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2017步步高大一轮复习讲义数学1.3



1.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p 真 真 假 假 2.全称量词和存在量词 量词名词 全称量词 存在量词 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 表示符号 ? ? q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假 綈p 假 假 真 真

3.全称命题和特称命题 命题名称

全称命题 特称命题 命题结构 对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立 命题简记 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0)

4.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题.( × (2)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题.( √ )

)

(3)若命题 p、q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.( √

)

(4)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词.( × ) (5)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ (6)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,綈 p(x)的真假性相反.( √ ) )

1. 设 a, b, c 是非零向量. 已知命题 p: 若 a· b=0, b· c=0, 则 a· c=0; 命题 q: 若 a∥b, b∥c, 则 a∥c.则下列命题中真命题是( A.p∨q C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 A 解析 由题意知命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,所以 p∨q 为真命题.故选 A. 2.已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;q:x=1 是方程 x+2=0 的根.则下列命题为真 命题的是( A.p∧(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 A 解析 由题意知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,故綈 q 为真命题,所以 p∧(綈 q)为真 命题. 3.(2015· 浙江)命题“?n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是( A.?n∈N*,f(n)?N*且 f(n)>n B.?n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n C.?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0 D.?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0 答案 D 解析 写全称命题的否定时, 要把量词?改为?, 并且否定结论, 注意把“且”改为“或”. 故 选 D. π? 4.(2015· 山东)若“?x∈? ?0,4?,tanx≤m”是真命题,则实数 m 的最小值为________. 答案 1 ) ) B.(綈 p)∧q D.p∧q ) B.p∧q D.p∨(綈 q)

π? π 解析 ∵函数 y=tanx 在? ?0,4?上是增函数,∴ymax=tan4=1.依题意,m≥ymax,即 m≥1. ∴m 的最小值为 1. 5.(教材改编)给出下列命题: ①?x∈N,x3>x2; ②所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; ③?x0∈R,x2 0-x0+1≤0; ④存在一个四边形,它的对角线互相垂直. 则以上命题的否定中,真命题的序号为________. 答案 ①②③

题型一
例1

含有逻辑联结词的命题的真假判断
) B.綈 p∨q D.p∧q

(1)已知命题 p:m,n 为直线,α 为平面,若 m∥n,n?α,则 m∥α,命题 q:若 a>b,

则 ac>bc,则下列命题为真命题的是( A.p∨q C.綈 p∧q

(2)已知命题 p: 若 x>y, 则-x<-y; 命题 q: 若 x>y, 则 x2>y2.在命题①p∧q; ②p∨q; ③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( A.①③ C.②③ 答案 (1)B (2)C 解析 (1)命题 q:若 a>b,则 ac>bc 为假命题,命题 p:m,n 为直线,α 为平面,若 m∥n, n?α,则 m∥α 也为假命题,因此只有“綈 p∨q”为真命题. (2)当 x>y 时,-x<-y,故命题 p 为真命题,从而綈 p 为假命题. 当 x>y 时,x2>y2 不一定成立,故命题 q 为假命题,从而綈 q 为真命题. 由真值表知:①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(綈 q)为真命题;④(綈 p)∨q 为假 命题.故选 C. 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈 p”等形式命题真假的判断步骤: (1)确定命题的构成形式; ) B.①④ D.②④

(2)判断其中命题 p、q 的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假. (1)已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要 条件,则下列命题为真命题的是( A.p∧q C.(綈 p)∧q ) B.(綈 p)∧(綈 q) D.p∧(綈 q)

b (2)若命题 p:关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x|x>- },命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x a -b)<0 的解集是{x|a<x<b},则在命题“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”、“綈 q”中,是真命 题的有________. 答案 (1)D (2)綈 p、綈 q 解析 (1)p 为真命题,q 为假命题,故綈 p 为假命题,綈 q 为真命题.从而 p∧q 为假,(綈 p)∧(綈 q)为假,(綈 p)∧q 为假,p∧(綈 q)为真,故选 D. (2)依题意可知命题 p 和 q 都是假命题,所以“p∧q”为假、“p∨q”为假,“綈 p”为真、 “綈 q”为真.

