.足球比赛中发角球时,有经验的足球队员可发出所谓 ―香蕉球‖。即球飞到球门前方时会 拐弯进入球门。试简要地说明其道理。

41

12.广而深的静水池中竖立一固定细杆,其露出水面部分套着一个长度为 L、密度为 ρ、截面 均匀的匀质细管,细管可沿杆无摩擦地、竖直上下滑动,因套在杆上,不会倾倒。现在用手 持管,使管的下端刚刚与水面接触,放手后管竖直下沉,设水的密度为 ρ 水,不计水的阻力 和表面张力。 (1)当管的密度 ρ 等于某一值 ρ0 时,管能下沉到刚好全部没入水中。求 ρ0 (2)在 ρ=ρ0 的情形下,管下沉所经历的时间等于什么? (3)设管的密度 ? ?

2 ? 水 ,求管下沉到最后位置所需的时间 3

13.如图所示,一块光滑的平板能绕水平固定轴 HH’调节其与水平面所成的倾角。板上 一根长为 l=1.00 m 的轻细绳,它的一端系住一质量为 m 的小球 P,另一端固定在 HH’轴上 的 O 点。当平板的倾角固定在?时,先将轻绳沿水平轴 HH’拉直(绳与 HH’重合) ,然后给 小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度 v0=5.0 m/s。 若小球能保持在板面内做圆周运动, 问 倾角?的值应在什么范围内(取图中处箭头所示方向为 ?的正方向) 。取重力加速度 g=10 2 m/s 。

P H O l

?
H’ 水平面

42

14.一半径为 R ? 1.00 m 的水平光滑圆桌面,圆心为 O ,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆 心附近,立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线 C ,如图预 17-2 所示。一根不可伸 长的柔软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上的某一点,另一端系一质量为 m ? 7.5 ?10-2 kg 的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小物块一个方向与绳垂直、大小为

v0 ? 4.0 m/s 的初速度。物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为 T0 ? 2.0 N 时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动.
1.问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少? 2.若绳刚要断开时,桌面圆心 O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸 直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少?已知桌面高度 H ? 0.80 m .物 块在桌面上运动时未与立柱相碰.取重力加速度大小为 10 m/s 2 .块在桌面上运动时未与立 柱相碰.取重力加速度大小为 10 m/s 2 .

43

15.一根绳的一端连于 A 点,绳上距 A 端为 a 处系有一个质量为m的质点B,绳的另一端通 过固定在C点的滑轮,A、C处在同一水平线上,某人握 A ? ? 住绳的自由端,以恒定的速率v收绳,当绳收到如图的位 v a c C 置时,质点B两边的绳与水平线的夹角分别为 ? 和 ? ,求 B 这时人收绳的力?忽略一切摩擦以及绳与滑轮的质量

44

16.一根不可伸长的细轻绳,穿上一粒质量为 m 的珠子(视为质点) ,绳的下端固定在 A 点, 上端系在轻质小环上, 小环可沿固定的水平细杆滑动 (小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不 计) ,细杆与 A 在同一竖直平面内.开始时,珠子紧靠小环,绳被拉直,如图复 19-7-1 所示, 已知,绳长为 l , A 点到杆的距离为 h ,绳能承受的最大张力为 Td ,珠子下滑过程中到达最 低点前绳子被拉断,求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小(珠子与绳子之间无摩擦) 注: 质点在平面内做曲线运动时, 它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向 加速度 an ,可以证明, an ? v2 / R , v 为质点在该点时速度 的大小, R 为轨道曲线在该点的―曲率半径‖,所谓平面曲线 上某点的曲率半径,就是在曲线上取包含该点在内的一段 弧,当这段弧极小时,可以把它看做是某个―圆‖的弧,则此 圆的半径就是曲线在该点的曲率半径. 如图复 19-7-2 中曲线 在 A 点的曲率半径为 RA ,在 B 点的曲率半径为 RB .

45

第六讲 动量和能量
一、 功和动能定理
1、 功 功是力对空间的积累效应,如果一个恒力 F 作用在一个物体上,物体发生的位移为 s ,那么 力 F 在这段位移上做的功为:

?

?

?

W ? Fscos ? 。 ? ? ? ? 式中 ? 是 F 和 s 的夹角,即 scos ? 是 s 在力 F 方向上的投影。
在不使用微积分的情况下我们一般只能计算恒力做的功, 但有的时候也可以采取一些技巧来 求变力做的功。

2、几种力的功 (1)重力的功 (2)弹簧弹力的功 弹簧在弹力 F ? kx 的作用下,从位置

x1 运动到了位置 x 2 ,这一过程中弹簧弹力
做负功,做的负功的绝对值等于如图梯形部分的面积。 所以有:

O F

x1

x2

W ? ?(

kx1 ? kx 2 1 1 2 2 )(x 2 ? x 1 ) ? kx1 ? kx 2 2 2 2


x1

x2



(3)万有引力的功 质量为m的指点在另外一个质量为 M 的指点的引力作用下由相对距离 r1 运动到相对距离 r2 的过程中,引力做的功是: W ? ?GMm(

1 1 GMm GMm ? )? ? r1 r2 r2 r1

3、功率

P ? Fvcos ?
4、动能定理 内容及推导(略) 用动能定理解决问题的优越性在于对力作用的中间过程不予考虑,只要考虑初状态和末状 态,这给问题的解决带来了不少的方便

46

【练习】 、 1.一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧 的另一端与固定墙面相连, 小球做一维自由振动。 试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀 速运动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由。

。 2.两个质量均为m的小球,用细绳连接起来,置于光滑的水平面上,绳刚好被拉直,用一个 恒力F作用在连绳的中点, F的方向水平且垂直于绳的初始位置, F力拉动原来处于静止状 态的小球, 问在两个小球第一次相撞前的瞬间, 小球垂直于F作用线的方向上的分速度是多 大?(绳子长为2L) m L F L m

二、势能和机械能守恒
凡是做功仅仅取决于初、 末位置的力,叫做保守力。 物理学中有许多保守力, 如:万有引力, 重力,库仑力、静电场力。 在保守力场中,有一种仅由力的作用点的位置决定的能量,称之为势能(也叫位能) 。势能 的增减与保守力做的功密切相关;保守力做多少正功,质点的势能就减少多少;保守力做多 少负功(或者说克服保守力做多少功) ,质点的势能就增加多少。 严格地说,势能不单单属于质点的,而是质点和保守力场共有的。例如质点的重力势能, 是质点和重力场(或者说质点和地球)共有的,如果地球消失了,那么重力势能也就无从谈 起了,这一点是势能和动能的很大区别。 1、 万有引力势能 两个相距为 r 的质点,质量分别为 M 和 m,它们之间 的万有引力势能为: E p ? ?G

Mm r

M r

m

2、 弹簧的弹性势能 假设弹簧的弹性系数为 k ,当弹簧发生了 x 大小的形变时,其所具有的弹性势能为
47

Ep ?

1 2 kx 2

3、 机械能守恒 当一个物体系没有外力做功,也没有内部的非保守力做功时,这个物体系的机械能守恒。

【练习】 1.一个盛满水的圆柱形水桶,桶底和壁都很轻很薄,桶的半径为 R,高为 h,桶的上缘处在 湖面下深度为 H 处,如果用轻绳将它缓慢的上提,直到桶的底面刚离开水面,若不计水的 阻力,求上提过程中拉力所做的功。

2.一个质量 m=200.0 千克,长 l0=2.00 米的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(如图 7-8) 。 2 -2 桶内的横截面积 S=0.500 米 (桶的容积为 l0S) ,桶本身(桶壁与桶底)的体积 V0=2.50× 10 3 米 。桶内封有高度 l=0.200 米的空气,池深 H0=20.00 米,大气压强 p0=10.00 米水柱高,水 的密度 ρ=1.000×103 千克/米 3。重力加速度 g 取 10.00 米/秒 2。若用图中所示的吊绳将桶上 提,使桶底能到达水面处,则绳拉力所需做的功有一最小值。试求从开始到绳拉力刚完成此 功的过程中, 桶和水 (包括池水及桶内水) 的机械能改变了多少 (结果要保留三位有效数字) 。 不计水的阻力,设水温很低,不计其饱和蒸汽压的影响,并设水温上下均匀且保持不变。

p0

H0
l0
l

图 7-8

48

3.光滑的竖直圆环的半径为 r,自然长度也为 r 的轻弹簧一端 固定在大圆环的顶点 O, 另一端与一个套在大环上的质量为 m 的小圆环相连,如图将小环移至 A 点,使弹簧保持自然长度, 然后释放小环让其运动,求弹簧与竖直线成 ? 角时,小环的速 度,并讨论小环的运动。

?
O A

4.如图所示,用一弹簧把两物块 A 和 B 连接起来后,置于水平地 面上,已知 A、B 的质量分别为 m1 和 m 2 。问应在物块 A 上加多 大的压力 F, 才可能在撤去力 F 后, A 向上跳起后会出现 B 对地无 压力的情况?弹簧的质量略去不计。

A

B

49

5.M 和 m 用绳通过定滑轮连接, m 放在倾角为

? ? 370 的固定斜面上,M=5kg,
m=1kg,m和斜面的动摩擦因数 ? ? 0.5 ,而 物体M沿杆AB无摩擦滑动,OA间距离为L=4 m,问当M由静止开始沿如图所示的位置下滑h= 3m时,它的速度为多大? m









?

6.图中的 AOB 是游乐场中的滑道模型,它位于竖直平面内,由两个半径都是 R 的 1/4 圆周连 接而成,它们的圆心 O1 、O2 与两圆弧的连接点 O 在同一竖直线上.O2 B 沿水池的水面.一 小滑块可由弧 AO 的任意点从静止开始下滑. 1.若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中,在两个圆弧上滑过的弧长相等,则小滑 块开始下滑时应在圆弧 AO 上的何处?(用该处到 O1 的连线与竖直线的夹角表示) . 2.凡能在 O 点脱离滑道的小滑块, 其落水点到 O2 的距离如何? A O1

O O2 B

50

7.如图所示,质量为 M 的长滑块静止在光滑的水平面 上,左侧固定一弹性系数为 k,且足够长的水平轻质弹 簧,右侧用一不可伸长的细轻绳连接与竖直墙上,细 绳能承受的最大拉力为 T。 使一质量为 m、 初速度为 v 0 的小物体,在滑块上无摩擦地向左滑动,而后压缩弹簧。 (1)、给出细绳被拉断的条件。 (2)滑块在细绳被拉断后被加速的过程中,所能获得的最大向左的加速度。 (3)物体最后离开滑块时,相对地面速度恰好为零的条件是什么?

8.倔强系数为 k 的水平轻质弹簧,左端固定,右端系一质量为 m 的物体。物体可在有摩擦的 水平桌面上滑动(如图 5-7) 。弹簧为原长时物体位于 O 点,现在把物体沿弹簧长度方向向 右拉到距离 O 点为 A0 的 P 点按住,放手后弹簧把物体拉住。设物体在第二次经过 O 点前, 在 O 点左方停住。计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等。 (1)讨论物体与桌面间的摩擦系数 μ 的大小应在什么范围内。 (2)求出物体停住点离 O 点的距离的最大值。并回答:这是不是物体在运动过程中所能达 到的左方最远值?为什么?

m O
图 5-7

P

51

9.万有引力为保守力, 如果两个质点相距无穷 m 远时其间的万有引力势能取为零值,那么它 们相距为 r 时具有的万有引力势能为: A

M L0 B

v0 F

Mm E p ? ?G ,这里 m、M 分别为两个物体 r

的质量。现假设在宇宙空间某惯性系中有两个质点 A 和 B,它们的质量分别为 m 和 M,开 始时如图所示,A、B 相距为 L 0 ,A 静止,B 具有沿 A、B 连线延伸方向的初速 v 0 ,为使 B 能从此做匀速直线运动,可对 B 施加一个沿 v 0 方向的外力 F。 (1) 求 AB 间的最远距离,AB 间有最远距离满足什么条件 (2) .试求 A、B 间距最大时的 F 值。 (3).确定从开始时刻到 A、B 间距离为最大的过程中,变力 F 所作的总功 W。 (4).对(2)(3)结论做适当的讨论。

10.如图所示,AB 两物体的质量分别是 m1 和 m2。中间用一根原长为 L0 ,劲度系数为 k 的 轻质弹簧连接在一起,并置于光滑的水平面上处于自然静止状态。某时刻突然给物体 A 一 个水平向右的速度 v0。同时加一个水平向右的力,使物体 A 保持以速度 v0 作匀速运动,运 动过程中弹簧始终处于弹性限度内。试求: (1)AB 间的最大距离为多大? (2) 从开始运动至 AB 间距达到最大距离的过程中,外力 F 做了多少功? F

B

A

52

11.两带正电的小球 A 和 B, 质量分别为 m1 和 m2。电量分别为 q1 和 q2。 开始时两球相距 L0 。 并使它们在光滑水平面上静止,现给小球 A 一个向左的初速度 v0,同时加一个外力 F,以 确保小球 A 以 v0 的速度向左做匀速运动,试问: (1)求 AB 两球间的最小距离为多大? (2)从开始运动至 AB 间距达到最小距离的过程中,外力 F 做了多少功? B v0 A F

三、功能原理和能量守恒定律
保守力:做功的多少与路径无关的力;象重力、电场力都是保守力 非保守力:做功与路径有关的力。象滑动摩擦力 功能原理: 外力 (除了重力) 和非保守内力对物体系作功的总和等于物体系机械能的变化量。 能量守恒定律: 【练习】 1.如图 7-3 所示,在水平桌面上放一质量为 M,截面为直角三角形的物体 ABC,AB 与 AC 间的夹角为 θ,B 点到桌面的高度为 h。在斜面 AB 上的底部 A 处放一质量为 m 的小物体。 开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面 AB 方向的初速度 v0,如果小物体与斜面间以及 ABC 与水平桌面间的摩擦都不考虑,则 v0 至少要大于何值才能使小物体经 B 点滑出。

B M C
图 7-3

m

v0

A

53

2.两个质量分别为 m1 和 m2 的重物悬挂在细绳的两端,已知 m1 ? m 2 ,绳子绕过一个半径 为 r 的滑轮,如图所示,在滑轮的轴上固定了四个长为 L,分布均匀的辐条,辐条的端点固 定有质量为 m 的小球,重物 m1 和 m2 的运动是由本身的重力产生 的,轴的摩擦、绳及辐条和滑轮的质量均不计,绳与滑轮间不发 生相对滑动,求两个重物运动的加速度?

m2 m
1

3.足球运动员在离球门 L=11m 的罚球点准确地从其正前方球门的横梁的下缘踢进一球,横 梁的下缘离地面高为 h ? 2.5m ,足球的质量为 M ? 0.5kg ,不计空气阻力,问必须传给这 个球的能量至少是多少?

54

4.如图,长度为 L 轻杆上端连着一个质量为 m 的体积可忽略的的小重物 B。杆的下端被用 铰链固定于水平面上的 A 点,同时,置于同一水平面上的立方体 C 恰与 B 接触,立方体 C 的质量为 M,令作微小扰动,使杆向右倾倒,设 B 与 C、C 与水平地面间均没有摩擦,而 B 与 C 刚脱离的瞬间,杆与地面的夹角恰好为 60 ,求 B 与 C 的质量之比? B C
0

A

5.如图所示,质量相等的重物 A 和 C 用绕过定滑轮 M 和 N 的细绳连接在一起,重物 A 和 C 处于静止状态。现将质量与 A 和 C 相同的重物 B 挂于滑轮 M 和 N 间细绳的中点,设滑轮 M 和 N 之间的距离为 2a,两滑轮处于同一水平线上,求:B 获得的最大速度为多少?

M

O
B

N

A

C

÷

55

四、质点动量定理
? ? ? I合 ? mv t ? mv0
质点动量定理是一个矢量表达式,它可以在三个方向上投影,从而写出其标量表达式:

I x ? mvxt ? mvx0

I y ? mvyt ? mvy0
I z ? mvzt ? mvz0
1.在一次军训中,一个战士在离墙 s 0 处以速度 v 0 起跳,再用脚迅速蹬墙面一下,使身体的 速度方向变为竖直向上,墙面和鞋底之间的摩擦因数为 ? ,问:该战士以怎样的 ? 角起跳, 才能使身体重心升得最高?

v0

?

56

2.如图所示,将一铁饼状小物块在离地面高为 h 处沿水平方向以初速 v0 抛出.己知物块碰地 弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为 e (<1) .又知 沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为 ? (≠0) :每次碰撞过程的时间都非常短,而 且都是“饼面”着地.求物块沿水平方向运动的最远距离.

五、质点系动量定理
如果研究对象是一个质点系, 我们同样可以用动量定理解决问题: 质点系内各个物体受到的 合冲量,等于它们的动量增量之和。这就是质点系动量定理。可以表达为

? I ? ?m v
i i i i

?

?

i

57

1.质量分别为 m1、m 2、m3 的三个质点 A、B、C 位于光滑的水平桌面上,用一拉直的的不 可伸长的柔软细绳 AB 和 BC 连接, ?ABC 为 ? ? ? , ? 为一锐角,如图所示。今有一冲 量为 J 的冲击力作用于 C 点,求质点 A 开始运动时的速度。

?

C

m3

A

m1

?

m2
B

六、动量守恒定律
当系统受到的总冲量为零时,系统的总动量保持不变。即: p1 ? p 2 。 动量守恒定律是一个矢量式,它可以在三个方向上投影化成标量表达式:

?

?

p1x ? p 2x

p1y ? p 2y
p1z ? p 2z
下面讨论几个应用动量守恒定律的较重要的问题

58

七、碰撞
1、碰撞是指物体相互作用时间极短而相互作用的物体的动量又有明显的变化的过程。由于 碰撞过程中, 系统内部的相互的内力要比它们受到的外力大得多, 故此过程中外力的作用可 以忽略不计,此系统的总动量守恒。 2、碰撞的分类 (1)按照碰撞前后系统的机械能有无损失来分类为:若碰撞前后相互碰撞的物体的总动能 不变,则此碰撞叫完全弹性碰撞;若碰撞前后相互作用的物体的总动能发生变化,则此碰撞 叫非弹性碰撞;若碰转后两碰撞的物体的速度相同,则此碰撞叫完全非弹性碰撞,完全弹性 碰撞的机械能的损失最大。有机械能损失的碰撞但不是最大的碰撞叫做非完全弹性碰撞。 A、完全弹性碰撞: p 0 ? p t B、非弹性碰撞: p 0 ? p t

E0 ? E t E0 ? E t

对于相互碰撞的两个质点组成的物体系,由动量守恒定律得:

? ? ? ? ? ? m 2 v? m1 v1 ? m 2 v 2 ? m1 v1 2①
如果碰撞时(完全)弹性碰撞,则前后动能守恒,有:

1 1 1 2 2 ?2 1 ?2 m1 v1 ? m 2 v 2 ? m1 v1 ? m 2 v 2 ② 2 2 2 2
将②式变形得: m1 (v 1 ? v1 )( v1 ? v1 ) ? m 2 ( v 2 ? v 2 )( v 2 ? v 2 ) 将①式变形得: m 1 ( v1 ? v1 ) ? m 2 ( v 2 ? v 2) ④ ③④两式相识得: v1 ? v1 ? v 2 ? v 2 所以:有: v1 ? v 2 ? v 2 ? v1 ⑤ 这个结果被称为牛顿碰撞定律, v 2 ? v1 是碰撞前 m 2 相对于 m1 的速度,或者说是 m 2 趋近

?

