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高考数学(理科)必考题型过关练:专题7 第28练 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型



第 28 练

椭圆问题中最值得关注的几类基本题型

题型一 利用椭圆的几何性质解决问题 x2 y2 1 例 1 如图,焦点在 x 轴上的椭圆 + 2=1 的离心率 e= ,F,A 分 4 b 2 → → 个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,求PF· PA的最大值和最小值. 破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用, 解题的关键是 根

据椭圆的性质确定变量的取值范围. 解 设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2, c 1 ∵e= = ,∴c=1,∴b2=a2-c2=3. a 2 x2 y2 所求椭圆方程为 + =1. 4 3 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. → 又 F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0), → PA=(2-x0,-y0), 1 2 1 → → 2 2 ∴PF· PA=x0-x0-2+y2 0= x0-x0+1= (x0-2) . 4 4 → → 当 x0=2 时,PF· PA取得最小值 0, → → 当 x0=-2 时,PF· PA取得最大值 4. 题型二 直线与椭圆相交问题 例 2 已知直线 l 过椭圆 8x2+9y2=72 的一个焦点,斜率为 2,l 与椭圆相交于 M、N 两点,求弦|MN|的长. 破题切入点 根据条件写出直线 l 的方程与椭圆方程联立,用弦长公式求出. 解
? ?y=2?x-1?, 由? 2 得 11x2-18x-9=0. 2 ?8x +9y =72, ?

别是椭圆的一

→ → 表示出PF· PA,

18 由根与系数的关系,得 xM+xN= , 11 9 xM· xN=- . 11 由弦长公式|MN|= 1+k2|xM-xN|= 5· 18 9 ? ?2+4× = 11 11 3 600 60 = . 112 11

题型三 点差法解题,设而不求思想

x2 例 3 已知椭圆 +y2=1,求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程. 2 破题切入点 设出弦的两端点,利用点差法求解. 解 设弦的两端点分别为 M(x1,y1),N(x2,y2),

MN 的中点为 R(x,y),
2 2 2 则 x2 1+2y1=2,x2+2y2=2,

两式相减并整理可得, y1-y2 x1+x2 x =- =- ,① 2y x1-x2 2?y1+y2? 将 y1-y2 =2 代入式①, x1-x2

得所求的轨迹方程为 x+4y=0(- 2<x< 2). 题型四 轨迹问题 4 例 4 △ABC 的一边的顶点是 B(0,6)和 C(0,-6),另两边斜率的乘积是- ,求顶点 A 的轨迹方程. 9 破题切入点 直接设出 A 点坐标,根据条件求出轨迹,注意挖点. y-6 y+6 4 解 设 A(x,y),由题设得 · =- (x≠0). x x 9 x2 y2 化简得 + =1(x≠0). 81 36 x2 y2 即顶点 A 的轨迹方程为 + =1(x≠0). 81 36 总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法:一是借助图形,由几何图形中量的关系求最值,二 是建立函数关系求最值或用不等式来求最值. (2)直线和椭圆相交问题:①常用分析一元二次方程解的情况,仅有“Δ”还不够,还要用数形结合思想.② 弦的中点、弦长等,利用根与系数关系式,注意验证“Δ”. (3)当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程,用“点差 法”来求解. (4)求轨迹(方程)的方法大致有直接法、代入法、定义法、参数法等,根据条件选择恰当的方法.

x2 y2 1.“2<m<6”是“方程 + =1 表示椭圆”的( m-2 6-m A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 B x2 y2 解析 若 + =1 表示椭圆, m-2 6-m B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, ? ?m-2≠6-m,

所以 2<m<6 且 m≠4,

x2 y2 故“2<m<6”是“方程 + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. m-2 6-m 2.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 答案 B 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径, 所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM| =6>|MN|, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. 3.已知椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数 列,则椭圆方程为( x2 y2 A. + =1 8 6 x2 y2 C. + =1 8 4 答案 A x2 y2 解析 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 4 3 由点(2, 3)在椭圆上知 2+ 2=1. a b 又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列, 则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|, c 1 即 2a=2· 2c, = . a 2 又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2=6. x2 y2 3 4.(2014· 大纲全国)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 ,过 F2 的直线 l 交 a b 3 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 ) ) x2 y2 B. + =1 16 6 x2 y2 D. + =1 16 4 )