题型二
例2

含有一个量词的命题
) B.?x∈R,-1<sinx<1 D.?x0∈R,tanx0=2

命题点 1 全称命题、特称命题的真假 (1)下列命题中,为真命题的是(

A.?x∈R,x2>0 C.?x0∈R, 2 0 <0 (2)下列四个命题 1? x0 ?1? x0 p1:?x0∈(0,+∞),? ?2? <?3? ; p2:?x0∈(0,1),log 1 x0>log 1 x0;
2 3
x

1?x p3:?x∈(0,+∞),? ?2? >log 1 x;
2

1? ?1?x p4:?x∈? ?0,3?,?2? <log 1 x.
3

其中真命题是( A.p1,p3 C.p2,p3

) B.p1,p4 D.p2,p4

答案 (1)D (2)D 解析 (1)?x∈R,x2≥0,故 A 错;?x∈R,-1≤sinx≤1,故 B 错;?x∈R,2x>0,故 C 错, 故选 D.

?1?x>?1?x, (2)根据幂函数的性质, 对?x∈(0, +∞), 由于 log 1 x-log 1 x ?2? ?3? 故命题 p1 是假命题;
2 3



lgx?lg2-lg3? lgx lgx - = , 故 对 ? x∈(0,1) , log lg2lg3 -lg2 -lg3

1 2

x>log

1 3

x , 所 以 ? x0∈(0,1) ,

1? 1 ?1?x ?1?x log 1 x0>log 1 x0,命题 p2 是真命题;当 x∈? ?0,2?时,0<?2? <1,log2x>1,故?2? >log 1 x 不成
2 3 2

1? ?1?x ?1?x 立,命题 p3 是假命题;?x∈? ?0,3?,0<?2? <1,log 1 x>1,故?2? <log 1 x,命题 p4 是真命题.
3 3

故 p2,p4 为真命题. 命题点 2 含一个量词的命题的否定 例3 (1)命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( )

A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 (2)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x∈B,则綈 p 为: ______________. 答案 (1)C (2)?x0∈A,2x0?B 解析 (1)利用特称命题的否定是全称命题求解,“存在实数 x,使 x>1”的否定是“对任意 实数 x,都有 x≤1”.故选 C. (2)命题 p:?x∈A,2x∈B 是一个全称命题,其命题的否定应为特称命题. ∴綈 p:?x0∈A,2x0?B. 思维升华 (1)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合 M 中的每一个元素 x, 证明 p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个 x=x0,使 p(x0) 成立. (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词. ②对原命题的结论进行否定. (1)下列命题中的真命题是( 3 A.?x∈R,使得 sinx+cosx= 2 )

B.?x∈(0,+∞),ex>x+1 C.?x∈(-∞,0),2x<3x D.?x∈(0,π),sinx>cosx (2)(2015· 课标全国Ⅰ)设命题 p:?n∈N,n2>2n,则綈 p 为( A.?n∈N,n2>2n C.?n∈N,n2≤2n 答案 (1)B (2)C π 3 解析 (1)因为 sinx+cosx= 2sin(x+ )≤ 2< ,故 A 错误;当 x<0 时,y=2x 的图象在 y=3x 4 2 π 的图象上方,故 C 错误;因为 x∈(0, )时有 sinx<cosx,故 D 错误.所以选 B. 4 (2)将命题 p 的量词“?”改为“?”,“n2>2n”改为“n2≤2n”. )

B.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n

题型三
例4

由命题的真假求参数的取值范围
) B.m≤-2 D.-2≤m≤2

已知 p:?x∈R,mx2+1≤0,q:?x∈R,x2+mx+1>0,若 p∨q 为假命题,则实数

m 的取值范围为( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 答案 A

解析 依题意知 p,q 均为假命题,当 p 是假命题时,mx2+1>0 恒成立,则有 m≥0; 当 q 是真命题时,则有 Δ=m2-4<0,-2<m<2. 因此由 p,q 均为假命题得
?m≥0 ? ? ,即 m≥2. ?m≤-2或m≥2 ?

引申探究 1.本例条件不变,若 p∧q 为真,则实数 m 的取值范围为________. 答案 (-2,0) 解析 依题意,当 p 是真命题时,有 m<0; 当 q 是真命题时,有-2<m<2,
? ?m<0, 由? 可得-2<m<0. ?-2<m<2, ?

2.本例条件不变,若 p∧q 为假,p∨q 为真,则实数 m 的取值范围为________________. 答案 (-∞,-2]∪[0,2) 解析 若 p∧q 为假,p∨q 为真,则 p、q 一真一假.