?

?

?



?

?

?

?

?

?

? ? m1 的速度; v1 ? v 2 是碰撞后 m1 相对于 m 2 的速度,或者说是 m1 离开 m 2 的速度。
将①⑤两式联立解得: v1 ?

?

(m1 ? m 2 ) v1 ? 2m2 v 2 m1 ? m 2

? (m 2 ? m1 ) v 2 ? 2m1 v1 v2 ? m1 ? m 2
由此结果可以看出:当 m1 ? m 2 时, v 1 ? v 2

?

? v 2 ? v1 ,即两球的速度发生了交换,当

? m 2 ?? m1 ,且 v 2 ? 0 时, v1 ? ? v1 ?

? v 2 ? 0 即 m1 被原速弹回(如小球撞在墙上)
?

如果 m1 ?? m 2 ,且 v 2 ? 0 时,则 v1 ? v1 , v 2 ? 2v 1 即 m1 的速度不变, m 2 以 2v1 的
59

速度前进。 (如相同半径的铅球撞篮球)

如果碰撞之后两个球的速度相同,可以补充一个方程 v 1 ? v 2 ⑥ ①⑥联立得 v 2 ? v1 ?

?

?

?

?

m1 v1 ? m 2 v 2 m1 ? m 2

这种碰撞称为完全非弹性碰撞或范性碰撞。为了区别碰撞的性质,我们引入恢复系数 e,e 定 义为分离速度和接近速度的比值

? ? v 2 ? v1 e? v1 ? v 2
将此式与动量守恒式联立可得:

m (v ? v 2 ) ? v1 ? v1 ? (1 ? e) 2 1 m1 ? m 2 m ( v ? v1 ) ? v 2 ? v 2 ? (1 ? e) 1 2 m1 ? m 2
在完全弹性碰撞中 e=1, 完全非弹性碰撞中 e=0,对于非完全弹性碰撞 0<e<1 范性过程 范性过程指两个物体碰撞后连在一起运动,其他还有一些类型的运动其特征和范性碰撞相 似,即相互作用后,两个物体的速度相同,对这一类相互作用的过程,我们可以称之为范性 过程。 范性过程可长可短,范性过程中两个物体的相互作用力可以是各种性质的力,例如: 弹力、摩擦力、万有引力、库仑力等。在范性过程中,动能肯定是不守恒的,而且是各种相 互作用中动能损失最大的一种。而范性过程中,机械能守恒与否,要看范性过程中,两个物 体之间的作用力的类型,如果是滑动摩擦力,机械能肯定不守恒,如果通过弹簧弹力、万有 引力等相互作用,则机械能是守恒的,只不过动能转化为了势能。 下面看一道高考题,当年的正确率不到 1℅ 在光滑水平面上,有一质量 m1 ? 20kg的小车,通过一根不可伸长的轻绳与另一质量为

m 2 ? 25kg的拖车相连接,一质量 m3 ? 15kg的物块放在拖车的平板上,物体与平板车之
间的动摩擦擦因数 ? ? 0.2 , 开始时, 拖车静止, 绳未张紧, 如图, 小车靠惯性以 v 0 ? 3m / s 的速度前进,求: (1)当 m1 , m 2 , m3 达到相同速度时,其速度为多大? (2)物块在拖车上滑动的距离 m2 m3 m1

60

【练习】
1.网球拍以速度 v1 击中以速度 v0 飞来的网球,被击回的网球的最大速率为 (以上所有的速率都是相对于地面) 。

2.帆船在逆风的情况下仍能只依靠风力破浪航行。设风向从 S 向 A,如图 7-1。位于 A 点处 的帆船要想在静水中最后驶向目标 S 点,应如何操纵帆船?要说明风对船帆的作用力是如 何使船逆风前进到目标的。

风向

A
图 7-1

S

3.位于水平光滑桌面上的 n 个完全相同的小物块,沿一条直线排列,相邻小物块间都存在一 定的距离。自左向右起,第 1 个小物块标记为 P1,第 2 个小物块标记为 P2,第 3 个小物块 标记为 P3,……,最后一个小物块即最右边的小物块标记为 Pn。现设法同时给每个小物块 一个方向都向右但大小各不相同的速度,其中最大的速度记作 v1,最小的速度记作 vn,介 于最大速度和最小速度间的各速度由大到小依次记为 v2、v3、…、vn?1。若当小物块发生碰 撞时,碰撞都是弹性正碰,且碰撞时间极短,则最终小物块 P1、P2、P3、…、Pn。速度的大 小依次为________________________________________________。

61

4.一座平顶房屋,顶的面积 S=40m2。第一次连续下了 t=24 小时的雨,雨滴沿竖直方向以 v=5.0m/s 的速度落到屋顶,假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹,并立即流走。第二次气 温在摄氏零下若干度,而且是下冻雨,也下了 24 小时,全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留 在屋顶上,测得冰层的厚度 d=25mm。已知两次下雨的雨量相等,冰的密度为 9× 102kg/m3。 由以上数据可估算得第二次下的冻雨结成的冰对屋顶的压力为_______N,第一次下雨过程 中,雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为_______N。

5.一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止开始下滑,与一质量为 km 的静止在水平地面上的小 滑块 B 发生正碰撞,如图所示.设碰撞是弹性的,且一切摩擦不计.为使二者能且只能发 生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条件? A

B

62

6.质量为 M,表面光滑的半球体静止在光滑的水平地面上,半球的顶端有一个质量为 m 的 小滑块由静止开始下滑,至圆心角为 ? 处是飞离半球体,已知 cos ? ? 0.7 ,求:M/m m

?
M

7.两个等质量的小球 A 和 B 用长为 L 的轻绳相连,放在光滑的桌面上,一开始 A、B 都静 止,B 的运动受到一条槽的限制,A、B 的连线 B L 垂直于槽,A 到槽的距离为 。现给 A 一个平

2

行于槽的速度 v 0 , 求绳张紧后的瞬间 B 的速度。

L 2
A

L

v0

63

8.如图所示,有三个小球 A、B、C 用两根不可伸长的轻绳将 A 与 B 以及 B 与 C 相连,然 ? 后置于光滑的水平面上。将 AB 绳和 BC 绳完全拉直, ?ABC ? ,且处于静止状态。现 2
有第四个小球 D 沿 ?ABC 的平分线以速度 v 0 与 B 发生完全非弹性碰撞, 设碰撞时间极短, 碰后各球同时开始运动,已知四球的质量之比为 m A:m B : mC : m D ? 1 : 1 : 2 : 1 。求: (1)B、D 球结合后开始共同运动时的速度 (2)碰撞过程中损失的能量占 D 球初动能的百分比。 A B

v0
D C

64

9.长为 2b 的轻绳,两端各系一质量为m的小球,中央系一个质量为M的小球,三球均静止 于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态,三球处于同一直线上,如图所示,今给小球M一个 冲击,使它获得水平速度v,v的方向与绳垂直。 求: (1)M刚受到冲击时绳上的张力。 (2)在两端的小球发生碰撞前的瞬间绳中的张力 (3)若从小球M开始运动到两球相碰时的时间为t,求在此期间小球M经过的距离 s M 。 v

10.质量为M、倾角为 ? 的光滑劈放在水平地面上,一个质量为m的小球以竖直速度 v 0 落到 斜面上,如图,恢复系数为 e,求: (1)小球的反弹高度 h (2)斜劈获得的速度 V m

v0
M α

65

11.一个质量为 m 的小球由静止开始沿质量为 M 的小车上的 小球处于如图 ? 位置时车对球的支持力。 m

1 圆弧下滑, 忽略一切摩擦, 求 4

?
M

66

12.有一质量及线度足够大的水平板,它绕垂直于水平板的竖直轴以匀角速度 ω 旋转。在板 的上方 h 处有一群相同的小球(可视为质点) ,它们以板的转轴为中心、R 为半径均匀的在 水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示其数线密度) 。现让这些小球同时从 静止状态开始自由落下, 设每个球与平板发生碰撞的时间非常短; 而且碰撞前后小球在竖直 方向上速度的大小不变, 仅是方向反向; 而在水平方向上则会发生滑动摩擦, 摩擦系数为 μ。 (1)试求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比值 ν1。 (2)如果 R? ?g / ? 2 (g 为重力加速度) ,且? 1 ? 1 / 2 ,试求这群小球第三次和第一 次与平板碰撞时的小球数线密度之比值 ν2。

67

13.质量为 M 的运动员手持一质量为 m 的物块, 以速率 v0 沿与水平面成 a 角的方向向前跳跃 (如图) .为了能跳得更远一点,运动员可在跳远全过程中的某一位置处,沿某一方向把物 块抛出.物块抛出时相对运动员的速度的大小 u 是给定的,物块抛出后,物块和运动员都在 同一竖直平面内运动. (1) 若运动员在跳远的全过程中的某 时刻 to 把物块沿与 x 轴负方向成某 θ 角的 方向抛出,求运动员从起跳到落地所经历 v0 的时间. (2)在跳远的全过程中,运动员在何处 把物块沿与 x 轴负方向成 θ 角的方向抛出, 能使自己跳得更远?若 v0 和 u 一定,在什 么条件下可跳得最远?并求出运动员跳的 最大距离.

68

14.质量为 M 的粒子以速度 v0 运动,与质量为 m 的静止粒子碰撞,求 M 在碰撞后运动方向 的最大偏角。碰撞是完全弹性的。

15.质量为 m 的小珠子套在质量为 M 的均匀圆环上,将它们平放在水平桌面上,开始时珠 子具有速度 v,而环静止。求在以后运动的过程中珠子的最小动能,不计摩擦(珠子初速度 沿环的切线方向) 。

69

16.有三个质量相等的粒子,粒子 1 和粒子 2 之间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧,并用 轻质细绳缚在一起(可视为一个小物体)静止地放在光滑的水平地面上.另一个粒子 3 沿该光 滑水平面射向它们,粒子 3 和粒子 1 相碰撞并粘连在一起运动,后轻质细线自动甭离开来,使 弹簧释放,三个粒子分为两部分:一部分为粒子 2,另一部分为粘在一起的例子 1 和 3.已知弹簧 被充分压缩时的弹性势能为 EP.为了使被释放的粒子 2 的散射角保持在 300 之内,求粒子 3 入 射时的动能应满足什么条件?(提示:此处散射角是指粒子 2 射出后的运动方向和粒子 3 入射 时的运动方向的夹角).

70

17.如图所示,定滑轮 B、C 与动滑轮 D 组成一滑轮组,各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质 量均不计.在动滑轮 D 上,悬挂有砝码托盘 A,跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂 有砝码 2 和 3.一根用轻线(图中穿过弹簧的那条竖直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托 盘底上,弹簧的下端与托盘底固连,上端放有砝码 1(两者未粘连) .已知三个砝码和砝码 托盘的质量都是 m,弹簧的劲度系数为 k,压缩量为 l0,整个系统处在静止状态.现突然烧 断拴住弹簧的轻线,弹簧便伸长,并推动砝码 1 向上运动,直到砝码 1 与弹簧分离.假设砝 码 1 在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰. 求砝码 1 从与弹簧分离至再次接触经历的 时间.

B

D

C

2

1 A

3

71

18.如图所示,三个质量都是 m 的刚性小球 A、B、C 位于光滑的水平桌面上(图中纸面) , A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆相连,杆与 A、B、C 的各连接处皆为―铰链式‖的(不 能对小球产生垂直于杆方向的作用力) . 已知杆 AB 与 BC 的夹角为?? ? , ?? < ? /2 . DE 为固定在桌面上一块挡板,它与 AB 连线方向垂直.现令 A、B、C 一起以共同的速度 v 沿 平行于 AB 连线方向向 DE 运动,已知在 C 与挡板碰撞过程中 C 与挡板之间无摩擦力作用, 求碰撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 变为 0 这一极短时间内挡板对 C 的冲量的大小.

D B A
A

????

A

C
A A

E

72

19.如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2 l ,两端和中心处分别固连着质量为 m 的小 球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的小球 A,以一 给定速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A,B,C,D 的速 度,并详细讨论以后可能发生的运动情况。

73

20 质量均为 m 的三个小球 A,B,C 处于光滑水平面上。A 和 B,B 和 C 之间分别用长为 l 的 细线相连。 AB 的延长线与 BC 的夹角 α=π/3。 在平面内建立 xOy 系, 其中 O 点与 B 球重合。 x 轴和 y 轴的方向如图所示。今有一质量同为 m 的小球 D,沿 y 轴负方向以速度 v0 向 B 球 运动。在碰撞结束的一瞬间,两条绳均断。问在此之后,经多长时间 D 球与 ABC 三球的质 心间距最小?

74

第七讲

有心力

一、基本知识 1、当物体运动时,如果物体受到的合外力始终指向某一定点,我们把该定点叫做其运动的 ―心‖,该力叫做有心力 2、叉乘 ? C 两个矢量的叉乘的乘积等于两个矢量的乘积再乘以两个矢量 夹角的正弦。即: C ? A ? B ? A ? B sin? , C 的方向遵循右 手螺旋定则 3、角动量 物体在运动过程中, 其对某一点 A 的位移与其动量的叉积叫做

?

?

?

?

? B

?

? A

? 物体对该点的角动量。即: L ? r ? mv ? rmvsin
4、角动量守恒定律 当一个物体受道的力矩为零,则这个物体的角动量守恒。 二、天体的运动 1、万有引力的几个结论 (1)一个质量均匀分布的球壁状物质层,对放在其内部区域的质点的万有引力为零,而对 放在其外部的质点则产生引力作用, 而且其作用就像是整个球壁层的质量都集中在的它的中 心一样。 (2)一个质量分布均匀的球壁状物质层,总质量为 M 半径为 R,某一质量为m的质点与其 的万有引力势能有以下规律。

?

?

?

Mm (r ? R ) r Mm (r ? R ) EP ? ? G R

EP ? ? G

2、引力半径与宇宙半径 在地球表面平抛一个物体,如果速度足够大,它将绕地球作圆周运动,此时速度成为第一宇 宙速度,如果速度再足够大,以至此物逃离地球,不再返回,那么这个速度叫做第二宇宙速 度。 以上是对地球而言, 对于任何一个质量为M, 半径为R的均匀球体系都有类似于地球情形下 的两个特征速度。求: 1) 若此球形系统的第二宇宙速度超过光速, 那么r的最大值记作 rg , 被称为引力半径,
24

设地球的质量为 6.0 ? 10 kg ,计算地球的引力半径R

2)若物质均匀分布于半径为r的球体内,物质密度为 ? ,总质量为 M 0 ,且此时的半径r 正好是引力半径 rg ,写出 rg 的表达式。设宇宙环境在大尺度上质量是均匀分布的,质量密 度平均值为 10
75
?29

g / cm3 ,求 rg 。这个半径称为宇宙半径。

3、开普勒三定律 (1)行星轨道为椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上 (2)从太阳画到行星的矢径,在相等的时间内扫过相等的面积。 (3)行星绕太阳运行周期的平方正比于各行星轨道长半轴的立方。

1、行星运动的轨道如图所示,P 行星,F 为焦点(太阳) ,a、b 、2c 分别为半长轴、半短 轴和焦距, O 为椭圆中心。 根据万有引力定律, 行星和太阳之间的引力势能为 E p ? ?G

Mm r

试根据机械能守恒定律,开普勒第一和第二定律分别求出行星运动的总机械能 E,面积速度 S 和公转周期 T 的公式(用 G、M、m、a、b 表示)并证明开普勒第三定律 P b c F O a B

A

76

3.至少要

颗同步卫星才能―覆盖‖整个地球赤道。

3.要使一颗人造地球通讯卫星(同步卫星)能覆盖赤道上东经 75.0° 到东经 135.0° 之间的区 6 域,则卫星应定位在哪个经度范围内的上空?地球半径 R0 = 6.37× 10 m.地球表面处的重力 2 加速度 g = 9. 80m/s .

4 月亮为什么永远以一面朝地球? 4.在月球上能看到地球的地方,以月球为参照系时: (1)地球有无绕月球的公转?答 。若有公转,周期大约是多少? 答 。 (2)地球有无自转?答 。若有自转,周期大约是多少?答 (3)在月球上观察,地球有无圆缺变化?答 。若有圆缺变化,周期大约是多少? 答 。



6.海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆,近日点到太阳中心的距离为 0.914 天文单位(1
天文单位等于地日间的平均距离) ,则其近日点速率的上限与地球公转(轨道可视为圆周) 速率之比约为(保留 2 位有效数字) 。
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77

7.若不考虑太阳和其他星体的作用,则地球-月球系统可看成孤立系统。若把地球和月球都 看作是质量均匀分布的球体,它们的质量分别为 M 和 m,月心-地心间的距离为 R,万有引 力恒量为 G。学生甲以地心为参考系,利用牛顿第二定律和万有引力定律,得到月球相对于

M ;学生乙以月心为参考系,同样利用牛顿第二定律和万 R2 m 有引力定律,得到地球相对于月心参考系的加速度为 a e ? G 2 。这二位学生求出的地-月 R
地心参考系的加速度为 a m ? G 间的相对加速度明显矛盾,请指出其中的错误,并分别以地心参考系(以地心速度作平动的 参考系)和月心参考系(以月心速度作平动的参考系)求出正确结果。
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8.涨潮和退潮现象是由天体给予整个地球和位于其表面的水以不同的加速度所引起的。太阳 对于地球表面上任何一点的吸引力都比月亮对该点的吸引力大。 但是引起涨潮和退潮现象的 主要作用是月亮而非太阳。试分析并说明之。(可能需要的数据:地球质量 Me=5.97× 1024kg, 地球半经 Re=6378km。月亮质盘 Mm=7.35× 1022kg,月亮直径 d m=3476km ,月地平均距离 Se-m=384401km ,太阳质量 Ms=1.99× 1030kg ,日地平均距离 Ss-e=1.49× 108km ,太阳半径 Rs=696265kin)。

78

9.假定月球绕地球作圆周运动,地球绕太阳也作圆周运动,且轨道都在同一平面内。已知地 球表面处的重力加速度 g=9.80m/s2,地球半径 R0=6.37× 106m,月球质量 mm=7.3× 1022kg,月 球 半 径 Rm=1.7× 106m , 引 力 恒 量 G=6.67× 10?11N· m2/kg2 , 月 心 地 心 间 的 距 离 约 为 8 rem=3.84× 10 m (i)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天? (ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天? (iii)若忽略月球绕地球的运动,设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球,试估算火箭到 达月球表面时的速度至少为多少(结果要求两位数字)?