B.椭圆 D.抛物线

答案 A 解析 由 e= 3 c 3 ,得 = .① 3 a 3

又△AF1B 的周长为 4 3, 由椭圆定义,得 4a=4 3,得 a= 3, 代入①得 c=1,所以 b2=a2-c2=2, x2 y2 故 C 的方程为 + =1. 3 2 5. (2014· 福建)设 P, Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 A.5 2 C.7+ 2 答案 D x2 解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 x2+(y-6)2=r2(r>0),与椭圆方程 +y2=1 10 联立得方程组,消掉 x2 得 9y2+12y+r2-46=0. B. 46+ 2 D.6 2 x2 +y2=1 上的点, 则 P, Q 两点间的最大距离是( 10 )

令 Δ=122-4×9(r2-46)=0, 解得 r2=50, 即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2, 故选 D. x2 6.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A, 4 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心 A. 2 答案 D 解析 设|AF1|=m,|AF2|=n, 则有 m+n=4,m2+n2=12, B. 3 3 C. 2 D. 6 2

B 分别是 C1,C2 率是( )

因此 12+2mn=16,所以 mn=2, 而(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8, 因此双曲线的 a= 2,c= 3,则有 e= 3 6 = . 2 2

x2 y2 7.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左,右焦点分别是 F1、F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等 a b 比数列,则此椭圆的离心率为________. 答案 5 5

解析 由椭圆的性质可知:|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列, 故(a-c)(a+c)=(2c)2, c 5 可得 = . a 5 x2 y2 8.(2014· 辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A, 9 4 B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 答案 12 x2 y2 解析 椭圆 + =1 中,a=3. 9 4 如图,设 MN 的中点为 D,

则|DF1|+|DF2|=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴|BN|=2|DF2|, |AN|=2|DF1|, ∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|)=12. 1 x2 y2 9.(2014· 江西)过点 M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,若 M 是线段 2 a b AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于________. 答案 2 2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

? ?x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2+ 2=1, a b

∴ ∴ ∵

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0, a2 b2 y1-y2 b2 x1+x2 =- 2· . a y1+y2 x1-x2 y1-y2 1 =- , 2 x1-x2

x1+x2=2,y1+y2=2, b2 1 ∴- 2=- , a 2 ∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2, c 2 ∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴ = . a 2 y2 10.(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+ 2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B b 两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 3 答案 x2+ y2=1 2 解析 设点 B 的坐标为(x0,y0). y2 ∵x2+ 2=1, b ∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → → ∵|AF1|=3|F1B|,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0). 5 b2 ∴x0=- 1-b2,y0=- . 3 3 5 b? 2 ∴点 B 的坐标为? ?-3 1-b ,- 3 ?. 5 b? y 2 2 将 B? ?-3 1-b ,- 3 ?代入 x +b2=1, 2 得 b2= . 3 3 ∴椭圆 E 的方程为 x2+ y2=1. 2 x2 y2 11.(2014· 课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x a b
2 2 2

轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解 b2 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M(c, ), a

b2 a 3 = ,2b2=3ac. 2c 4 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,得原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

? ? ?x1=-2c, ?2?-c-x1?=c, ? 即? ? ?-2y1=2, ? ?y1=-1.
9c2 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9?a2-4a? 1 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 4a2 4a
2 2

3

解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. x2 y2 12.(2014· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,顶点 a b B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.

4 1? (1)若点 C 的坐标为? ?3,3?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0).

(1)因为 B(0,b),所以 BF2= b2+c2=a. 又 BF2= 2,故 a= 2. 4 1? 因为点 C? ?3,3?在椭圆上, 16 1 9 9 所以 2 + 2=1,解得 b2=1. a b x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y 所以直线 AB 的方程为 + =1. c b

? 解方程组? x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2

x y + =1, c b

? ?x =a +c , 得? b?c -a ? ?y = a +c , ?
1 2 2 2 2 1 2 2 2 2

2a2c

?x2=0, ? ? ?y2=b. ?

? 2a c b?c -a ?? 所以点 A 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ?a +c
又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性, 可得点 C 的坐标为?

? 2a c ,b?a -c ??. ? ?a2+c2 a2+c2 ?
2

2

2

b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 , 2a c 3a c+c3 2 2-?-c? a +c b 直线 AB 的斜率为- ,且 F1C⊥AB, c b?a2-c2? ? b? 所以 2 ·- =-1. 3a c+c3 ? c? 又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2. 1 5 故 e2= ,因此 e= . 5 5



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