? ?m<0, 当 p 真 q 假时? ?m≥2或m≤-2, ? ?m≥0, ? 当 p 假 q 真时? ?-2<m<2, ?

∴m≤-2;

∴0≤m<2.

∴m 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2). 3. 本例中的条件 q 变为 q: ?x∈R, x2+mx+1<0, 其他不变, 则实数 m 的取值范围为________. 答案 [0,2] 解析 依题意,当 q 是真命题时,Δ=m2-4>0, ∴m>2 或 m<-2.
? ?m≥0, 由? 得 0≤m≤2, ?-2≤m≤2 ?

∴m 的取值范围是[0,2]. 思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. (1)已知命题 p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“?x∈R,使 x2+2ax+2 -a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.{a|a≤-2 或 a=1} B.{a|a≥1} C.{a|a≤-2 或 1≤a≤2} D.{a|-2≤a≤1} (2)命题“?x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围为________. 答案 (1)A (2)[-2 2,2 2] 解析 (1)∵“p 且 q”为真命题,∴p、q 均为真命题, ∴p:a≤1,q:a≤-2 或 a≥1, ∴a≤-2 或 a=1. (2)因题中的命题为假命题,则它的否定“?x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题,也就是常见的 “恒成立”问题,因此只需 Δ=9a2-4×2×9≤0,即-2 2≤a≤2 2. )

1.常用逻辑用语及其应用

一、命题的真假判断

典例 1 已知命题 p:?x∈R,x2+1<2x;命题 q:若 mx2-mx-1<0 恒成立,则-4<m<0, 那么( )

A.“綈 p”是假命题 B.q 是真命题 C.“p 或 q”为假命题 D.“p 且 q”为真命题 解析 由于 x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即 x2+1≥2x,所以 p 为假命题; 对于命题 q,当 m=0 时,有-1<0,恒成立, 所以命题 q 为假命题. 综上可知:綈 p 为真命题, p 且 q 为假命题,p 或 q 为假命题,故选 C. 答案 C 温馨提醒 判断与一元二次不等式有关命题的真假,首先要分清是要求解一元二次不等式, 还是要求一元二次不等式恒成立(有解、无解),然后再利用逻辑用语进行判断. 二、求参数的取值范围 典例 2 已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”;命题 q:“?x∈R,使得 x2+4x+a=0”.若 命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题 p,q 都是真命题.由?x∈[0,1],a≥ex,得 a≥e; 由?x∈R,使 x2+4x+a=0,知 Δ=16-4a≥0,a≤4,因此 e≤a≤4. 答案 [e,4] 温馨提醒 含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命 题为真时参数的范围. 三、利用逻辑推理解决实际问题 典例 3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________. (2)对于中国足球参与的某次大型赛事,有三名观众对结果作如下猜测: 甲:中国非第一名,也非第二名; 乙:中国非第一名,而是第三名; 丙:中国非第三名,而是第一名.

竞赛结束后发现,一人全猜对,一人猜对一半,一人全猜错,则中国足球队得了第________ 名. 解析 (1)由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多,而丙说“三人去过同一城

市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知,乙 去过的城市为 A. (2)由上可知:甲、乙、丙均为“p 且 q”形式,所以猜对一半者也说了错误“命题”,即只 有一个为真,所以可知丙是真命题,因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一

温馨提醒 在一些逻辑问题中,当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时,应从语句的 陈述中搞清含义,并根据题目进行逻辑分析,找出各个命题之间的内在联系,从而解决问题.

[方法与技巧] 1.把握含逻辑联结词的命题的形式,特别是字面上未出现“或”、“且”时,要结合语句的 含义理解. 2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,并注 意与否命题区别;否定的规律是“改量词,否结论”. [失误与防范] 1.p∨q 为真命题,只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题,必须 p、q 同时为真. 2.两种形式命题的否定 p 或 q 的否定:非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q. 3.命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p, 则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题, 它既否定其 条件,又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”,只是否定命题 p 的结论.