]

10.图 9-5 为地球绕日运行的示意图。地球运行轨道在 XY 平面内,A 为此椭圆的中心,太阳 中心位于坐标系原点处,地球的自转轴与 X 轴垂直,与 Z 轴的夹角为 θ。图 9-6 所示为 XY 平面上运行的椭圆轨道。 图 9-7 是地球和月球运行的示意图, 地球自转的方向已在图中标出。 试回答以下问题: 1.θ 的值等于多少?答: 。 2.在图 9-6 上用 Ch、Q、X、D 分别标出春分(Ch) 、秋分(Q) 、夏至(X) 、冬至(D)时 地球所在的位置。 3.根据人们对月球绕地球运动的观察结果可以判定月球绕地球运行的方向。在图 9-7 中用 箭头画出月球运行的方向,并说明你作为此判断的理由。

自转轴
θ 地球 X

Z
C

Z

Y
地球

C Y





Y X

X

图 9-5
79

图 9-6

图 9-7

11.卫星携带一探测器在半径为 3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在 a 点,卫星上 的辅助动力装置短暂工作, 将探测器沿运动方向射出 (设辅助动力装置喷出的气体质量可忽 略) 。若探测器恰能完全脱离地球的引力,而卫星沿新的椭圆轨道运动,其近地点 b 距地心 的距离为 nR (n 略小于 3),求卫星与探测器的质量比。 (质量分别为 M、m 的两个质点相距为 r 时的引力势能为-GMm/r,式中 G 为引力常量)

b

a

12. (南大 06)绳长为 L,两接点间距为 d,士兵装备及滑轮质量为 m,不计摩擦力及绳子 质量,士兵从一端滑到另一端过程中。求: ⑴士兵速度最大值 vmax? ⑵士兵速度最大时绳上的张力? ⑶士兵运动的轨迹方程?

80

13.一个质量为 m1 的废弃人造地球卫星在离地面 h=800km 高空作圆周运动,在某处和一个 质量为 m2=m1/9 的太空碎片发生迎头正碰,碰撞时间极短,碰后二者结合成一个物体并作 椭圆运动.碰撞前太空碎片作椭圆运动,椭圆轨道的半长轴为 7500km,其轨道和卫星轨道在 同一平面内.。设地球是半径 R=6371km 的质量均匀分布的球体,不计空气阻力. (i)试定量论证碰后二者结合成的物体会不会落到地球上. (ii)如果此事件是发生在北级上空(地心和北极的连线方向上), 碰后二者结合成的物体与 地球相碰处的纬度是多少?

81

14.宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质量 m=500kg 的探测卫星.该卫星通过一 条柔软的细轻绳与空间站连接, 稳定时卫星始终在空间站的正下方, 到空间站的距离 l=20km. 已知空间站的轨道为圆形,周期 T=92 min(分) 。 i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小; ii.假设某一时刻卫星突然脱离轻绳。试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远地点 到地面的高度和卫星运行周期。 【取地球半径 R=6.400× 103km,地球同步卫星到地面的高度为 H0=3.6000× 104km,地球自转 周期 T0=24 小时】

82

15.两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动,它们通过轨道上同一点的时间相差半个 周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径 R 的 2 倍,卫星通过近地点时的速度 v ? 3GM 4R ,式中 M 为地球质量,G 为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪,可 测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角. 试设计一种测量方案, 利用这两个测量仪测定 太空中某星体与地心在某时刻的距离. (最后结果要求用测得量和地球半径 R 表示)

83

16.一个为 M,半径为 R 的星体,以速度 v 0 进入一片广阔的星际尘埃中,尘埃的平均密度为

? ,因为星体将周围的尘埃吸到星体上,求星体因此受到的阻力。

17.质量为 m 的宇宙飞船绕地球中心 O 作圆周运动, 已知地球半径为 R, 飞船轨道半径为 2R, 现要将飞船转移到另一个半径为 4R 的新轨道上。 (1)求转移所需要的最小能量, (2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的,如图中的 ACB 所示,则飞船在两条轨道的交 接处 A 和 B 的速度变化 ?v A 和 ?v B 各是多少? 4R 2R A O B

C

84

18.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星的质量 小得很多,飞行器的速率为 v0 ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍.有人企图借 助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系,于是他便设计了如下方案:Ⅰ. 当飞行器在 其圆周轨道的适当位置时, 突然点燃飞行器上的喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动 机,以使飞行器获得所需的速度,沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道;Ⅱ. 飞行器到达小行 星的轨道时正好位于小行星的前缘, 速度的方向和小行星在该处速度的方向相同, 正好可被 小行星碰撞;Ⅲ. 小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰,不计燃烧的燃料质量. 1.试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系; 2.设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1 .如果不采取上述方案而是令飞 行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动机, 以使飞行器获得足 够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系. 采用这种办法时, 飞行器从发 动机取得的能量的最小值用 E2 表示,问

E1 为多少? E2

85

19.一质量为 m= 1.2 ?104 kg 的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动,其高度 h=100km,为 使飞船落到月球表面,喷气发动机在 P 点作一次短时间发动,从喷口喷出的热气流相对于 飞船的速度为 u=10000km/s.月球半径为 R=1700km,月球表面的落体加速度 g ? 1.7m / s 2 ,飞 船可用两种不同的方式到达月球 (1)向前喷射,使飞船到达月球的背面的 A 点,并相切,A 点与 P 点相对。 (2)向外侧喷射,使飞船得到一指向月球中心的速度,其轨道与月球表面 B 点相切 试计算上述两种情况下所需要的燃料能量。 B A O P O P

86

20.嫦娥 1 号奔月卫星与长征 3 号火箭分离后,进入绕地运行的椭圆轨道,近地点离地面高

Hn ? 2.05 ?102 km ,远地点离地面高 H f ? 5.0930 ?104 km ,周期约为 16 小时,称为 16
小时轨道(如图中曲线 1 所示) 。随后,为了使卫星离地越来越远,星载发动机先在远地点 点火,使卫星进入新轨道(如图中曲线 2 所示) ,以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以 后的近地点点火,使卫星加速和变轨,抬高远地点,相继进入 24 小时轨道、48 小时轨道和 地月转移轨道(分别如图中曲线 3、4、5 所示) 。已知卫星质量 m ? 2.350 ?103 kg ,地球半 径 R ? 6.378 ?10 km ,地面重力加速度 g ? 9.81m / s 2 ,月球半径 r ? 1.738 ?10 km 。
3 3

1、试计算 16 小时轨道的半长轴 a 和半短轴 b 的长度,以及椭圆偏心率 e。 2、在 16 小时轨道的远地点点火时,假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同,而且点 火时间很短,可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小 F=490N,要把近地点抬高到 600km,问点火时间应持续多长? 3、 试根据题给数据计算卫星在 16 小时轨道的实际运行周 期。 4 、卫星最后进入绕月圆形轨道,距月面高度 Hm 约为 200km,周期 Tm=127 分钟,试据此估算月球质量与地球 质量之比值。

87

21..质量为 M 的宇航站和质量为 m 的飞船一起沿着圆形轨道绕地球飞行, 半径为地球半径 R 的 1.25 倍,某时刻,宇航站将飞船沿运动方向弹射出去,此后两者都沿椭圆轨道运行,飞 船轨道的最远点到地心的距离为 10R, 试问飞船和宇航站的质量之比 地球一周后恰好与宇航站相遇?

m 为何值时, 飞船绕 M

88

第八讲
?

简谐运动

一.简谐运动是最简单的振动形式,任何复杂的振动都可以分解成若干个简谐振动,判断一 个振动是否是简谐运动的依据,从受力上来看:满足回复 力 F ? ?kx 。该条件是简谐运动的充要条件。 例1、 质点以角速度 ? 沿着半径为 R 的圆轨道做匀速圆周 运动,试证明:质点在某直径上的投影的运动是简 谐振动。 (提示:从受力分析入手,从而可以分析速度、加速度、 动能、势能以及总能量)

?

y
Fx Fy

F

x

【利用回复力的特征来判断简谐运动】
1.如图所示,假想在地球表面的 A、B 两地之间开凿一直通隧道, 在 A 处放置一个小球, 小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道 内运动,忽略一切摩擦阻力,试求小球的最大速度,以及小球从 A 运动到 B 所需要的时间,已知地球半径为 R, 地球半径为 R,A 和 B 之间的直线距离为 L,地球内部质量密度均匀, 不考虑地球的自 转.

89

2.有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的一条弦挖一通 道,如图所示.在通道的两个出口处 A 和 B ,分别将质量为 M 的物体和质量为 m 的待发射 卫星同时自由释放,只要 M 比 m 足够大,碰撞后,质量为 m 的物体,即待发射的卫星就会 从通道口 B 冲出通道;设待发卫星上有一种装置,在待发卫星刚离开出口 B 时,立即把待 发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向, 但不改变速度的大小. 这样待发卫星便有可 能绕地心运动,成为一个人造卫星.若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动,则地心 到该通道的距离为多少?己知 M =20 m ,地球半径 R0 =6400 km.假定地球是质量均匀分 布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰撞是弹性的.

90

3.有一粗细均匀的 U 型管中装有一定质量的水,水柱的总长度为 L,受扰后水在管中振动, 忽略管壁对水运动的阻力,求振动的周期

二.单摆
确定等效重力加速度 g ? 的方法: ①确定摆球振动的平衡位置 ②确定此时摆线的拉力 F ③等效重力加速度 g ? ?

F m

例 4、例如在一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆,车厢以加速度 a 在水平地面上运动,如 果摆球的质量为m,那么该单摆的简谐振动的周期为多大?

例 5、摆线长为 l 的单摆置于架子上,架子固定在小车上,使小车沿着倾角为 ? 的斜面以加 速度 a 做匀加速运动,求此时单摆振动的周期?

91

【练习】 1.质量为 10g 的物体做简谐振动,振幅为 24cm,周期为 4s,当 t=0 时坐标为+24cm。试求: (1)当 t=0.5s 时物体的位置。 (2)当 t=0.5s 时作用在物体上力的大小和方向。 (3)物体从 初始位置到 x ? ?12cm 处所需的时间。 (4)当 x ? ?12cm 时物体的速度。

2. 一物体在水平面上做简谐振动,振幅为 10cm,当物体离开平衡位置 6cm 时,速度为 24cm/s,(1)周期是多少?(2)当速度为 ? 12cm / s 时,位移是多少? (3)如果在振动的物体上加一小物体,当运动到路程的末端时,小物体相对于物块刚要开 始滑动,求它们之间的摩擦系数。

3.一物体沿 x 轴在 x ? ? A 和 x ? A 的区间内作简谐振动,对此物体作随机观察。则该物 体出现在微小间隔 0 ? x ? a 中的几率是 。

92

4.三根长度均为 L ? 2m ,质量均匀的直杆,构成一正三角形框架 ABC,C 点悬挂在一光滑 水平转轴上,整个框架可绕转轴转动,杆 AB 是一导轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动, 现观察到松鼠正在导轨上运动,而框架静止不动,试论证松鼠 C 的运动是一种什么样的运动?

A

B

5.如图 1-4 所示,质量可以忽略的弹簧上端固定,下端悬挂一质量为 m 的物体,物体沿竖直 方向做振幅较小的简谐振动。取平衡位置 O 处为原点,位移 x 向下为正,则在图 1-5 的 A、 B、C、D 和 E 五个图中

-a0

a0

x

-a0

a0

x

-a0

a0

x

A

B

C

-a0

a0

x

-a0

a0

x

D

E

(1)图 (2)图 (3)图 (4) 图

是描述物体的速度随 x 的变化关系。 是描述加速度随 x 的变化关系。 是描述弹簧的弹性势能随 x 的变化关系。 是描述总势能 (重力势能与弹性势能) 随 x 的变化关系 (重力势能取原点处为零) 。

93

6.质量为 m 的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上,设轮与木板间摩擦因数为

l ? ,两轮间距离 l ,平衡时长木板重心在 ,若将木板 2
稍微拉过一小段后放手,则木板将在轮上作往复运动, 这种振动是简谐振动吗?若是,求周期?

7.一个大容器中装有互不相溶的两种液体,它们的密度分别为 ?1 和 ?2 ( ?1 ? ? 2 ) 。现让一 长为 L 、密度为 ( ?1 ? ?2 ) 的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离两液体分界面 的距离为

1 2

3 L ,由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而 4

产生的液体阻力可以忽略不计,且两液体都足够深,保证木棍始终都在液体内部运动,未露 出液面,也未与容器相碰。

94

8.质量为 M 的小平板固定在劲度系数为 k 的轻弹簧上,弹簧 的另一端固定在地上, 有一质量为 m 的小球沿入射角 ? 方向 以速度 v0 射向小平板, 并发生完全弹性碰撞, 忽略一切摩擦, 求碰撞后小平板的振动方程?

9.图 9-9 中 A 是某种材料制成的小球,B 为某种材料制成的均匀刚性薄球壳。假设 A 与 B 的碰撞是完全弹性的,B 与桌面的碰撞是完全非弹性的。已知球壳 B 的质量为 m,内半径 为 a,放置在水平的、无弹性的桌面上。小球 A 的质量亦为 m,通过一自然长度为 a 的柔软 的弹性轻绳悬挂在球壳内壁的最高处,如图所示。弹性轻绳被拉长时相当于倔强系数为 k 的弹簧,且 ka=9mg/2。起初将小球 A 拉到球壳内的最低处,然后轻轻释放。试详细的、定 量的讨论小球以后的运动。

B

A

α

图 9-9

95

10.如图所示,在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球 A 和质 量为 2m 的小球 B.A 用细线拴住悬挂起来,系统处于静止状态,此时弹簧长度为 l .现将 细线烧断,并以此时为计时零点,取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴 Ox, 原点 O 与此时 A 球的位置重合如图. 试求任意时刻两球的坐标.

O

A

k x

l

B

11.两辆汽车 A 与 B,在 t = 0 时从十字路口 O 处分别以速度 vA 和 vB 沿水平的、相互正交的 公路匀速前进,如图所示.汽车 A 持续地以固定的频率 v0 鸣笛,求在任意时刻 t 汽车 B 的 司机所检测到的笛声频率. 已知声速为 u, 且当然有 u > vA、 vB. O A vA

B

vB

96

第九讲

静电场 1
------电场力及电场能

一、电荷守恒定律 电荷既不能被创造,也不能被消灭,只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部 分转移到另一部份。 库伦定律:当两个带电体的距离远大于它本身的尺寸时,带电体可以被看作点电荷。 二、电场强度:从力的角度来描述电场的物理量 定义式: E ?

F q
Q r2

对于点电荷有: E ? k

三、电场叠加原理 在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强,等于每个场源电荷单独存在时在该点 所激发的场强的矢量和。 四、高斯定理 某一闭合曲面上的电场 E 与其面积元的 ?S i 的乘积(当 E 垂直于 S 时)之和(叫做电 通量 ? )

? E?S

i

等于封闭曲面内所包含的电荷电量 Q 的 4?k 倍。

? E?S

i

? 4?kQ

五、一些典型带电体场强的计算 (1) 均匀球壳的场强 a、 均匀带电球壳内部的场强处处为零。 b、 均匀球壳外任意一点的场强公式为: E ? k

Q (r 是壳外一点到球壳球心的距离,Q r2

为球壳的带电总量,在研究球壳以外的一点电场时,可以认为球壳的电量集中在球壳的 球心) (2) 均匀带电球体内外的电场 a、 球体内部各点的场强: E ? k b、 球体外各点的场强: E ? k

Qr R2

(r ? R)
( r ? R)
' '

Q r2

(3) 无限大带电平行板外的点的场强 E ? 4?k? ? 2?k? ( ? 是金属板单面带电的面密 度, ? 是金属板双面带电的面密度) 六、电势

97

电势:电场中某点处电荷的电势能 E p 与该电荷电量的比值 点电荷 q 的电场中,与它相距为 r 处的电势为 U ? k

UA ?

E PA q

q r

(正负分明)

电势叠加原理:任意带电体电场中某电的电势,等于带电体上各部分电荷单独存在时,在该 点产生的电势的代数和。应用这一原理可以求得,半径为 R,电荷为 q 的均匀带电球壳的电 场中,距离球心 r 处的电势为: U ? k

q (r ? R) R q U ? k (r ? R) r

均匀带电球体的电势: U ? 3k

Q Qr 3 ?k ( r ? R) 2R 2R 3

U ?k
势差: U AB ?

Q (r ? R) r

W AB q

在匀强电场中 U AB ? Ed AB

【练习】 1.如图,均匀带电的圆环, 半径为 R,带电量为 Q,在轴上的一点 P,OP=x, 求: (1) P 点的电场强度 (2) 如果 x ?? R ,且在 P 点放一个质量为 m 的负电荷 ? q ,求其运动周期 (3) 若在上述的 P 点放一个质量为 m 的正电荷 ? q ,求在运动中的最大加速度?

P

O

2.一辆质量为 M 的绝缘小车,静止在光滑的水平面上,在小车的光滑板上放一质量为 m,带 电量为+q 的带电小物块(可看作质点) 。小车的质量与物块的质量之比 M:m=7:1,物块距小 车右端挡板距离为 l,小车车长 L=1.5l,如图所示,现沿平行车身方向加一场强为 E 的水平向 右的匀强电场,使带电小物块右静止开始象右运动,而后与小车右端挡板相碰,若碰后小车 的速度大小为碰前小物块速度大小的 1/4,并设小物块的电量始终不变。 (1) 、试通过分析和计算说明,碰撞后滑块能否滑出小车的车身? E (2) 、若能滑出,求出小物块开始运动到滑出时电场力对小物块所 做的功。若不能滑出,则求出小物块从开始运动到第二次与小车碰 撞时电场力对小物块所做的功。
98

L

3.在国际单位制中,库仑定律写成 F ? k

q1q2 9 2 ?2 ,式中静电力常量 k ? 8.98 ?10 N ? m ? C , 2 r

电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑,距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿。若把库仑定

q1q2 ,式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿。若把库 r2 qq 仑定律写成更简洁的形式 F ? 1 2 2 ,式中距离 r 的单位是米,作用力 F 的单位是牛顿,由 r
律写成更简洁的形式 F ? 此式可这义一种电荷量 q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位时,电荷新单位 = ;新单位与库仑的关系为 1 新单位= C。

4.有人设想了一种静电场:电场的方向都垂直于纸面并指向纸里,电 场强度的大小自左向右逐渐增大,如图所示。这种分布的静电场是否 可能存在?试述理由。

10. 有两块无限大的均匀带电平面,一块带正电,一块带负 电,单位面积所带电荷量的数值相等。现把两带电平面正交 放置如图所示。图中直线 A1B1 和 A2B2 分别为带正电的平面 和带负电的平面与纸面正交的交线,O 为两交线的交点。 (i)试根据每块无限大均匀带电平面产生的电场(场强和电 势)具有对称性的特点,并取 O 点作为电势的零点,在右 面给的整个图上画出电场(正、负电荷产生的总电场)中电 势分别为 0、1V、2V、3V、?1V、?2V 和?3V 的等势面与 纸面的交线的示意图,并标出每个等势面的电势。 (ii)若每个带电平面单独产生的电场的场强是 E0=1.0V/m, 则 可求出(i)中相邻两等势面间的距离 d=________________________________。

99

在示波器的 YY'偏转电极上, 加电压 u1=U0sin2πνt,式中 ν=50Hz。同时 在示波器的 XX'偏转电极上加如图 1 所示的锯齿波电压 u2,试在图 2 中 画出荧光屏上显示出的图线。 如果由于某种原因,此图线很缓慢地向右移动,则其原因是 _____________________________________________________________ _____________________________________________________。

5.一很长、很细的圆柱形的电子束由速度为 v 的匀速运动的低速电子组成,电子在电子束中 均匀分布,沿电子束轴线每单位长度包含 n 个电子,每个电子的电荷量为 ?e(e ? 0) ,质量 为 m。该电子束从远处沿垂直于平行板电容器极板的方向射向电容器,其前端(即图中的右 端)于 t=0 时刻刚好到达电容器的左极板。电容器的两个极板上各开一个小孔,使电子束可 以不受阻碍地穿过电容器。两极板 A 、 B 之间加上了如图所示的周期性变化的电压 VAB ( VAB ? VA ? VB ,图中只画出了一个周期的图线) ,电压的最大值和最小值分别为 V0 和- V0,周期为 T。若以 ? 表示每个周期中电压处于最大值的时间间隔,则电压处于最小值的时 间间隔为 T- ? 。 已知 ? 的值恰好使在 VAB 变化的第一个周期内通过电容器到达电容器右边 的所有的电子, 能在某一时刻 tb 形成均匀分布的一段电子束。 设电容器两极板间的距离很小, 电子穿过电容器所需要的时间可以忽略,且 mv2 ? 6eV0 ,不计电子之间的相互作用及重力 作用。

满足题给条件的 ? 和 tb 的值分别为 ? =

T,tb=

T。

6.在半径为 R,体密度为 ? 的均匀带电体内部挖去半径为 r 的一个小球, 小球球心 O ? 与大球的球心相距为 a ,试求 O ? 点的场强,并证明空腔内 电场均匀。

O ?r
R O

100

7 有一均匀带电球体,半径为 R,球心为 P,单位体积内带电量为 ρ,现 在球体内挖一球形空腔,空腔的球心为 S,半径为 R/2,如图所示,今有 一带电量为 q,质量为 m 的质点自 L 点(LS⊥PS)由静止开始沿空腔内 壁滑动,不计摩擦和质点的重力,求质点滑动中速度的最大值。

P

S L

y 8.如图所示,在 x ? 0 的空间各点,存在着沿 x v0 轴正方向的电场,其中在 ? d ? x ? d 的区域 中,电场是非匀强电场,场强 E 的大小随 x 增 ?d x O d 大,即 E ? bx ,b ? 0 ,为已知常量;在 x ? d 的区域中,电场是匀强的,场强 E ? bd 。在 x ? 0 的空间各点,电场的分布与 x ? 0 的空间中各点的分布对称,只是场强沿着 x 轴负方 向。 一电子,其电荷为 ? e ,质量为 m ,在 x ?