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1.已知命题 p:所有有理数都是实数;命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是( ) B.p∧q D.(綈 p)∨(綈 q)

A.(綈 p)∨q C.(綈 p)∧(綈 q) 答案 D

解析 不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而上述叙述中只有(綈 p)∨(綈 q)为真 命题. 2.已知命题 p,q,“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由“綈 p 为真”可得 p 为假,故 p∧q 为假;反之不成立. a b 3.已知命题 p:“x>2 是 x2>4 的充要条件”,命题 q:“若 2> 2,则 a>b”,那么( c c A.“p 或 q”为真 C.p 真 q 假 答案 A 解析 由已知得命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,因此选 A. 4.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2x 1>0


)

)

B.“p 且 q”为真 D.p,q 均为假

) B.?x∈N*,(x-1)2>0 π? D.?x0∈R,tan? ?x0+4?=5

C.?x0∈R,lgx0<1 答案 B

解析 A 项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得 2x 1>0;B 项,∵x∈N*,∴当 x=1


1 1 时, (x-1)2=0 与(x-1)2>0 矛盾; C 项, 当 x0= 时, lg =-1<1; D 项, 当 x∈R 时, tanx∈R, 10 10 π? ∴?x0∈R,tan? ?x0+4?=5. 5.已知命题 p:若 a>1,则 ax>logax 恒成立;命题 q:在等差数列{an}中,m+n=p+q 是 an +am=ap+aq 的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项中真命题是( A.(綈 p)∧(綈 q) C.p∨(綈 q) 答案 B 解析 当 a=1.1,x=2 时, ax=1.12=1.21,logax=log1.12>log1.11.21=2, 此时,ax<logax,故 p 为假命题. 命题 q,由等差数列的性质, B.(綈 p)∨(綈 q) D.p∧q )

当 m+n=p+q 时,an+am=ap+aq 成立, 当公差 d=0 时,由 am+an=ap+aq 不能推出 m+n=p+q 成立,故 q 是真命题. 故綈 p 是真命题,綈 q 是假命题, 所以 p∧q 为假命题,p∨(綈 q)为假命题,(綈 p)∧(綈 q)为假命题,(綈 p)∨(綈 q)为真命题. 6.命题 p:?x∈R,sinx<1;命题 q:?x∈R,cosx≤-1,则下列结论是真命题的是( A.p∧q C.p∨(綈 q) 答案 B 解析 p 是假命题,q 是真命题,所以 B 正确. 7.已知命题 p:所有指数函数都是单调函数,则綈 p 为( A.所有的指数函数都不是单调函数 B.所有的单调函数都不是指数函数 C.存在一个指数函数,它不是单调函数 D.存在一个单调函数,它不是指数函数 答案 C 解析 命题 p:所有指数函数都是单调函数,则綈 p:存在一个指数函数,它不是单调函数. 8.已知命题 p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若 p∨(綈 q)为假命题, 则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.R 答案 B 解析 若 p∨(綈 q)为假命题,则 p 假 q 真.命题 p 为假命题时,有 0≤m<e;命题 q 为真命 题时, 有 Δ=m2-4≤0, 即-2≤m≤2.所以当 p∨(綈 q)为假命题时, m 的取值范围是 0≤m≤2. 9.命题“?x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________. 答案 ?x∈R,x2+2x+5≠0 解析 否定为全称命题:“?x∈R,x2+2x+5≠0”. 10.若命题“?x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
2 解析 因为命题“?x0∈R,x2 0+(a-1)x0+1<0”等价于 x0+(a-1)x0+1=0 有两个不等的实

)

B.(綈 p)∧q D.(綈 p)∧(綈 q)

)

) B.[0,2] D.?

根,所以 Δ=(a-1)2-4>0,即 a2-2a-3>0,解得 a<-1 或 a>3.

1 11. 已知命题 p: x2+2x-3>0; 命题 q: >1, 若“綈 q∧p”为真, 则 x 的取值范围是________. 3-x 答案 (-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) x-2 解析 因为“綈 q∧p”为真,即 q 假 p 真,而 q 为真命题时, <0,得 2<x<3,所以 q 假 x-3
?x>1或x<-3, ? 时有 x≥3 或 x≤2; p 为真命题时, 由 x2+2x-3>0, 解得 x>1 或 x<-3, 由? 解 ? ?x≥3或x≤2,