5 d 处以沿 y 轴正方向的速度 v0 开始运动, 2

求: (1)电子的 x 方向分运动的周期? (2)电子的运动轨迹与 y 轴的各个交点中,任意两个相邻交点间的距离?

9.如图所示, 半径为 R 的圆环均匀带电, 电荷线密度为 λ, 圆心在 O 点, 过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点, PO = r ,以无穷远为参考点,试 求 P 点的电势 UP 。

101

电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面的半径为 R,CD 为通过半球顶点 C 与球心 O 的 轴线,如图 8-2。P、Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧、离 O 点距离相等的两点。已知 P 点的电 势为 UP,试求 Q 点的电势 UQ。

A O C P B
图 8-2

Q

D

两个点电荷位于 x 轴上,在它们形成的电场中,若取无限远处的电势为零,则在正 x 轴上各 点的电势如图中曲线所示,当 x ? 0 时,电势 U ? ? :当 x ?? 时,电势 U ? 0 ;电势为 零的点的坐标 x 0 , 电势为极小值 ?U 0 的点的坐标为

ax0 ( a >2) 。试根据图线提供的信息,确定这两个
点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在 x 轴 上的位置.

把本题中所有正确说法前的字母填写在题后的括号后内。 有三个点电荷甲、乙、丙,甲带电+Q,乙带电-q,且 Q>q,每一个电荷受其他两个电荷的
102

电场作用力的合力都为零,则 A.丙的位置一定在甲和乙的连线的延长线上,且距乙较近; B.丙一定是正电荷 C.丙所带的电量一定大于 q; D.丙所带的电量一定小于 Q E.若将甲、丙固定,且限定乙只能在与甲连线方向上运动,则乙是不稳定平衡; F.若将甲、乙固定,且限定丙只能在与甲连线方向上运动,则丙是不稳定平衡; 答案: 。

.一无限长均匀带电细线弯成如图 5-4 所示的平面图形,其中 AB 是半径为 R 的半圆弧, AA'平行于 BB' ,试求圆心处的电场强度。

A A' R O B'
图 5-4

B

10.如图所示, 三个带同种电荷的相同金属小球, 每个

球的质量均为 m 、电量均为 q ,用长度为 L 的三根 绝缘轻绳连接着,系统放在光滑、绝缘的水平面上。 现将其中的一根绳子剪断,三个球将开始运动起来, 试求中间这个小球的最大速度。

103

11.两个电量均为 q=3.0× 10-8C 的小球,分别固定在两根不导电杆的 一端,用不导电的线系住这两端。将两杆的另一端固定在公共转轴 O 上, 使两杆可以绕 O 轴在图面上做无摩擦地转动, 线和两杆长度 均为 l=5.0cm。给这系统加上一匀强电场,场强 E=100kV/m,场强 方向平行图面且垂于线。某一时刻将线烧断,求当两个小球和转轴 O 在同一条直线上时,杆受到的压力(杆的重力不计) 。

q l q

l O l E

12、一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环,其中心电势为 U 0 ,将此环靠近半径为 b 的接地的 球,只有环中心 O 在球面上,求球上感应电荷的电量? O a

O1

b

13、如图所示,半径为 r 的金属球远离其他物体,通过 R 的电阻器接地。电子束从远处以速 度 v 落到球上,每秒钟有 n 个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。

r

R

104

14、由粒子加速器产生的质子束射向半径为 r 的金属球,已知每个质子的动能 E k ,金属球 离加速器比较远,而质子束入射时离开球心的瞄准距离为 d ?

1 r ,假设加速器运转足够长 2

的时间,计算金属球的最终电势(设质子束强度低,质子束中的质子核质子之间的相互作用 力可以忽略不计)

图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限远处的电势为零 时,球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一质子 b,它以 Ek=2000 eV 的动能沿与 O? O 平行的方向射向 a.以 l 表示 b 与 O? O 线之间的垂直距离,要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.把质子换成电子,再求 l 的最大值.

一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道,其半径为 R。此轨道水平放置,圆心在 O 点。一个金属小珠 P 穿在此轨道上,可沿轨道摩擦地滑动,小珠 P 带电荷 Q。已 知在轨道平面内 A 点(OA=r<R)放有一电荷 q。若在 OA 连线上某一点 A’放 电荷 q’,则给 P 一个初速度,它就沿轨道作匀速圆周运动。求 A’位置及电荷 q’ 之值。

105

第八部分
【知识点】
一、静电平衡

静电场 2
-电场中的导体、电容器

二、电荷分布 (1) 体内无电荷 达到静电平衡后,导体内部处处没有未抵消的净电荷,电荷只分布在导体的表面。 (2) 在静电平衡的状态下,导体表面之外的附近空间的场强与该处导体表面的面电荷密 度有以下关系: E ?

?e ?0

(3) 导体壳:当导体壳内没有其他带电体时,在静电平衡下, (A)导体壳的内表面上处 处没有电荷,电荷只分布在外表面。 (B)空腔内没有电场或者说空腔内电位处处相 等。 (4) 导体壳:当导体壳内有其他带电体时,在静电平衡的状态下,导体内表面所带电荷 与腔内电荷的代数和为零。 【练习】 1.如图 7(甲)所示,MN 为一原不带电的导体棒,q 为一点电荷, 当达到静电平衡后,导体棒上的感应电荷 在棒内 P 点处产生的场 强大小为 E1,P 点的电势为 U1,现用一导线将导体棒的 N 端接地, 其他条件不变(如图乙) ,待静电平衡后,导体棒上的感应电荷在棒 内 P 点处产生的场强大小为 E2,P 点的电势为 U2,则可知:( ) A. E1 ? E2 、 U1 ? U2 C. E1 ? E2 、 U1 ? U 2 B. E1 ? E2 、 U1 ? U2 D. E1 ? E2 、 U1 ? U 2

2.图示中,A、B 都是装在绝缘柄上的导体,A 带正电后靠近 B,发生静电感应。若取地球 电势为零,则: [ ]
106

A、导体 B 上任意一点电势都为零 B、导体 B 上任意一点电势都为正 C、导体 B 上任意一点电势都为负 D、导体 B 上右边电势为正,左边电势为负

3.如图,带正电的导体 A 位于原来不带电的金属球壳 B 的球心处。达 到静电平衡状态时:a、b、c 三点的电场强度大小Ea、Eb、Ec 由大到小 的顶序是 _______;电势 Ua、Ub、Uc 由高到低的顺序是

4.如图所示,平行板电容器两板间距离为 d,在两板间加一恒定电压 U,现让正极板接地, 并在两板间放入一半径为 R(2R<d)的绝缘金属球壳,c、d 是直径上的两端点,下述说法 中正确的是( ) A.由于静电感应,c、d 两点的电势差为(2R U /d) B.由于静电感应,球心 O 处场强为零 C.若将球壳接地,再断开,然后拿走电容器,球壳上将带正电荷 D.若将球壳接地,再断开,然后拿走电容器,球壳上将带负电荷

5.边长为 L 的正三角形 ABC 的顶点上分别固定有 QA= +4q、QB= +q 和 QC= - 4q 三个相同 大小的带电金属小球(视为点电荷) .用另一个和它们完全相同的 A 不带电金属小球,依次和 C 球、A 球和 B 球接触后移走.再将一 个原来不带电的空心金属球壳放入该电场,并使其球心恰好位于 ΔABC 的中心处.静电平衡后金属球壳上的感应电荷在球心 O 处 P O 的场强大小为______,球壳内另一点 P(如图)的场强为_______. C B

电像法:所谓“电像法”就是找出与感应电荷等效的点电荷的位置和电量。寻找的依据:导体 是个等势体。 6.一块无限大的导体板,左侧接地,在右侧离板为 d 的 A 处放 置一个负电荷 q,求静电平衡后。 (1) 板上感应电荷在导体内任一点 P 处产生的场强。 -q d (2) 感应电荷在导体外任意一点 P ? 处的场强 (3) 求-q 受到的电场力 (4) 若切断接地线后,将+Q 放在导体板上,+Q 将如何分
107

布?

7. 如图所示, 在无限大金属板上方距板

3 a 处有一正点电荷, 2

Q

3 a 2

a

P

3 a 2

电量为 Q, 求距 Q 为 a,距金属板为

3 a 的 P 点的场强大小。 2

8.如图所示,两块无限大导电平面 OA、OB 相互垂直,整个平面接地, 现将点电荷+q 置于距两平面均为 a 的 D 点,求 O 点附近 P 点(距 D 点的 距离为 2a )的电场强度。

A O P

D

B

9.在点电荷 q 的电场中, 放入一个半径为 R 的接地导体球, 从 q 到导体球球心 O 的距离为 l , 求导体对点电荷 q 的作用?导体球上的感应电荷的电量为多大?

q

108

10.一个不带电的金属板, 表面有很薄的光滑绝缘层, 板与水平方向成 θ 角位置。 金属板上 B、 C 两点间的距离为 L,在金属板前上方的 A 点固定一个带电量为+Q 的点电荷,金属板处在 B +Q 的电场中,已知 A、B、C 三点在同一竖直平面内,且 AB 水平而 A AC 竖直,如图所示,现将一个带电量为+q(q<Q,设 q 对原电场无影 C 响) 、 可看作点电荷的小球, 由 B 点无初速度释放, 如果小球质量为 m, θ 下滑过程中带电量不变, 求小球在 B 点的加速度和下滑到 C 点时的速 度。

11.两个互相绝缘的同心导体薄球壳,内球壳的半径为 r1 ,外球壳的半径为 r2 ,开始时,内 球壳的带电量为 Q1 ,外球壳不带电。 (1) 试求外球壳内外两个侧面的电荷以及外球壳的电势 (2) 将外球壳接地后再与地绝缘,计算此时外球壳内外两个侧面的带电量 (3) 再将内球壳接地,求此时内球壳的总电量。

12.如图 7-9 所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1 和 R2 , 带有净电量+q ,现在其内部距球心为 r 的地方放一个电 量为+Q 的点电荷,试求球心处的电势。

109

13.如图所示,两个极薄的同心导体球壳 A 和 B,半径分别 为 RA 和 RB ,现让 A 壳接地,而在 B 壳的外部距球心 d 的 地方放一个电量为+q 的点电荷。试求: (1)A 球壳的感应 电荷量; (2)外球壳的电势。

14.一内半径为 b、外半径为 c 的孤立导体球壳内有一接地的同心导体球(半径为 a)如图 所示。今使外球壳带电量 Q,若可近似地认为,穿过球壳小孔的接地线的存在不会影响球及 球壳上的电荷分布,试求球壳内、外表面上的电荷分布及它们的电势。

c

b a

有些仪器,如静电加速器,其高压电极外面都有一接地的金属罩,罩内充有一定压强的 气体。假定电极是一金属球,接地金属罩是一同心金属薄球壳(如图 9-4) ,仪器工作时要 求电极与金属罩之间的电势差为 U0。 选择适当的电极半径 R1 和球壳半径 R2, 有可能使靠近 电极表面处的场强低于气体的击穿场强,从而使气体不被击穿。 1.若 R1 已给定,则在理想情况下,R2 取何值,电极处的场强有最小值? 2.在实际情况中往往适当选择 R1/R2 之值,使电极处的场强为上述最小值的若干倍, 但仍低于击穿场强,求当电极处的场强为上述最小值的 4 倍时, R1/R2 应选的值。

R1 R2
110

图 9-4

15.如图所示,一薄壁导体球壳(以下简称为球壳)的 球心在 O 点. 球壳通过一细导线与端电压 U ? 90 V 的 电池的正极相连,电池负极接地.在球壳外 A 点有一 电量为 q1 ? 10 ?10-9 C 的点电荷, B 点有一电量为

q2 ? 16 ?10-9 C 的点电荷。 OA 之间的距离 现设想球壳 d1 ? 20 cm ,OB 之间的距离 d2 ? 40 cm .
的半径从 a ? 10 cm 开始缓慢地增大到 50 cm , 问: 在 此过程中的不同阶段,大地流向球壳的电量各是多 少?己知静电力恒量 k ? 9 ?109 N ? m2 ? C-2 . 假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不 与导体壁接触。

如图所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的 P1 和 P2 处,放置电量分
111

别为 q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均为 a.由静电感应与静电屏蔽 可知:导体空腔内表面将出现感应电荷分布,感应电荷电量等于-2q.空腔内部的电场是由 q1、q2 和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎 样分布的,所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明,感应 电荷对腔内电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电荷来代替(在本题中假想(等 效)点电荷应为两个) ,只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的条件,即:设 ? 与 q1 共同 想将整个导体壳去掉,由 q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷 q1 产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为 0; 由 q2 在原空腔内表面的感应电荷 ? 的假想(等效)点电荷 q2 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为 0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷,而且这样确定的等效电荷是唯一的.等 ? 、 q2 ? 和 q1、q2 来计算原来导体存在时空腔内部任 效电荷取代感应电荷后,可用等效电荷 q1 意点的电势或场强.

? 、q2 ? 的位置及电量. 1. 试根据上述条件, 确定假想等效电荷 q1
2.求空腔内部任意点 A 的电势 UA.已知 A 点到球心 O 的距 离为 r, OA 与 OP1 的夹角为? ? .

A

r
P2

?? a O a

P1 R

如图所示,O 为半径等于 R 的原来不带电的导体球的球心,O1、O2、O3 为位于球内的 三个半径皆为 r 的球形空腔的球心,它们与 O 共面,已知 OO1 ? OO2 ? OO3 ? OO2 的连线上距 O1、 O2 为

R .在 OO1、 2

r 的 P1、 P2 点处分别放置带电量为 q1 和 q2 的线度很小的导体 (视 2

为点电荷) ,在 O3 处放置一带电量为 q3 的点电荷,设法使 q1、q2 和 q3 固定不动.在导体球 外的 P 点放一个电量为 Q 的点电荷,P 点与 O1、O2、O3 共面,位于 O3O 的延长线上,到 O 的距离 OP ? 2 R . 1.求 q3 的电势能. 2.将带有电量 q1、q2 的小导体释放,当重新 达到静电平衡时, 各表面上的电荷分布有 何变化? 此时 q3 的电势能为多少? O2 P R O 1 P1 R O P2 O3 r

112

第九部分

稳恒电流

【知识梳理】 一、 电阻定律 l R?? 其中 ? ? ?0 (1 ? ? t ) , ? 叫做电阻率的温度系数,金属的温度系数都是 s 正的,其他有些材料的温度系数是负的。

二.电势分析法
当导体内部含有电源时,其电流与电压的关系服从另一规律,称为含源电路欧姆定律。 如图所示, 含有电源的电路, 称之为含源电路。 电路中每一点都有稳定的电势,任意两点间都有 R I 稳定的电势差。假定电流方向为从 a 到 b,则经 a b 过 E1 后,电势降低 E1(因电源 E1 参与充电) ;经 E1r1 E2r2 过 E2 后,电势升高 E2(因电源 E2 参与放电) 。得 含源电路的欧姆定律为:_________________________________________

1.如图所示, R1 ? 2? , R2 ? 3? , E ? 4V , r ? 1? ,若电流由 B 流入,A 流出,R1 消耗 的功率为 0.5W,求 UD A
113

R1

C

D

R2

B

2. 如 图 ,

E1 ? 12V



E2 ? 10V



E3 ? 8V



r1 ? r2 ? r3 ? 1? ,

R1 ? R2 ? R3 ? R4 ? 2? , R5 ? 3? 。求(1)ab 间的电压

(2)cd 间的电压 E1 r1

R1 a R2

c d E2 r2

R4 b R3

E3 r3

三. 处理复杂电路的三个重要的规律 【基尔霍夫定律】基尔霍夫第一方程组:节点电
流方程组 如图所示:A、B、C、D 点叫做节点,则流入节点的 电流之和等于流出节点的电流之和 例如对于节点 B: I1 ? I 3 ? I 4 基尔霍夫第二方程组:回压电路方程组 沿回路环绕一周,电位降落的代数和为零 规定:电势降落为正,电势升高为负(注意内电压)

I2
A

(? 1 , r1 ) I1
B

I4

I8

I3
R2 R2

R1

I5
D

R3
(? 2 , r2 )

C

I7

I6

对于如图的回路: ??1 ? I1r 1 ? I3 R2 ? ? 2 ? I5 (r 2 ? R3 ) ? I8 R 1 ?0 【等效电源定理(戴维南定理) 】两端有源网络(网络是电路或电路一部分的泛称,若网络 中含有电源就叫做有源网络)可以等效成一个电压源,其电动势等于网络的开路端电压,内 阻等于从网络两端看去,网络的电阻 【电流叠加原理】 若电路中有多个电源, 通过电路的任一支路的电流等于各个电源单独存在 时,在该支路产生的电流之和

1.如图所示,E1=12V,r1=1Ω,E2=8V,r2=0.5Ω,R1=3Ω,R2=1.5Ω,R3=4Ω,求通过各电阻 R2 的电流。 R1
114

E1 r1

R3

E2 r2

2. 如 图 所 示 的 电 路 中 , 电 动 势

?1 ? 3V , ? 2 ? 1V , 内 阻 r1 ? 0.5?, r2 ? 1? 。 电 阻

R1 ? 10?, R2 ? 5?, R3 ? 4.5?, R4 ? 19? 。求电路中的电流的分布及大小。

?1 , r1
R1

R3
R2

? 2 , r2
3.如图所示,7 个相同的电阻 R 构成一个二端电阻网络,试求 A、B 两 点之间的等效电阻。

R4
R R A R R R R B R

网络电路
1.如图所示电路,电由相同阻值 R 组成的 无穷网络,求 A、B 两点间的阻值 RAB。

115

2.给无穷网络的一端加上 UAB = 10V 的电压,求 R2 消耗的功率。已知奇数号电阻均为 5Ω , 偶数号电阻均为 10Ω 。

3.如图所示。电阻 R1= R3= R5= …… R97= R99=5Ω,R2= R4= R6= …… R96= R98=10Ω,R100= 5Ω,E =10V,则电阻 R2 上的电 E 功率为________。

R1 R3 R5 R2 R4 R98

R99 R100

4.有一个无限的平面方格导线网,如图所示,连接两个节点的导线段的 电阻均为 r。如果从 A 和 B 接入电路,求此网的等效电阻 RAB。

A

B

5.如图所示是一个由电阻丝构成的平面正方形无穷网络,当各小段电阻丝的 电阻均为 R 时,A、B 两点之间的等效电阻为 R/2。今将 A、B 之间的一小段 电阻丝换成电阻为 R / 的另一小段电阻丝。试问换后 A、B 之间的等效电阻 是多

A

B

6、试求平面无穷网络的等效电阻 RAB ,已知每一小段导体的电阻均为 R 。

116

8.将 200 个电阻连成如图 4-3 所示的电路,图中各 P 点是各支路中连接两个电阻的导线上 的点, 所有导线的电阻都可忽略。 现将一电动势为 ε, 内阻为 r0 的电源接到任意两个 P 点处, 然后将任一个没接电源的支路在 P 点处切断,发现流过电源的电流与没切断前一样,则这 200 个 电 阻 R1 、 R2 、 R3…R100 , r1 、 r2 、 r3…r100 应 有 下 列 的 普 遍 关 系: 。这时图中 AB 导线与 CD 导线之间的电压 等于 。
A R1 r1 C R2 P r2 R3 P r3 P r100 D R100 P B

图 4-3

在图示的复杂网络中, 所有电源 的电动势均为 E0,所有电阻器的电 阻值均为 R0,所有电容器的电容均 为 C0,则图示电容器 A 极板上的电 荷量为 。 A

117

电流(A)

4. 220V、 110W 的白炽灯泡 A 和 220V、 60W 的白炽灯泡 B 的伏安特性如图 5-2 所示。 (1) 若将二灯泡并联接在 110V 的电源上时, 二灯泡实际消耗的电功率分别为: PA= ,PB= 。 (2)若将二灯泡串联接在 220V 的电源上 时,二灯泡实际消耗的电功率分别为: PA= ,PB= 。

0.50

0.40

A

0.30

0.20

B

0.10

0

50

100

150

200

电压(V)

图 5-2

半径分别为 r1 和 r2(r1:r2=5:1)的;两金属细齿轮互相吻合地装配在一起,如图所 示,它们的转轴半径均为。整个装置放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中,磁场的方向平行 于转轴。两转轴通过金属支架互相连通。当两齿轮互相接触时,量得两齿轮边缘之间的电阻 为 R。现将一其质量为 m 的物体用轻绳绕在大齿轮的轴上,忽略摩擦损耗,求悬挂物体在 重力作用下匀速下落的速度。

118

电容以及含容电路
一个处于静电平衡的导体是个等势体, 导体的电势是由导体的电量以及导体的形状和大小决 定的,通常把孤立导体的带电量与导体电势的比值称为导体的电容即: C ?

Q U

对于平行板电容器而言:板间可看作匀强电场,这样平行板电容器的电容为:

C?

Q Q Q S ? ? ? U Ed 4?K?d 4?Kd

孤立导体球也可以带电,故而它也有电容,电容为:

C?

Q Q R ? ? U KQ K R

上式表明,球形导体的电容是和球的半径成正比的,因而地球的电容极大,所以无论它的带 电量如何变化,大地的电势几乎不变,这就是将地球的电势取为零的原因了。同时将带电体 接地,可以看成是两个电容器并联,由于地球的电容远大于带电体的电容,所以几乎所有的 电荷都流向大地。 四. 电容器的串并联 电容器的性能有两个指标:电容量和耐压值。在实际工作中,当两个指标不能同时满足要求 时,就要将电容器并联或者串联使用。 1、并联:并联的目的主要时为了增大电容量,有: C总=C1 ? C2 ? ......... 2、串联:串联的目的主要时为了增大耐压值,有:

1 1 1 = ? ?. . . . . . . C总 C1 C2

U

五、电容器的能量 U0 电容器充电实质就是通过电池做功,将电荷从电容器的一个极板搬 运到另外一个极板,在此过程中,如果不考虑导线的电阻,电池的 化学能转化为了电容器的电势能。因为对一个电容器来说,电压 U 与其电量 Q 成正比,所以 U ? Q 图是一个正比例函数图线,因为:

W Q0 Q

?W ? ?QU ,所以直线与 Q 轴所围成的面积也就是电池做的功, 也就是电容器储存的电能。
因此 E ?
119

1 1 2 Q0U 0 ? CU 0 2 2

除了以上情况之外,还常遇到电容器相互充电的问题,在讨论这类问题的时候,除了要 用到电容器的串并联,还要充分注意:①电容器两个极板的电量一定相等。②电容器连接的 ―孤岛现象‖(本质上是电荷守恒定律)

【练习】 1.电容量为 C 的平板电容器的一个极板上的电量为 ? q ,而另一个极板上的电量为 ? 4q , 求此时电容器两极板之间的电势差?

2.电动势各为 ? 1 和 ? 2 的两个电源对 C1 , C2 , C3 三个电容器 充电,问三个电容器上的电压各为多少?

?1
C3

?2

C1

C2

图预 19-2 所示电路中,电池的电动势为 ? ,两个电容器的电容皆为 C ,K 为一单刀双掷开 关。开始时两电容器均不带电 (1)第一种情况,现将 K 与 a 接通,达到稳定, 此过程中电池内阻消耗的电能等于__________; 再将 K 与 a 断开而与 b 接通, 此过程中电池供给 的电能等于___________。 (2)第二种情况,现将 K 与 b 接通,达到稳定, 此过程中电池内阻消耗的电能等于__________; 再将 K 与 b 断开而与 a 接通, 此过程中电池供给 的电能等于___________。

120

3.平行板电容器接在如图所示的电路中,接通电源充电,当电压 达到稳定值 U 0 时,就下列两种情况回答问题:将电容 C 的两极板 的距离从 d 拉大到 2d,电容器的能量变化量为多大?外力做功各 是多少?说明做功的正负? (1)断开电源开关 (2)闭合电源开关

、图 10-6 中所示 ad 为一平行板电容器的两个极板,bc 是一块长宽 都与 a 板相同的厚导体板,平行地插在a、d之间,导体板的厚度 bc=ab=cd。极板a、d与内阻可忽略的电动势为 ε 的蓄电 池以及电阻 R 相联如图,已知在没有导体板bc时电容器a、d的 电容为 C。现将导体板bc抽走,设已知抽走过程中所做的功为 A, 求这过程中电阻 R 上消耗的电能。

a

b

c

d

ε
图 10-6

R

4.三个完全相同的电容器连接, 如图所示, 已知电容器 1 带电荷为 Q ,上板带正电, 电容器 2、
121

3 原来不带电。 (1)用导线将 a、b 相连,求电容器 2 上、下板的带电量及符号? (2)然后断开 a、b,将 a、c 连接;再断开 a、c,将 a、b 连接,求这是电容器 2 的上下极板 的带电量以及符号? (3)在(2)的情况下,将 a、d 相连,再求电容器 2 的上下极板的带电量以及符号? a 2 1 3 d c b

5.一平行板电容器,电容 C0 ? 300uF ,极板 A1 接在一个电源的正

A1
极上, A2 接在另一电源的负极上,两电源的电动势均为 150V , 另外一极均接地,取一厚金属板 B,其面积与 A1 、 A2 相同,厚度 为电容器两极间距离的

B1

B2

A2

1 ,插入电容器两极板的正中央,如图所 3

示。 (1)取一电动势为 50V 的电源 E,正极与 B 板联通,求此时由 电源 E 输送到 B 的总电量为多少? (2)在上述情况下,左右平移金属板 B,改变它在电容器两板间的位置,直至 B 上的电荷 量为零,固定 B 板的位置,然后切断所有电源,再将 B 板从电容器中慢慢抽出,求此时电 容器两极板间的电压? (3)求抽出 B 板过程中外力做的功?

122

S4
6.如图所示,C1 ? 4C0 , C2 ? 2C0 , C3 ? C0 ,电动势为 ? , 不 计内阻,先在断开 S 4 的条件下,接通 S1 , S 2 , S 3 ,令电池给三 个电容器充电,然后断开 S1 , S 2 , S 3 ,接通 S 4 ,使电容器放电, 求: (1)放电过程中,电阻 R 上共产生多少热量? (2)放电过程达到放电总量一半时,R 上的电流为多大? R

C1

S3

C2

C3
S1

S2

7.由 n 个单位组成的电容器网络,每一个单元是由三个电容器连接而成,其中两个电容器的 电容都是 3C,另外一个电容器的电容是 2C,图中 a、b 为网络的输入端, a ?, b ? 为输出端, 今在网络的输入端 ab 加一恒定电压 U,在输出端 a ?b? 接入一电容为 C 的电容器。 (1)求从第 k(k<n)个单元输入算起,后面所有电容器储存的总电能? (2)先把第一个单元的输出端与后面的网络断开,并把它的输入端短路,求这时构成第一 个单元的三个电容器储存的电能? 3C a 2C b 3C 3C 3C 3C 2C 2C 3C 3C 3C

a?

b?

某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的装置转化为电磁量来测量的。 一平板电容器的两 个极扳竖直放置在光滑的水平平台上,极板的面积为 S ,极板间的距离为 d 。极板 1 固定不 动,与周围绝缘;极板 2 接地,且可在水平平台上滑动并始终与极板 1 保持平行。极板 2 的两个侧边与劲度系数为 k 、自然长度为 L 的两个完全相同的弹簧相连,两弹簧的另一端固
123

定.图预 17-4-1 是这一装置的俯视图.先将电容器充电至电压 U 后即与电源断开,再在极 板 2 的右侧的整个表面上施以均匀的向左的待测压强 p ; 使两极板之间的距离发生微小的变 化,如图预 17-4-2 所示。测得此时电容器的电压改变量为 ? U 。设作用在电容器极板 2 上 的静电作用力不致引起弹簧的可测量到的形变,试求待测压强 p 。

8.如图所示,空气平行板电容器水平放置,下极板固定,上极板与竖直 弹簧相连于极板的中点,极板面积为 S,当上极板静止时,弹簧伸长量 为 x0 ,板间距离为 d 0 ,若突然给电容器加上电压 U(上极板电势高), 则上极板会振动,若已知上极板在振动的平衡位置时,两极板相距 d1 , 忽略边缘效应,求: (1)弹簧的弹性系数 (2)若使上极板在新的平衡位置附近做微小振动,

9.把两个相同的电容器 A 与 B 用如图所示的电路连接起来,当它们都带有一定的电量时,
电容器 A 中的带电微粒 M 恰好静止,现在使电容器 B 两板错开,而距离不变,使它们对着 的面积为原来的 1/2,这时 M 的加速度为多大? M A B

124

10.如图所示的电路中,各电源的内阻 均为零,其中 B、C 两点与其右方由 1.0Ω 的电阻和 2.0Ω 的电阻构成的无 穷组合电路相接. 求图中 10μF 的电容 器与 E 点相接的极板上的电荷量.

10? 20V A 30?

B

1.0? 20?F

1.0?

1.0?

1.0? ?

20?F E 10V

D 10?F

2.0?

2.0?

2.0? ?

C 18? 24V

11.在竖直放置的两平行光滑长直金属导轨的上端,接有一个电容为 C、击穿电压为 U C 的电 容器。有一匀强磁场与导轨平面垂直,磁感应强度为 B。现有一质量为 m、长为 L 的金属 棒 ab,在 t ? 0 时以初速度 v0 沿轨道无摩擦地下滑,试求金属棒下滑多长时间电容器被击 穿?假设图中的任何部分的电阻和电感不计. C

a

b

12.置于同一水平面内的两根足够长的、 相距为 l 的光滑金属导轨, 左端接入一初始不带电的、 电容为 C 的电容器和一阻值为 R 的电阻。导轨上垂直跨一质量为 m 的金属棒 ab,棒可以在 导轨上无摩擦滑动,整个系统处在垂直于导轨平面并竖直向下(指向纸面内)的磁场 B 中, 如图所示,忽略导轨和金属棒电阻,不计回路电感。令金属棒在导轨上突然获得初速 v0 , (1)试求金属棒 ab 最后保持匀速运动的速度 v 的大小。
125

a

R b C b

B b b

(2)上述过程中回路在 R 上损失的焦耳热是多少?

13..如图所示,水平放置的的光滑金属导轨置于磁感强度为 B 的匀强磁场中,金属导轨的宽 度为 L,导轨间串联着一个带电量为 Q0 的电容器 C。现将一根质量为 m 的裸导体棒放在导 轨上, 且与导轨垂直, 当闭合开关 S 后,导体棒将向右运动,设导轨足够长,一切摩擦不计, 求导体棒的最终速度及电容器最终剩下的电量? B . C L S

14.在倾角为 ? 的足够长的两条光滑平行金属导轨上,放一根质量为 m,电阻不计的金属棒 ab,整个空间有磁感应强度为 B 的匀强磁场,方向垂直于导轨平面向上,导轨宽度为 L,电 源电动势为 E,电源内阻为 R,导轨电阻不计,电容器电容为 C,问:
126

(1) K 接 1 时,ab 的稳定速度为多少? (2) ab 达到稳定速度时,K 投向 2,达到稳定后, ab 下滑了距离 s, 这过程中电容器储存的电能

1

K 2 b

a 为多少?

?

第十部分
磁场(一)
【知识点】 一、毕奥—萨伐尔定律

磁场

P

127

I? l

?

? r

根据载流回路而求出空间 各点的 B 要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨 定律告诉我们:一个电流元 I ? L 如图在相对电流元的位置矢量为 r 的 P 点所产生的磁场的

?

? ? ? ? I ? L ?r 0 磁感强度 ?B 大小为 B ? , 2 4? r

二、几种磁感应强 1.长为 L 的有限长直线电流 I 外的 P 处的磁感应强度

?2
P

B?

?0 I (cos ?1 ? cos ? 2 ) ( ?0 ? 4? ?10?7 H / m ,为真空中的磁导 4? r

率) (特例)真空中长直线电流周围的磁感应强度

?1

B?

?0 I I ? k ( ?0 为真空中的磁导率) 2? r r
P r

2.载流圆线圈轴线上的磁场 在圆线圈轴线上距离圆心为 r 的 P 点,有:

B?

?0

R I 2 ( R ? r 2 )3/ 2
2

2

(1)在圆心处: B ?

?0 I
2 R
R

(2)当 r ? R 时, B ?

?0 R 2 I
2 r3

3、无限长通电螺线管的内部的磁感应强度

B ? ?0nI

n 为单位长度螺线管的线圈的匝数
三、均匀磁场中的载流线圈的磁力矩公式

M ? NBIS

sin ? cos ?

【练习】 1、面积为 S 的矩形线圈位于匀强磁场中,线圈平面与磁感线夹角为 θ ,磁通为 Φ ,若使 线圈通以强度为 I 的电流,则线圈受力矩为多少?

128

2..磁场具有能量,磁场中单位体积所具有的能量叫做能量密度,其值为 B2/2μ,式中 B 是磁 感强度,μ 是磁导率,在空气中 μ 为一已知常数。为了近似测得条形磁铁磁极端面附近的磁 感强度 B,一学生用一根端面面积为 A 的条形磁铁吸住一相同面积的铁片 P,再用力将铁片 与磁铁拉开一段微小的距离 Δl,并测出拉力 F,如图所示。因为 F 所做的功等于间隙中磁 场的能量,所以由此可得磁感强度 B 与 F、A 之间的关系为 B=____________ P N
Δl

F

3.如图所示,放在斜面上的一个均匀圆柱体,长 L=0.1m,质量 m=0.25kg,过圆柱体的直 径绕 10 匝线圈。匀强磁场 B=0.5T,竖直向上,整个装置处于匀强磁场中。 B 若线圈平面与斜面平行,则通过线圈的电流强度多大,方向如何时,圆柱体 才不致于沿斜面向下滚动?

4.如图所示,在光滑水平桌面上,有两根弯成直角的相同金属棒,它们的一 端均可绕固 定转动轴 O 自由转动,另一端 b 互相接触,组成一个正方形线 框,正方形线框每边长度均为 l,匀强磁场的方向垂直桌面向下。当线框中 通以图示方向的电流 I 时,两金属棒在 b 点的相互 作用力为 f,则此时磁感 强度的大小为_________(不计电流产生的磁场)。

5.如图所示为电流表的构造,图甲为蹄形磁铁与铁心间磁场的示意图,图乙中 abcd 表示的 是电流计中的通电线圈。ab=cd=1cm,ad=bc=0.9cm,共有 50 匝,线圈两边所在位置 的磁 感应强度为 0.5T,已知线圈每转 1° ,弹簧产生的阻碍线圈偏转的力矩为 2.5× 10-8N· m。 (1) 当线圈中电流为 0.6 毫 安时,指针将转过多少度? (2) 如果指针的最大偏转角 为 90° ,则这只电流计量程 是多少?? (3)当指针偏转角为 40° 角 甲 乙 时,通入线圈的电流多大?

129

6.两个半径相等的电阻均为 9Ω 的均匀光 滑圆环,固定在一个绝缘水平台面上,两 环面在两个相距 20cm 的竖直平面内,两 环面间有竖直向下的 B = 0.87T 的匀强磁 场,两环最高点 A、C 间接有内阻为 0.5Ω 的电源,连接导线的电阻不计。今有一根 质量为 10g 、电阻为 1.5Ω 的导体棒 MN 置于两环内且可顺环滑动, 而棒恰静止于图示水平位置, 其两端点与圆弧最低点间的弧所对 2 应的圆心角均为 θ = 60°。取重力加速度 g = 10m/s ,求电源电动势。

7.重 1N 、半径为 5cm 、长 8cm 的均匀圆柱体上绕有 50 匝线圈, 处于 B = 1T 的水平匀强磁场中, 要它滚上高为 2cm 的台阶, 在线圈中至少要通以方向若何、 大小多大的电流?