得 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3, 所以 x 的取值范围是 x<-3 或 1<x≤2 或 x≥3. 12.下列结论: ①若命题 p:?x∈R,tanx=1;命题 q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(綈 q)”是假命题; a ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; b ③命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题:“若 x≠1,则 x2-3x+2≠0”.其中正确 结论的序号为________. 答案 ①③ 解析 ①中命题 p 为真命题,命题 q 为真命题, 所以 p∧(綈 q)为假命题,故①正确; ②当 b=a=0 时,有 l1⊥l2,故②不正确; ③正确,所以正确结论的序号为①③. B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 13.已知命题 p:?x∈R,x-2>lgx,命题 q:?x∈R,x2>0,则( A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∧(綈 q)是真命题 D.p∨(綈 q)是假命题 答案 C 解析 ∵x=10 时,x-2=8,lg10=1,x-2>lgx 成立,∴命题 p 为真命题,又 x2≥0,命题 q 为假命题, 所以 p∧(綈 q)是真命题. 14.四个命题:①?x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②?x∈Q,x2=2;③?x∈R,x2+1=0; ④?x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为( ) )

A.0 C.2 答案 A 解析 ∵x2-3x+2>0,Δ=(-3)2-4×2>0, ∴当 x>2 或 x<1 时,x2-3x+2>0 才成立, ∴①为假命题.

B .1 D.4

当且仅当 x=± 2时,x2=2,∴不存在 x∈Q,使得 x2=2,∴②为假命题. 对?x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题. 4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 即当 x=1 时,4x2=2x-1+3x2 成立, ∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 15.下列结论正确的是( )

A.若 p:?x∈R,x2+x+1<0,则綈 p:?x∈R,x2+x+1<0 B.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 也为真命题 C.“函数 f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件 D.命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的否命题为真命题 答案 D 解析 ∵x2+x+1<0 的否定是 x2+x+1≥0,∴A 错;若 p∨q 为真命题,则 p、q 中至少有一 个为真,∴B 错;f(x)为奇函数,但 f(0)不一定有意义,∴C 错;命题“若 x2-3x+2=0 则 x =1”的否命题为“若 x2-3x-2≠0,则 x≠1”,是真命题,D 对. 16.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R,4x-2x 1+m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m


的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 解析 若綈 p 是假命题,则 p 是真命题, 即关于 x 的方程 4x-2· 2x+m=0 有实数解, 由于 m=-(4x-2· 2x)=-(2x-1)2+1≤1, ∴m≤1. 17.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无 实根.则使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围是________. 答案 (-∞,-2]∪[-1,3) 解析
2 ? ?Δ1=4m -4>0, 设方程 x +2mx+1=0 的两根分别为 x1,x2,由? 得 m<-1, ?x1+x2=-2m>0, ? 2

所以命题 p 为真时,m<-1. 由方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根, 可知 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 得-2<m<3, 所以命题 q 为真时,-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假,可知命题 p,q 一真一假,
?m<-1, ? 当 p 真 q 假时,? 此时 m≤-2; ? ?m≥3或m≤-2, ? ?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? 此时-1≤m<3, ?-2<m<3, ?

所以所求实数 m 的取值范围是 m≤-2 或-1≤m<3. 18.已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是________. 答案 (-4,-2) 解析 当 x≥1 时,g(x)≥0,∴要满足条件①,则 f(x)<0 在 x≥1 时恒成立,f(x)=m(x-2m)(x +m+3)为二次函数,抛物线必须开口向下,即 m<0.f(x)=0 的两根 x1=2m,x2=-m-3,且 x1-x2=3m+3. 1 (ⅰ)当 x1>x2,即-1<m<0 时,必须大根 x1=2m<1,即 m< .∴此时-1<m<0; 2 (ⅱ)当 x1<x2,即 m<-1 时,大根 x2=-m-3<1,即 m>-4.∴此时-4<m<-1; (ⅲ)当 x1=x2,即 m=-1 时,x1=x2=-2<1 也满足条件. ∴满足条件①的 m 的取值范围为-4<m<0. 满足条件②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,必须满足二次函数的小根小于-4.

(ⅰ)当 m>-1 时,小根 x2=-m-3<-4 且 m<0,无解. (ⅱ)当 m<-1 时,小根 x1=2m<-4 且 m<0,解得 m<-2. (ⅲ)当 m=-1 时,f(x)=-(x+2)2≤0 恒成立, ∴不满足②. ∴满足①②的 m 的取值范围是-4<m<-2.



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