8.两根互相平行的长直导线相距 10cm , 其中一 根 通 电 的 电 流 是 10A , 另 一 根 通 电 电 流 为 20A , 方向如图。 试求在两导线平面内的 P、 Q、 R 各点的磁感强度的大小和方向。

9.两根长直导线沿半径方向引到铁环上 AB 两点, 并与很远的的电源连接,求环中心的磁感应强度

130

10.顶角为 2θ 的光滑圆锥置于竖直向下的匀强磁场 B 中(磁 感强度 B 已知) ,现有质量为 m 、带电量为+q 的小球沿圆锥 外表面在水平面内作匀速圆周运动,求小球运动的最小半径。

11.质量分布均匀的细圆环,半径为 R ,总质量为 m ,让其均匀带正电,总电量为 q ,处 在垂直环面的磁感强度为 B 的匀强磁场中。令圆环绕着垂直环面并过圆心的轴转动,且角 速度为 ω ,转动方向和磁场方向如图所示。求因环的旋 转引起的环的张力的增加量。

四、安培环路定理
磁感应强度沿着任何闭合环路的线积分(沿着该长度的 BL 的叠加) ,等于穿过这环路的所 有电流强度的代数和的 ?0 倍 积分表达的形式:

? ? B ? ? ? dL ? ?0 ? I
(L内)

高中表达形式:

? ?B ? ?L ? ? ? I
0 ( L内)

?

【应用】 1.求距离无限长直导线垂直距离为 R 的一点的磁感应强度?(电流为 I)

131

2.求圆截面的无限长载流直导线的磁场分布,设导线的半径为 R,电流 I 均匀分布

3.绕在圆环上的螺线形线圈叫做螺绕环,设螺绕环很细,环的平均半径为 R,总匝数为 N, 通过的电流强度为 I,求磁场分布?

4.如图所示,M1M2 和 M3M4 都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列的导 线排横截面,两导线排相交成 120?,OO’为其角一平分线。每根细导线中都通有电流 I,两 导线排中电流方向相反,其中 M1M2 中电流的方向垂直纸面向里。导线排中单位长度上细导 - 线的根数为?。图中的矩形 abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片的横截面, (ab - ?bc ) ,长直半导体片与导线排中的细导线平行,并在片中通有均匀电流 I0,电流方向垂直 纸面向外。已知 ab 边与 OO’垂直,- bc =l,该半导体材料内载流子密度为 n,每个载流子所 带电荷量的大小为 q。求此半导体片的左右两个侧面之间的电热差。 已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时,电流产生的磁场离直导线的距离为 r 处 I 的磁感应强度的大小为 B=k ,式中 k 为已知常数。 r
O’ a b I0 d c 60? 60?

M3

M2

132

M1

O

M4

一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、外半径分别为 a1、a2,厚度可以忽略.两个表面 都带有电荷, 电荷面密度 ? 随离开环心距离 r 变化的规律均为 ? ( r ) ?

?0
r2

? 0 为已知常量. , 薄

圆环绕通过环心垂直环面的轴以大小不变的角加速度 ? 减速转动,t = 0 时刻的角速度为

? 0 .将一半径为 a0 (a0<<a1)、电阻为 R 并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置.试
求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力 F 与时间 t 的关系. 提示:半径为 r、通有电流 I 的圆线圈(环形电流) ,在圆心处 产生的磁感应强度为 B ? k

I (k 为已知常量) r
a2 a0 a1

1.(北大 2006)如图所示,水平面上放有质量为 m,带电+q 的滑块,滑块和水平面间的动 摩擦系数为 μ, 水平面所在位置有场强大小为 E、 方向水平向 右的匀强电场和垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁 场。若 ? ?

Eq ,物块由静止释放后经过时间 t 离开水平面, mg

B

E

求这期间滑块经过的路程 s.

133

2. ( 同 济 2008 ) 回 旋 加 速 器 中 匀 强 磁 场 的 磁 感 应 强 度 B=1T , 高 频 加 速 电 压 的 频 率 f=7.5× 106Hz,带电粒子在回旋加速器中运动形成的粒子束的平均电流 I=1mA,最后粒子束 从半径 R=1m 的轨道飞出,如果粒子束进入冷却―圈套‖的水中并停止运动,问可使―圈套‖中 的水温升高多少度?设―圈套‖中水的消耗量 m=1kg/s,水的比热容 c=4200J/(kg· K)

如图复 18-4 所示,均匀磁场的方向垂直纸面向里,磁感应强度 B 随时间 t 变化, B ? B0 ? kt ( k 为大于 0 的常数) . 现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置, 环面处于图中纸面内。圆环的半径为 R ,电阻为 r ,相交点的电接触良好.两个环的接触点 A 与 C 间的劣弧对圆心 O 的张角为 60?。求 t ? t0 时,每个环所受的均匀磁场的作用力,不 考虑感应电流之间的作用.

图复 18-4

五、洛仑兹力
1.仅受洛仑兹力的带电粒子运动
(1). v ⊥ B 时,匀速圆周运动,半径 r =
?
?

?

?

mv qB

,周期 T =

2?m qB

(2). v 与 B 成一般夹角 θ 时,做等螺距螺旋运动,半径 r = _________ ,螺距 d = ________ v
134

O

B

2.磁聚焦
如图,一电子束经过加速电场加速后进入 偏转电场,因为偏转电场上加的是交变电 压,所以从偏转电场中飞出的电子具有相 同的水平速度 vx 和不同的竖直速度,这样 一束电子飞入长直螺线管形成的水平方向 匀强磁场后做半径不同而周期 T 相同的螺 旋线运动,所有的轨迹都和螺线管的中心 轴线相切,因为电子的水平速度相同,所 以螺距相同,如果荧光屏距离电子从偏转 电 场 的 飞 出 点 的 距 离 为 ____________________ 时,就能保证电子 打在荧光屏上一点,这个现象就叫做磁聚焦。

【综合练习】 1、在如图所示的直角坐标系中,坐标原点 O 固定电量为 Q 的正点电荷,另有指向 y 轴正方 向(竖直向上方向),磁感应强度大小为 B 的匀强磁场,因而另一个 质量为 m、电量力为 q 的正点电荷微粒恰好能以 y 轴上的 O ? 点为 圆心作匀速圆周运动,其轨道平面(水平面)与 xoz 平面平行,角速
Q
y B

O?

x
O

度为 ? ,试求圆心 O ? 的坐标值。
z

图 3-4-12

135

2.一根边长为 a、b、c(a>>b>>c)的矩形截面长棒,如图 3-4-17 所示,由半导体锑化铟制 成,棒中有平行于 a 边的电流 I 通过,该棒放在垂直于 c 边向外的磁场 B 中,电流 I 所产生 的磁场忽略不计。该电流的载流子为电子,在只有电场存在时,电子在半导体中的平均速度

v ? ?E ,其中 ? 为迁移率。
(1) 确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。 (2) 计算夹 c 边的两表面上相对两点之间的电势差。 (3) 如果电流和磁场都是交变的,且分别为 I ? I 0 sin ?t , B ? B0 sin(?t ? ? ),求 (2)中电势差的直流分量的表达式。
22 3 已知数据:电子迁移率 ? ? 7.8m / V ? s ,电子密度 n ? 2.5 ? 10 / m ,I=1. 0A,

2

B=0.1T,b=1.0cm,c=1.0mm,e=1.6× 10-19C

B

a
b

c

空间存在着垂直于纸面方向的均匀磁场,其方向随时间作周期性变化,磁感应强度 B 随时间 t 变化的图线如图 1 所示,规定 B>0 时,磁场的方向穿出纸面。现在磁场区域中建 - 立一与磁场方向垂直的平面直角坐标 Oxy,如图 2 所示,一电荷量 q=5??10 7C、质量 m= - 5?10 10kg 的带电粒子,位于原点 O 处,在 t=0 时刻以初速度 v0=? m/s 沿 x 轴正方向开 始运动。不计重力的作用不计磁场的变化右能产切其它影响。 1.试在图 2 中画出 0-20 ms 时间内粒子在磁场中运动的轨迹,并标出图 2 中纵横坐标 的标度值(评分时只按图评分,不要求写出公式或说明。 ) 2 .在磁场变化 N 个( N 为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于 ______________。
B/T 0.1 O -0.1 5 10 15 20 25 30 35 40 t/ms 图1 y/mm 图2

136

O

x /mm

设空间存在三个相互垂直的已知场:电场强度为 E 的匀强电场,磁感应强度为 B 的匀强磁 场和重力加速度为 g 的重力场。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的质点在此空间运动,已 知在运动过程中,质点速度的大小恒定不变。 (i)试通过论证,说明此质点作何种运动(不必求出运动的轨迹方程)。 (ii)若在某一时刻,电场和磁场突然全部消失,已知此后该质点在运动过程中的最小动能为 其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半,试求在电场、磁场刚要消失时刻该 质点的速度在三个场方向的分量。

4.在一绝缘光滑台面的上方空间的足够大的区域内,有相互正交的匀强电场和匀强磁场,电 场强度为 10N/C,磁感应强度为 5T,今有一质量为 1g,带电量为 ? 4 ? 10 C 的可视为质点 的小球 A 由静止开始在台面上运动,取 g ? 10m / s 2 ,求 A 在其运动的过程中能够达到的 最大速度? B E
?4

5、如图所示, S 为一离子源,它能各方向会均等地持续地大量发射正离子,离子的质量皆 为 m、电量皆为 q,速率皆为 v0。在离子源的右侧有一半径为 R 的圆屏,图中 OOˊ是通过 圆屏的圆心并垂直于屏面的轴线,S 位于轴线上,离子源和圆屏所在的空间有一范围足够大 的匀强磁场,磁感应强度的大小为 B,方向垂直于圆屏向右。在发射的离子中,有的离子不 管 S 的距离如何变化,总能打到圆屏面上,求这类离子的数目与总发射离子数之比,不考虑
137

B

R O



S

离子间的碰撞。

6、如图 9-14 甲所示,由加速电压为 U 的电子枪发射出的电子沿 x 方向射入匀强磁场,要 使电子经过 x 下方距 O 为 L 且∠xOP = θ 的 P 点,试讨论磁感应强度 B 的大小和方向的取 值情况。 O L P x

7、从 z 轴上的 O 点发射一束电量为 q(>0) 、质量为 m 的带电粒子,它们速度统方向分 布在以 O 点为顶点、z 轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内(如图所示) ,速度的大小都等 于 v.试设计一种匀强磁场,能使这束带电粒子会聚于 z 轴上的另一点 M,M 点离开 O 点的 经离为 d.要求给出该磁场的方向、磁感应 强度的大小和最小值.不计粒子间的相互作 用和重力的作用.

如图 8-7,半径为 R 的圆筒形真空管中有两个隔板把管内分为三个区域,隔板上分别位 于中心的小孔 A 与 A’,其间距为 L。区域Ⅰ中有电场,区域Ⅱ有沿管轴发现的匀强磁场, 区域Ⅲ中既无电场也无磁场。由阴极 K 连续发出的电子在区域Ⅰ中由电场加速,穿过小孔 A 成发散电子束进入区域Ⅱ。 设各个电子穿过小孔 A 时沿管轴方向的分速度都为 v,调节区 域Ⅱ中的磁感应强度使它等于为使在区域Ⅲ中有穿过小孔 A’的发散电子束所必须的最低
138

值,从这时开始计时且保持此最低值不变,但使磁场方向作周期为 T 的周期性正、反变化, 如图 8-8 所示。设真空管中凡碰到管壁的电子均不弹回 1.求在区域Ⅲ中有穿过 A’的发散电子束时 T 的最小值 TO.。 2.设 T=2TO,在图 8-8 的时间轴上标出区域Ⅲ中有发散电子束的时间区间 3.进入区域Ⅲ内的电子束中,电子运动方向与管轴间的夹角最大可能值为多大?

B

Ⅰ K A

Ⅱ A' L B



t

T

图 8-7

图 8-8

8.在空间有一垂直纸面向里的足够大、磁感强度为 B 的匀强磁场。一质量为 m、电量为+q 的微粒从静止开始下落,空气阻力不计,求微粒下落的最大高度和最大速度?

9 .匀强电场 E ? 2.0 ? 10 N / C ,匀强电场 B ? 3.0 ? 10 T ,两者相互平行如图所示,现有
4

?2

150eV 的质子与场垂直沿 x 轴正方向射入场内,有一感光片垂直于初速度方向与质子相距 5.1cm。 (1)质子经过多长时间能达到感光片上?(2)打在感光片的那个位置(质子的质量 为 m ? 1.67 ?10
?27

kg )

y E v x z

139

v

B v

10、 如图、A 1, A 2 是两块面积很大互相平行又相距较近 的带点金属板,相距为 d,两板间的电势差为 U,同时 两板间还有垂直于电场方向的匀强磁场 B,一束电子 以很小的速度进入两板之间,为使电子不碰到带正电 的A 1 ,磁场的磁感应强度至少是多大?

A1
A2

11.如图所示,平行金属板长为 L,板间存在正交的匀强电场 E 和匀 + 强磁场 B,质量为 m、电量为+q 的粒子从 O 点以速度 v0 沿 OO /方 向射入,若要粒子从 O /射出,v0 应为多大?若 v> v0 或 v< v0 粒子是 O v0 否还可以从 O /射出?请说明理由。 —

+

+ O/





140

12、在真空中建立一坐标系,以水平向右为 x 轴正方向,竖直向下为 y 轴正方向, z 轴垂直 纸面向里(图复 17-5) .在 0 ? y ? L 的区域内有匀强磁场, L ? 0.80 m ,磁场的磁感强度的方向沿 z 轴的正方向,其大小

B ? 0.10 T .今把一荷质比 q / m ? 50 C ? kg-1 的带正电质点在
x ? 0 , y ? ?0.20 m , z ? 0 处静止释放,将带电质点过原点的

时刻定为 t ? 0 时刻,求带电质点在磁场中任一时刻 t 的位置坐 标.并求它刚离开磁场时的位置和速度.取重力加速度

g ? 10 m ? s-2 。

第十一部分
一、 二、 法拉第电磁感应定律: 愣次定律

电磁感应

与库伦定律以及毕奥—萨伐尔定律一起支撑起整个电磁理论的大厦

法拉第电磁感应定律确定了感应电动势的大小, 愣次定律确定了感应电动势的方向, 要 把二者统一于一个数学表达式中,必须把磁通 ? 和感应电动势看成代数量,并对它的正负 赋予确切的含义。 【练习】 如图所示,一 U 形光滑导轨串有一电阻 R,放置在匀强的 外磁场中,导轨平面与磁场方向垂直。一电阻可忽略不计 但有一定质量的金属杆 ab 跨接在导轨上,可沿导轨方向平 移。现从静止开始对 ab 杆施以向右的恒力 F,若忽略杆和
141

U 形导轨的自感,则在杆运动过程中,下列哪种说法是正确的? A. 外磁场对载流杆 ab 的作用力对 ab 杆做功,但外磁场的能量是不变的 B. 外力 F 的功总是等于电阻 R 上消耗的功 C. 外磁场对载流杆 ab 作用力的功率与电阻 R 上消耗的功率两者的大小是相等的 D. 电阻 R 上消耗的功率存在最大值

如图所示,用双线密绕在一个长直圆柱上,形成两个螺线管 aa’和 bb’(分别以实线和 虚线表示) ,已知两个线圈的自感都是 L。若把 a 与 b 两端相连,把 a’和 b’两端接入电路, 这时两个线圈的总自感等于_________;若把 b 与 a’两端相连,把 a 和 b’两端接入电路,这 时两个线圈的总自感等于_________;若把 a 与 b 两端相连作为一端,a’与 b’ 相连作为另一 端,把这两端接入电路,这时两个线圈的总自感等于_________。

a’ b’ a b

142

1、如图所示,在水平桌面放着长方形线圈 abcd,已知 ab 边长 为 l1 ,bc 边长为 l 2 ,线圈总电阻为 R,ab 边正好指向正北方。 现将线圈以南北连线为轴翻转 180 , 使 ab 边与 cd 边互换位置,




b

c

a
在翻转的全过程中, 测得通过导线的总电量为 Q1 。 然后维持 ad 边(东西方向)不动,将该线圈绕 ad 边转 90 ,使之竖直,测得正 竖直过程中流过导线的总电量为 Q2 。 试求该处地磁场磁感强度 B


d



13、如图,电源的电动势为 ? ,电容器的电容为 C,K 是单刀双掷开关,MN 和 PQ 是两根 位于同一水平面上的光滑长导轨,它们的电阻可以忽略不计,两导轨间距为 L,导轨处于磁 感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里, l1 , l2 是两根横放在导轨上的导体 小棒,它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好,不计摩擦,两小棒的电阻相同,质 量分别为 m1 和 m2 且 m1 ? m2 。开始时,两小棒均静止在导轨上,现将开光 K 先合向 1,然 后合向 2,求: (1)两小棒的最终速度? (2)在整个过程中消耗的焦耳热? K 1

2 M N Q l1 l2

143

P

b
2、 如图所示, 一根被弯成半径为 R=10cm 的半圆形导线, 在磁感应强度 B=1.5T 的均匀磁场中以速度 v=6m/s 沿 ac 方向向右移动,磁场的方向垂直图面向里。 (1) 、导线上 a、b 两点的电势差,指出哪一点电势高。 (2) 、求导线上 a、c 两点的电势差。

a

O

c

v

4.如图所示,OC 为一绝缘杆,C 端固定一金属细杆 MN,已知 C
144

N

M

60?
O

MC=CN,MN=OC=R,∠MCO=60 ,此结构整体可绕 O 点在纸面内沿顺时针方向以匀角速 度 ? 转动,设磁感强度为 B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在,则 M、N 两点间的电 势差 UMN=?



5.金属杆 ab、cd 置于平行轨道 MN、PQ 上,可沿轨道滑动,两轨道间距 l=0.5m,轨道所 在空间有匀强磁场,磁感应强度 B=0.5T,用力 F=0.25N 向右水平拉杆 ab,若 ab、cd 与轨 道间的滑动摩擦力 f1 ? 0.15N , f 2 ? 0.1N ,两杆的电阻分别为 R1=R2=0.1? ,求两杆 之间的稳定速度差,设导轨电阻不计,ab、cd 的质量关系为 2m1 ? 3m2

M

a

c

N F Q

P

b

d

6
145

水平放置的、宽窄不同的光滑金属导轨置于如图所示匀强磁场中,宽部分的间距是窄部

分间距的 4 倍, 两根金属杆甲、 乙垂直金属导轨放置在光滑金属导轨上,m甲 ? 2m乙 ? 2m ,

甲 B



其电阻 R甲 ? 4R乙 ? 4R ,现给金属杆乙一个水平向右的恒力 F,甲不固定。在导轨的电阻 不计的情况下,求金属杆甲上消耗的最大电功率?

7.AB 杆受一冲量作用后以初速度 v0 沿水平面内的导轨运动,经一段时间后而静止,

v0 ? 4m / s ,AB 的质量 m ? 5kg ,导轨宽 L=0.4m,电阻
R=2 ? ,其余电阻不计,磁场 B=0.5T,棒和导轨之间的 滑动摩擦因数 ? ? 0.4 ,测得整个过程中通过导线的电量 A v0 0

R

q ? 0.01C ,求: (1)整个过程中产生的电热?( 2)AB
杆的运动时间? B



8.如图所示,M1N1N2M2 是位于光滑水平桌面上的刚性 U 型金属导轨,导轨中接有阻值为 R 的电阻,它们的质量为 m0.导轨的两条轨道间的距离为 l,PQ 是质量为 m 的金属杆,可在
146

轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直,杆与轨道的接触是粗糙的,杆与导轨的电阻均不计. 初始时,杆 PQ 于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁 感应强度的大小为 B.现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力 F 作用于 PQ 上, 使之从静 止开始在轨道上向右作加速运动.已知经过时间 t , PQ 离开虚线的距离为 x, 此时通过电阻的 电流为 I0, 导轨向右移动的距离为 x0(导轨的 N1N2 部分尚未进人磁场区域).求在此过程中电 阻所消耗的能量.不考虑回路的自感.

如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,竖直放置的金属细圆柱(其半径比 a 小得多) 的端面与金属圆环的上表面在同一平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心 O.一质量为 m,电 阻为 R 的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细轴 O 上,另一 端 A 可绕轴线沿圆环作圆周运动,棒与圆环的摩擦系数为?.圆环处于磁感应强度大小为 B ? Kr 、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到轴线的距离.金 属细圆柱与圆环用导线 ed 连接.不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦,也不计细圆柱、圆环 及导线的电阻和感应电流产生的磁场. 问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度? 匀速转动. 注: ?x ? Δx? ? x 3 ? 3x 2 Δx ? 3x?Δx? ? ?Δx?
3 2 3

B

B A O a d e

147

4、在如图所示的直角作标系中,有一塑料制成的半锥角为 θ 的圆锥体 Oab。圆锥体的顶点 在原点处,其轴线沿 z 轴方向。有一条长为 l 的细金属丝 OP 固定在圆锥体的侧面上,金属 丝与圆锥体的一条母线重合。整个空间中存在着磁感强度为 B 的均匀磁场,磁场方向沿 X 轴正方向,当圆锥体绕其轴沿图示方向做角度为 ω 的匀角速转动时, (1)OP 经过何处时两端的电势相等? (2)OP 在何处时 P 端的电势高于 O 端? (3)电势差 U P ? U O 的最大值是多少? O

X
B

Y

?

a w

Z

P

b

如图所示, ACD 是由均匀细导线制成的边长为 d 的等边三角形线框, 它以 AD 为转轴, 在磁感应强度为 B 的恒定的匀强磁场中以恒定的角速度?转动(俯视为逆时针旋转) ,磁场 方向与 AD 垂直。已知三角形每条边的电阻都等于 R。取图示线框平面转至与磁场平行的时 刻为 t=0。 1.求任意时刻 t 线框中的电流。 2.规定 A 点的电势为 0,求 t=0 时,三角形线框的 AC 边上任一点 P(到 A 点的距离 用 x 表示)的电势 UP,并画出 UP 与 x 之间关系的图线。
A B x d P C

D

148

5、如图所示,一很长的薄导体平板沿 x 轴放置,板面位于水平位置,板的宽度为 L,电阻 可忽略不计,aebcfd 是圆弧形均匀导线,其电阻为 3R,圆弧所在的平面与 x 轴垂直。圆弧

1 的两端 a 和 d 与导体板的两个侧面相接触,并可在其上滑动。圆弧 ae=eb=cf=fd= 8 圆周长,

1 圆弧 bc= 4 圆周长。一内阻 Rg ? nR 的体积很小的电压表位于圆弧的圆心 O 处,电压表的
两端分别用电阻可以忽略的直导线与 b 和 c 点相连。整个装置处在磁感强度为 B、方向竖直 向上的匀强磁场中。 当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度 v 沿 x 轴方向平移运 动时。 (1)求电压表的读数。 (2)求 e 点与 f 点的电势差 U e ? U f 。
B

c
b
O

?

V

f d
L

B

?

x

图 4-3-15

如图预 17-5-1 所示,在正方形导线回路所围的区域 A1 A2 A3 A4 内分布有方向垂直于回路平面 向里的匀强磁场,磁感应强度 B 随时间以恒定的变化率增大,回路中的感应电流为

I ? 1.0 mA .已知 A1 A2 、 A3 A4 两边的电阻皆为零; A4 A1 边的电阻 R1 ? 3.0 k? , A2 A3 边的
电阻 R2 ? 7.0 k? 。 1. 试求 A1 A2 两点间的电压 U12 、A2 A3 两点间的电压 U 23 、A3 A4 两点间的电压 U 34 、A4 A1 两点间的电压 U 41 。 2.若一内阻可视为无限大的电压表 V 位于正方形导线回路所在的平面内,其正负端与 连线位置分别如图预 17-5-2、 图预 17-5-3 和图预 17-5-4 所示, 求三种情况下电压表的读数 U1 、
149

U 2 、 U3 。

8、将一个半径 a、电阻为 r 的圆形导线,接上一个电阻为 R 的电压表后按图(a)、(b)两种方 式放在磁场中,连接电压表的导线电阻可忽略,(a)、(b)中的圆心角都是 θ。均匀变化的磁场 垂直于圆面,变化率 ?B / ?t ? k 。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少?

V ?

a
a
(b)
? V

(a)

150

9、无限长螺线管的电流随时间作线性变化 ( ?I / ?t ? 常数)时,其内 部的磁感应强度 B 也随时间作线性变化。已知 ?B / ?t 的数值,求管 内外的感生电动势 R

7.电子感应加速器(betatron)的基本原理如下:一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内 的磁场中,磁场方向沿圆柱的轴线,圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心 的实线圆代表圆环的边界, 与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。 已知磁 场的磁感应强度 B 随时间 t 的变化规律为 B ? B0 cos(2? t / T ) ,其 中 T 为磁场变化的周期。B0 为大于 0 的常量。当 B 为正时,磁场的 方向垂直于纸面指向纸外。 若持续地将初速度为 v0 的电子沿虚线圆 的切线方向注入到环内(如图) ,则电子在该磁场变化的一个周期 内可能被加速的时间是从 t= 到 t= 。

10、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场,磁感应强度随时间线性变化 (即 ?B / ?t ? 常 数),求螺线管内横截面上长为 l 的直线段 MN 上的感生电动势。(横截面圆的圆心 O 到 MN 的垂直距离为 h)

151

9.在一个半径为 R 的长直螺线管中通有变化的电流,使管内圆柱形的空间产生变化的磁场, 且 ?B / ?t >0。 如果在螺线管横截面内,放置一根长为 R 的导体棒 ab,使得 oa ? ab ? ob , 那么 ab 上的感生电动势 ? ab 是多少?如果将导体棒延伸到螺线管 B 外,并使得 ab ? bc ? R ,求杆 ac 上的电动势为多大? O

a

b

c

在图复 19-2 中,半径为 R 的圆柱形区域内有匀强磁场,磁场方向 垂直纸面指向纸外,磁感应强度 B 随时间均匀变化,变化率 ?B / ?t ? K ( K 为一正值常量 ),圆柱形区外空间没有磁场,沿图中 AC 弦的方向画一直线,并向外延长,弦 AC 与半径 OA 的夹角 ? ? ? / 4 .直线上有一任意 点,设该点与 A 点的距离为 x ,求从 A 沿直线到该点的电动势的大小.

10.两根长度相度、材料相同、电阻分别为 R 和 2R 的细导线, 围成一直径为 D 的圆环,P、Q 为其两个接点,如图所示。在 圆环所围成的区域内,存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。 磁场的磁感强度的大小随时间增大,变化率为恒定值 b。已知 圆环中的感应电动势是均匀分布的。设 MN 为圆环上的两点, MN 间的弧长为半圆弧 PMNQ 的一半。试求这两点间的电压

N Q

R

M

D2
2R

P

UM ?U N 。

152

11.电量为+q,质量为 m 的质点,在长为 L 的轻质绝缘细绳的作用下,在 xOy 平面内以 O 点 y B 为圆心顺时针方向作匀速圆周运动, 线速度大 小为 v0,如图(1)所示。现沿+y 轴方向加上 B1 x 匀强磁场,磁感强度 B 随时间的变化如图 (2) O 所示(B 的大小限制在使绳子不致放松的范围 O t1 t z A (2) 内) 。求 t1 时刻绳子的张力为多大? (1)

12.在水平桌面上放置一个半径 R=0.50m 的绝缘圆槽,小球可在槽中滑动。槽的宽度远小于 其半径,如图所示。设小球质量 m=1.0× 10-3kg,所带电量 q=+5.0× 10-3C,空间存在着方向竖 直向下的匀强磁场, 磁感应强度的大小随时间的变化如图所示。 当小球沿逆时针方向 (俯视) 滑至 A 点时,磁感应强度 B0=0.8T,槽的内外壁均不受压力,当小球经 0.2s 转过一圈再到 A 点时,槽外壁所受的压力 N=3.0× 10-3N,求小球滑行这一周的过程中克服摩擦力所做得功。 B(T) v B A
2 1 0

1

2

t(s)

153

假想有一水平方向的匀强磁场,磁感应强度 B 很大。有一半径为 R、厚度为 d(d<<R)的 金属圆盘,在此磁场中竖直下落,盘面始终位于竖直平面内并与磁场方向平行,如图 12-5 所示。若要使圆盘在磁场中下落的加速度比没有磁场时减小千分之一(不计空气阻力),试 估算所需磁感应强度的数值。 假定金属盘的电阻为零, 并设金属盘的密度 ρ=9×103 千克/米 3, 其介电常数为 ε=9×10-27 库 2/牛· 米 2。

12、如图所示,光滑的水平面上,有边长 l ? 0.8m 的正方 形的导线框 abcd , 质量 m ? 100 g , 自感系数 L ? 10 H ,
?3

a
电阻忽略不计, 当 t ? 0 时, 线框的 bc 边以初速 v0 ? 4m / s 进入磁感应强度为 B 的有界匀强磁场区域,磁场区域宽 s ? 0.2m ,B 的大小为 0.5T ,方向如图,分析 bc 边的运 动

b

v0

d

c

154

三、 (25 分)用直径为 1 mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为 5 cm 的圆环。圆环处于 超导状态,环内电流为 100 A 。经过一年,经检测发现,圆环内电流的变化量小于 10-6 A 。 试估算该超导材料电阻率数量级的上限。 提示:半径为 r 的圆环中通以电流 I 后,圆环中心的磁感应强度为 B ?

?0 I
2r

,式中 B 、I 、

r 各量均用国际单位, ?0 ? 4? ?10-7 N ? A-2 。

如图复 18-4 所示,均匀磁场的方向垂直纸面向里,磁感应强度 B 随时间 t 变化, B ? B0 ? kt ( k 为大于 0 的常数) . 现有两个完全相同的均匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示位置, 环面处于图中纸面内。圆环的半径为 R ,电阻为 r ,相交点的电接触良好.两个环的接触点 A 与 C 间的劣弧对圆心 O 的张角为 60?。求 t ? t0 时,每个环所受的均匀磁场的作用力,不 考虑感应电流之间的作用.

图复 18-4

155

如图所示,有二平行金属导轨,相距 l,位于同一水平面内(图中纸面) ,处在磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向竖直向下(垂直纸面向里) .质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放 在导轨上,与导轨垂直.初始时刻, 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处.假设导轨 及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L.今对金属杆 ab 施 以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速 v0 .设导轨足够长, x0 也足够大,在运动过程中, 两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距 x0 ,因而可以认为在杆运动过程中由 两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的.杆与导轨之间摩擦可不计.求任 意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时间 t 的变 化关系.

y c y

a v0

交 流电
O d b

x 一个 5mH 的纯电感线圈,接在 U ? 20 2 sin(10 t ?
6

?
6

) 伏的电源上,求通过线圈的电流的

有效值,并写出电流的瞬间函数式。

156

.在图 6-5 所示的电路中,两电容器的电容相等,即 C1= C2= C。两个二极管 D1、D2 皆为理想二极管(正向电阻为零,反向电阻为无限大) 。当电源输入电压为图 6-6 所示的稳 定方波时,试在图 6-7、图 6-8 中分别画出达到稳定状态后 L 点的电压 UL 和 m 点的电压 Um 随时间变化的图象。图中 t=0 表示达到稳定状态后的某一时刻。

UL

UM

V0 0 -V0
图 6-7

t

V0 0 -V0
图 6-8

t

如图 8-1 所示的有铁芯的变压器中,原线圈匝数为副线圈的 2 倍。原线圈的电阻为 R1,副 线 圈 的 电 阻 为 R2 , 电 源 的 电 动 势 为 ε=εOsinωt,电源内阻可忽略。设磁力线都集 中在铁芯内,并且铁芯不损耗电能。当副线 ε Osinω t 圈开路时,用Ⅰ1 表示原线圈中的电流,U2 表示副线圈两端的电压,则有: 1.A.Ⅰ1=0 B.Ⅰ1=

?0
R1

sin ?t

图 8-1

157

C.Ⅰ1=

1 ?0 sin ?t 4 R2

D.Ⅰ1 无法根据题文所给的数据确定

2.

A.U2=0 C.U2=

B.U2=

1 ? 0 sin ?t 2

1 (? 0 sin ?t ? I 1 R1 ) D.U2 无法根据题文所给的数据确定。 2

晶体三极管的基极 B、反射极 E 和集电极 C 的电势分别用 UB、UE 和 UC 表示。理想的 硅 NPN 开关三极管的性能如下: 当 UB 较 UE 高 0.6V 或 更 高 , 即 UB-UE≥0.6V 时,三极管完全导通, 即发射 2kΩ 4kΩ 20k Ω 极 E 与集电极 C 之间相当于用导线直接接 + 通。 Ⅰ C C Ⅱ 当 UB-UE<0.6V 时,三极管关断。即 12V B B E 发射极 E 与集电极 C 之间完全不通。 开关 E 三极管只有完全导通与关断两个状态。图 U1 U2 510 Ω 10k Ω 10-7 所示是一个有实际用途的电路,Ⅰ和 Ⅱ都是理想的硅 NPN 开关三极管。要求 1. 在图 10-8 中画出输出电压 U2 随输入电 压 U1 变化的图线。 图 10-7 2.举出此电路一个可能的应用。

U2(V)
12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4

U1(V)
5

图 10-8

158

为了用一个电压为 U=5 伏的大功率电源给电动势 =12 伏的蓄电池充电, 用一只电感为 L=1 亨的电感线圈与一只二极管 D 和自动开关 S 组成的电路,如图所示。S 可周期性地自动接 通和切断电路,接通和切断的时间都为 0.01 秒。蓄电池和电源的内阻、开关 S 的接触电阻、 二极管的正向电阻均可忽略,求蓄电池充电的平均电流。

如图预 16-4-1 所示,电阻 R1 ? R2 ? 1 k? ,电动势

E ? 6 V ,两个相同的二极管 D 串联在电路中,二
管 D 的 I D ? U D 特性曲线如图预 16-6-2 所示。 试求: 1. 通过二极管 D 的电流。 2. 电阻 R1 消耗的功率。



159

第十二部分

热学

【知识介绍】 一、克拉伯龙方程 PV ? nRT (R 为普适气体常量,R=8.31J/mol.K) 对于一定质量的气体,则:

P1V1 P2V2 P P m ,又有 ? ? ,所以有 1 ? 2 ? V T1 T2 ?1T1 ? 2T2

二、混合的理想气体 1、道尔顿定律:当有 n 种气体混合在一个容器中时,它们所产生的总压强等于 每一种气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即:

p ? p1 ? p2 ? ........pn
2、混合气体的状态方程 如果有 n 种理想气体, 分开时的状态分别为 ( p1 ,V1 , T1 ) , ( p2 ,V2 , T2 ) …… ( pn ,Vn , Tn ) 则有:

pV p1V1 p 2V2 pV ? ? .... n n ? T1 T2 Tn T

例2、 有甲乙两个体积不变的容器,容积之比为 V甲:V乙=3: 1 ,它们分别处在温 度为 300K 和 400K 的两个恒温槽中, 甲容器装有 15 个标准大气压的氢气, 乙容器装有 30 个标准大气压的氦气,如用毛细管将两容器连接起来,求 气体混合后的压强?

考点十. 热学 一 热学图象问题
1. 如图是一定质量理想气体的p-V图线,若其状态由a→b →c→a(ab为等容过程,bc为等压过程,ca为等温过 程),则气体在a、b、c三个状态时( ) ?A.单位体积内气体分子数相等,即na=nb=nc ?B.气体分子的平均速度va>vb>vc
160

?C. 气体分子在单位时间内对器壁单位面积碰撞次 图 2-4 数Na>Nb>Nc ?D.气体分子在单位时间内对器壁单位面积作用的总冲量Ia>Ib=Ic 2.一定质量的理想气体的状态变化过程如图 2-4 所示,MN为一条直线,则气体从状态M到 状态N的过程中( ) ?A.温度保持不变 ? B.温度先升高,后又减小到初始温度 C.整个过程中气体对外不做功,气体要吸热 D.气体的密度在不断减小 3. 一定质量的理想气体自状态A经状态B变化到状态C,这一过程在V-T图中的表示如图 所示,则( ) ?A.在过程AB中,气体压强不断变大 B.在过程BC中,气体密度不断变大 C.在过程AB中,气体对外界做功 ?D.在过程BC中,气体对外界放热 ?

4.已知一定质量的理想气体的初始状态Ⅰ的状态参量为p1、V1、T1,终了状态Ⅱ的状 态参量为p2、V2、T2,且p2>p1,V2>V1,如图 2-15 所示.试用玻意耳定律和查理 定律推导出一定质量的理想气体状态方程. 要求说明推导过程中每步的根据, 最后结果的物 理意义,且在p-V图上用图线表示推导中气体状态的变化过程.

5.如图所示,已知一定质量的理想气体,从状态 1 变化到状态 2。问:气体对外是否做功? P 2 1

T
161

6.一定质量的理想气体的三个状态在 V-T 图上用 A,B,C 三个点 表示,如图所示。试比较气体在这三个状态时的压强 pA,pB,pC 的大小关系有:( ) A.pC>pB>pC C.pC>pA>pB B.pA<pC<pB D.无法判断。

二 热学和力学的结合问题 1.将空试管开口朝下竖直插入水中,在某一深度处放手,试管恰好处于平衡状态,下列判断 准确的是 ( ) A.若将试管稍上移后放手,试管会上浮. B.若将试管稍上移后放手,试管将下移至原处. C.若将试管稍下移后放手,试管将上移至原处. D.若将试管稍下移后放手,试管将下沉.

2.如图所示,a、b 两个气缸固定在地面上,两气缸中活 塞用细杆相连,且活塞 a 面积小于 b,在当前温度下(两 个气缸内气体温度相同)活塞处于静止状态.若大气压强 保持不变,活塞与气缸间摩擦可不计,当两个气缸内气 体温度一起升高且保持相同时, ( ) A.两个活塞一起向右移动,细杆受拉力作用. B.两个活塞一起向左移动,细杆受拉力作用. C.两个活塞一起向左移动,细杆受压力作用. D.两个活塞保持静止. 3 一个质量为 m。管口截面为 S 的薄壁长玻璃管内灌满 密度为 p 的水银,现把它竖直倒插在水银槽中,再慢慢 向上提起, 直到玻璃管口刚与槽中的水银面接触。 这时, 玻璃管内水银高度为 H,现将管的封闭端挂在天平另一 个盘的挂钩上,而在天平另一个盘中放砝码,如图 1。 要使天平平衡,则所加砝码质量等于( )。

4.在湖中固定一细长圆管(两滞均开口),管内有一活塞,其下端位于水面上。
162

已知圆管竖直放置,活塞底面积 S=1 厘米 2,质量不计,水面的大气压强 p0 为 1.01× 105 帕。 现将活塞缓缓地提高 H=15 米。则拉力对活塞所做的功应为______________焦。 5.如图为竖直放置的上细下粗的密闭细管, 水银柱将气体分隔成 A、 B 两部分, 初始温度相同。使 A、B 升高相同温度达到稳定后,体积变化量为?VA、?VB, 压 强 变 化 量 为 ?pA 、 ?pB , 对 液 面 压 力 的 变 化 量 为 ?FA 、 ?FB , 则 ( ) A.水银柱向上移动了一段距离 C.?pA>?pB B.?VA<?VB D.?FA=?FB

6.A、B 两装置,均由一支一端封闭,一端开口且带有玻璃泡的管 状容器和水银槽组成,除玻璃泡在管上的位置不同外,其他条件 都相同。将两管抽成真空后,开口向下竖直插入水银槽中(插入 过程没有空气进入管内) ,水银柱上升至图示位置停止。假设这一 过程水银与外界没有热交换,则下列说法正确的是 ( ) A.A 中水银的内能增量大于 B 中水银的内能增量 B.B 中水银的内能增量大于 A 中水银的内能增量 C.A 和 B 中水银体积保持不变,故内能增量相同 D.A 和 B 中水银温度始终相同,故内能增量相同 7.如图所示,两个相通的容器 P、Q 间装有阀门 K、P 中充满气体,Q 为真空,整个系统与 外界没有热交换.打开阀门 K 后,P 中的气体进入 Q 中,最终达到平衡,则( A.气体体积膨胀,内能增加 B.气体分子势能减少,内能增加 C.气体分子势能增加,压强可能不变 D.Q 中气体不可能自发地全部退回到 P 中 ) A B

8.用如图所示的实验装置来研究气体等体积变化的规律。

A、B 管下端由软管相连,注入

一定量的水银,烧瓶中封有一定量的理想气体,开始时 A、B 两管中水银面一样高,那么为
163

了保持瓶中气体体积不变





A.将烧瓶浸入热水中时,应将 A 管向上移动. B.将烧瓶浸入热水中时,应将 A 管向下移动. C.将烧瓶浸入冰水中时,应将 A 管向上移动. D.将烧瓶浸入冰水中时,应将 A 管向下移动. B 软管 A

9.如图所示,将一空的薄金属圆筒开口向下压入水中,设水温均匀且
恒定,且筒内空气无泄漏,不计空气分子间的相互作用,则被淹没的 金属筒在缓慢下降过程中, 发现筒内空气体积在不断减小, 则下面说 法中正确是: A.筒内空气的压强在增大 B.筒内空气的温度在升高 C.筒内空气向外界放热 D.筒内空气的内能减小

如图所示,放置在升降机地板上的盛有水的容器中,插有两根相对容器 的位置是固定的玻璃管 a 和 b, 管的上端都是封闭的, 下端都是开口的。 管内被水各封有一定质量的气体。平衡时,a 管内的水面比管外低,b 管内的水面比管外高。现令升降机从静止开始加速下降,已知在此过程 中管内气体仍被封闭在管内,且经历的过程可视为绝热过程,则在此过 程中 A. a 中气体内能将增加,b 中气体内能将减少 B. a 中气体内能将减少,b 中气体内能将增加 C. a、b 中气体内能都将增加 D. a、b 中气体内能都将减少

10.如图所示,竖直放置的弯曲管 ABCD,A 管接一密闭球形容器,内有一定质量的气体,B 管开口,水银柱将两部分气体封闭,各管形成的液面高度差分别为 h1、h2 和 h3.外界大气 压强为 H0(cmHg).后来在 B 管开口端注入一些水银, 则
D

C

164



) A、注入水银前 A 内气体的压强为 H0+ h1+ h3 B、注入水银后 h1 增大 h3 减小,A 管内气体的压强可能不变 C、注入水银后 C、D 管内气体的体积一定减小 D、注入水银后液面高度差的变化量△h2>△h3

11.左端封闭, 右端开口粗细均匀的 U 形玻璃管, 倒置时如图 16 所示, 用水银柱封闭住两段空气柱Ⅰ,Ⅱ,且两空气柱长度与它们之间的 水银柱长度相等均为 l,左段空气柱Ⅰ底面与右段水银面在同一水平 面上。若将此管保持竖直状态而作自由落体运动,则与静止时相比 ( ) (A)空气柱Ⅰ长度将增大 (B)空气柱总长度将减少 (C)左管中下段水银柱将位置不变 (D)右管中水银面将下降

两端封闭的均匀玻璃管内,有一段水银柱将管内气体分为 两部分。玻璃管与水平面成 α 角不变,将玻璃管整体浸入 较热的水中,重新达到平衡。试论证水银柱的位置是否变 化。如果变化,如何变?

图 3-2 中所示为一两臂内径相同的 U 形管,其中盛有乙醚。 两臂中各有一活塞与液面紧密接触起始时两活塞在同一水 平面上,现将两活塞同时十分缓慢的上提,左右臂活塞提高 的距离分别为 h 和 2h, 然后将两活塞固定, 两臂中液面的高
165

图 3-2

度差为



一直立的不传热的刚性封闭圆筒,高度为 2h, 被一水平透热隔板 C 分成体积皆为 V 的 A、B 两部分,如图 3-3,A 中充有一摩尔 较轻的理想气体, 其密度为 ρA。 B 中充有一摩尔较重的理想气体, C 其密度为 ρB。现将隔板抽开,上 A、B 两部分的气体在短时间内 均匀混合。若 A、B 中气体的定容摩尔热容量(一摩尔的气体在 体积不变的条件下温度升高 1K 所吸收的热量) , 则两部分气体完 全混合后的温度 T2 与混合前的温度 T1 之差为 。

A

B

图 3-3

1、一个密闭的气缸,被活塞分成体积相等的左右两室,气缸壁
与活塞是不导热的, 它们之间没有摩擦。 两室中气体的温度相等, 如图所示。现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时 间。达到平衡后,左室的体积变为原来体积的 3/4,气体的温度 T1=300K。求右室气体的温度。

2、 如下左图所示,一个上下都与大气相通的直圆筒,内部横 截面的面积 S=0.01 米 2,中间用两个活塞 A 与 B 封住一 定质量的理想气体,A、B 都可沿圆筒无摩擦地上、下滑 动,但不漏气,A 的质量可不计、B 的质量为 M,并与一 倔强系数 k=5× 103 牛/米的较长的弹簧相连。已知大气压 强 p0=1× 105 帕,平衡时,两活塞间的距离 l0=0.6 米。现
166

用力压 A。使之缓慢向下移动一定距离后,保持平衡。此时,用于压 A 的力 F=5× 102 牛。求活塞 A 向下移的距离。(假定气体温度保持不变。)

3、 如图 19-17 所示,可沿气缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形气缸 分隔成 A、B 两部分。活塞与气缸顶部有一弹簧相连。当活塞位于 气缸底部时弹簧恰好无形变。开始时 B 内充有一定量的气体,A 内 是真空。B 部分高度为 L1=0.10 米.此时活塞受到的弹簧作用力与重 力的大小相等。现将整个装置倒置,达到新的平衡后 B 部分的高度 L2 等于多少?设温度不变。

12.如图所示, 两个可导热的气缸竖直放置, 它们的底部都由一细管连通 (忽略细管的容积) 。 两气缸各有一个活塞,质量分别为 m1 和 m2,活塞与气缸无摩擦。活塞的下方为理想气体, 上方为真空。当气体处于平衡状态时,两活塞位于同一高度 h。 (已知 m1=3m,m2=2m) ⑴在两活塞上同时各放一质量为 m 的物块,求气体再次达到平衡后两活塞的高度差 (假定环境温度始终保持为 T0) 。 ⑵在达到上一问的终态后,环境温度由 T0 缓慢上升到 T,试问在这个过程中,气体 对活塞做了多少功?气体是吸收还是放出了热量? (假定在气体状态变化过程中, 两物块均 不会碰到气缸顶部) 。 m1 h m2

167

13..由两个传热性能良好的直径不同的圆筒组成的装置如图 23 所示, 在两个圆筒内各有 一个活塞,其横截面积分别为 SA=10cm2、SB=4cm2,它们之间用一硬质轻细杆相连, 两活塞均可在圆筒中无摩擦地运动且不漏气.用销子 M 把 B 锁住,打开阀门 S,使容 器和大气相通,随后关闭 S,此时气温为 23℃,容器中气体体积为 300cm3.当气温升 高到 27℃且保持不变后,把销子 M 拨去.设大气压始 终为 105Pa,容器内温度始终与外界相同.求: (1)拔去销子 M 后,欲使 A、B 活塞仍处于静 止状态,应对 A 活塞施加作用力的大小和方向. (2)若不施加作用力,活塞在各自圆筒范围内 运动一段多大的位移后,速度达到最大值.

14.如图, 在大气中有一水平放置的固定圆筒, 它由 a、 b 和 c 三个粗细不同的部分连接而成, 各部分的横截面积分别为 2S、
168

1 S 和 S。已知大气压强为 p0,温度为 T0.两活塞 A 和 B 用一 2

根长为 4l 的不可伸长的轻线相连,把温度为 T0 的空气密封在两活塞之间,此时两活塞的位 置如图所示。现对被密封的气体加热,使其温度缓慢上升到 T。若活塞与圆筒壁之间的摩擦 可忽略,此时两活塞之间气体的压强可能为多少? a b A l 2l c B

l

有一两端封闭的、 横截面积均匀的 U 形玻璃管, 两臂管内分别有适量的氢气 1 和氦气 2, 一段水银柱把两种气体隔开,如图 6-3 所示,将此 U 形管两端朝上竖直立起,两臂中气柱 的长度分别为 L1=12cm,L2=18cm, ;两端朝下竖直立起时,气柱的长度分别为 L1'=12cm, L2'=18cm, 。问将此 U 形管平放在水平桌面上时,两臂中气柱的长度 L10 和 L20 各是多少? 设 U 形管两臂的长度相等,水银柱不断裂,没有发生气体从一臂通过水银逸入另一臂中的 情况。

L1 L2

L10

L2'
L20

L1'

图 6-3

15,如图所示,在水平放置,内壁光滑,截面积不等的气缸里,活塞 A 的截面积 SA=l0cm2, 活塞 B 的截面积 SB=20cm2.两活塞用质量不计的细绳连接,活塞 A 还通过细绳、定滑轮与 质量为 lkg 的重物 C 相连,在缸内气温 t1=227℃时,两活塞保持静止,此时两活塞离开气 缸接缝处距离都是 L=l0cm,大气压强 p0=1.0× 105Pa 保持不变,试求: (1)此时气缸内被封闭气体的压强. (2)在温度由 t1 缓慢下降到 t2=-23℃过程中,气缸内活塞 A、B 移动情况. (3)当活塞 A、B 间细绳拉力为零时,气缸内气体的温度.

169

,

)有一内径均匀、两支管等长且大于 78cm 的、一端开口的 U 形管 ACDB。用水银将一定质量的理想气体封闭在 A 端后, 将管竖直倒立。平衡时两支管中液面高度差为 2cm,此时闭端 气柱的长度 L0=38cm(如图 8-6 所示) 。已知大气压强相当于 ho=76 厘米水银柱高。若保持温度不变,不考虑水银与管壁的摩 擦,当轻轻晃动一下 U 形管,使左端液面上升△h(△h 小于 2cm) 时,将出现什么现象、试加以讨论并说明理由。

C

D

2cm

L0 A
图 8-6

B

170

三、 功 做功是物体与外界交换能量的过程,如图设气体的压强为 P,当面积为 S 的活塞缓慢地移动一微小的距离 dl ,因而气体 的体积也增加一微小量 dV ,按照定义, 气体对活塞所做的功 dA 为: dA ? PSdl ? PdV 所以 A ? ? PdV (这个结果具有普遍性)
V1 V2

P

dl P

这个结果也意味着 P-V 图与横轴所围成的面积代表了, 气体与外界交换的功。

四、理想气体的热容
1、热容、比热容、摩尔热容 实验事实表明,不同物体在不同过程中温度升高 1K 所吸收的热量一般是不同的,为了表明 物体在一定过程中的这种特点,物理学引入热容的概念,以 C 表示:

V

C?

dQ dT C M C

比热容:定义为 M 的物质的热容 C 与质量 M 之比: c ?

摩尔热容:物质的量为 ? 摩尔的物质的热容与? 之比: C m ?

?

在等体过程和等压过程中,摩尔热容分别叫做等体摩尔热容和等压摩尔热容 分别用符号 CV ,m 和 C P,m 表示:

CV , m ? C P ,m

1 dQ ( )V ? dT 1 dQ ? ( )P ? dT

由以上定义可以看出: (dQ)V ? ?CV ,m dT

(dQ) P ? ?CP,m dT
2、理想气体的 CV ,m 和 C P,m 的关系 (迈耶公式): CP,m ? CV ,m ? R 【推导: 】

171

五. 热力学第一定律对理想气体几种典型过程的应用 1、等体过程 a、 W ? 0 b、 dU ? ?CV ,m dT c、 dQ ? dU ? ?CV ,m dT 2.等压过程

a、W ? ? PdV ? P(V2 ? V1 )
V1

V2

b、 Q ? ?CP,m (T2 ? T1 ) c、 ?U ? ?CV ,m (T2 ? T1 ) 3、等温过程 a、 ?U ? 0 b、 W ? ? PdV ? ?RT ln
V1 V2

V2 V1

4、绝热过程
PV ? ? k (其中 ? ?

C P,m CV ,m



六、能量按自由度均分定理
1、 自由度:确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目 一个不受任何约束的自由质点的自由度是 3,受到约束,自由度数就减少,所受约束愈多, 则自由度数愈少。 2、分子的自由度 气体分子按结构可分为单原子分子,双原子分子,三原子分子或多原子分子。 单原子分子可看作自由质点, 有三个自由度; 双原子分子又可分为刚性双原子分子和非刚性 双原子分子,前者自由度数为 5,后者自由度数为 6,如果某一分子是由 n (n ? 3) 个原子组 成,则这个分子最多有 3n 个自由度。 由于气体的内能是状态参量 T 和 V 的单值函数,即 U ? U (V , T ) ,因而一摩尔气体的内 能(摩尔内能)为: u ?

i RT (i为气体分子的自由度数 ) 。 2

【习题】
1、水蒸气分解成同温度的氢气和氧气,内能增加百分之几?(水分子的自由度为 6,氢分
172

子和氧分子的自由度都为 5。 )

2、两个截面积相同的圆柱形容器,右边容器高为 H,上端封闭,左边容器上端是一个可以 在容器内无摩擦滑动的活塞,两容器由装有阀门的极细管道相连通,容器、活塞和细管都是 绝热的,开始时阀门关闭,左边容器中装有温度为 T0 的单原子理想气体,平衡时活塞到容 器底部的距离为 H, 右边为真空, 现将阀门缓慢打开, 活塞便缓慢下降, 直到系统达到平衡, 求此时左边容器中活塞的高度以及缸内气体的温度?

图中 M1 和 M2 是绝热气缸中的两个活塞,用轻质刚性细杆连结,活塞与气缸壁的接触是光 滑的、不漏气的,M1 是导热的,M2 是绝热的,且 M2 的横截面积是 M1 的 2 倍.M1 把一定质 量的气体封闭在气缸的 L1 部分,M1 和 M2 把一定质量的气体封闭在气缸的 L2 部分,M2 的 右侧为大气,大气的压强 P0 是恒定的. K 是加热 L2 中气体用的电热丝.初始时,两个活塞和 气体都处在平衡状态,分别以 V10 和 V20 表示 L1 和 L2 中气体的体积.现通过 K 对气体缓慢加热一段 时间后停止加热,让气体重新达到平衡态,这时, 活塞未被气缸壁挡住.加热后与加热前比, L1 和 L2 中气体的压强是增大了、减小了还是未变?要 求进行定量论证.

3 、 0.1mol 的单原子分子理想气体,经历如图所示的
173

A→B→C→A 循环,已知的状态图中已经标识。试问: (1)此循环过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处,最高温度是多少? (2)C→A 过程中,气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样?

3 4、 0.2mol 且 CVm ? R 的理想气体经历一个准静 3 2 态过程,它在 P-V 图上可表示为一个圆,求(1) 气体在 A-B-C-D-A 的过程中对外做的功(2)气 体在 A-B-C 过程中吸收的热量(3)整个过程中 经历的最高温度?
1 U 形管的两支管 A、 B 和水平管 C 都是由内径均匀的细 玻璃管做成的, 它们的内径与管长相比都可忽略不计. 己

p / 105 pa
B

A

C

D 1 3

V / 10?3 m 3

知三部分的截面积分别为 SA ? 1.0 ?10?2 cm2, SB ? 3.0 ?10?2 cm2, SC ? 2.0 ?10?2 cm2,在 C 管中有一段空气柱,两侧被水银封闭.当温度为 t1 ? 27 ℃时,空气柱长为 l =30 cm(如图 所示) ,C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a =2.0cm, b =3.0cm,A、B 两支管都很长,其 中的水银柱高均为 h =12 cm.大气压强保持为 p0 =76 cmHg 不变.不考虑温度变化时管 和水银的热膨胀.试求气柱中空气温度缓慢升高到 t =97℃时空气的体积.

174

绝热容器 A 经一阀门与另一容积比 A 的容积大得很多的绝热容器 B 相连。开始时阀门关闭, 两容器中盛有同种理想气体,温度均为 30℃, B 中气体的压强为 A 中的 2 倍。现将阀门缓 慢打开, 直至压强相等时关闭。 问此时容器 A 中气体的温度为多少?假设在打开到关闭阀门 的过程中处在 A 中的气体与处在 B 中的气体之间无热交换.已知每摩尔该气体的内能为

5 U ? RT ,式中 R 为普适气体恒量, T 是热力学温度. 2

如图所示为两个横截面积均为 S=100cm2 的圆筒。 左筒内充满氧气,体积 V 左=22.4L,压强=760mmHg, 温度 T 左=273K;右筒内有同种气体,质量 M 右=64g 体积 V 右=22.4L,温度 T 右=273K,左筒筒壁绝热,右 筒靠大热库维持恒定的 00C 的温度。整个系统在真空中,放开左、右筒相联的活塞后,活 塞移动了 L=50cm 后达到平衡而静止,设活塞与筒壁之间无摩擦。求右筒内的气体吸收了多 少热量?

如图所示,绝热的活塞 S 把一定质量的稀薄气体(可视为理想气体)密封在水平放置 的绝热气缸内。 活塞可在气缸内无摩擦地滑动。 气缸左端的电热丝可通弱电流对气缸内气体 十分缓慢地加热。气缸处在大气中,大气压强为 p0。初始时,气体的体积为 V0、压强为 p0。 已知 1 摩尔该气体温度升高 1K 时其内能的增量为一已知恒量 c, 求以下两种过程中电 热丝传给气体的热量 Q1 与 Q2 之比。 1.从初始状态出发,保持活塞 S 位置固定,在电热丝中通以弱电流,并持续一段时 间,然后停止通电,待气体达到热平衡时,测得气体的压强为 p1。 2.仍从初始状态出发,让活塞处于自由状态,在电热丝中通以弱电流,并持续一段 时间,然后停止通电,最后测得气体的体积为 V2。

S

175

如图所示,两根位于同一水平面内的平行的直长金属导轨,处于恒定磁场中,磁场方向与导 轨所在平面垂直.一质量


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