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高三复习数学( 集合函数导数三角向量数列不等式立体几何)



高三复习数学试题
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. “

1 ? 1” x

是 “x

? 1”

的( ) 。 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 C.充要条件 2.已知向量 a A.-2

? (

1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值是(
B.0 C.1 D.2

?x ? y ?1 ? 0 ? 3.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?x ? 0 ?
A.0 B.





?

4.等差数列 ?an ? 的公差为 d ? d ? 0? ,且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32 ,若 am ? 8 ,
则 m 为( ) C. 6 D. 4 ??? ??? ? ? ??? ? 5.设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2 BP ,则( ) B. A. 12

3 2

C.

?2

D. ?1

8

B

A. PA ? PB

??? ??? ? ?

? ?0 ? ?0

B. PC ? PA ? 0 D. PA ? PB ? PC

??? ??? ? ?

?

C. PB ? PC

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

? ?0

A

P 第 5 题图

C

6. 如果三棱锥 S-ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点
S 在底面的射影 O 在△ABC 内,那么 O 是△ABC 的( A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 )

7 . 同时具有性质“①最小正周期是 ? ,②图象关于直线 x ?
上是减函数”的一个函数是 ( ) B.

?
3

对称;③在 [ ?

? ?

, ] 6 3

x ? A. y ? sin( ? ) 2 6
C.

y ? cos( 2 x ?

?
6

)

y ? sin( 2 x ?

?

6

)

D.

y ? cos( 2 x ?

?

3

)

8.函数 f (x) 在定义域 R 内可导, f ( x) ? f (2 ? x), 且 ( x ? 1) f '( x) ? 0 ,

1

若a

1 ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3), 则 a, b, c 的大小关系是 2 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. a ? c ? b





二、 填空题(每题 5 分,共 35 分)

9. 已知向量 a ? (4, , b ? ( x, ,若 a ∥ b ,则 x = 2) 3)
10..(理)

?

?

?

?

.

? ?2x
1 0

k

? 1 dx ? 2 ,则 k ? _______
差 数 列 , 且

?

( 文 ) 已 知 数 列

{an } 为 等 t a n 2 (? a12 ) =_______ a
?

a1 ? a7 ? a13 ? 4?

, 则

2 5 4 ,cos(? ? ? ) ? ,则 cos? ? _______ 5 5 12.钝角△ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于______ 1 1 a b 13.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则 ? 的最小值为_______ a b
11.若 ?,? 为锐角, sin? 14.若不等式

9 ? x2 ? k ( x ? 2) ? 2 的解集为区间 ? a, b? ,且 b ? a ? 2 ,
? ??? ?


其中 a>0,k>0,则 k

??? ?

15. 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB , 它们的夹角为 120 .如图
所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 中 x, y ? R ,则 x ?

o

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其

y 的最大值是________.

三、解答题: (共 75 分)

16.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )
(1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ?

?

?

?

?

?

?

? ? ) 的值;

? ?

? ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b

(12 分)

2

17.如图所示,PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点.(1)求证:MN∥
平面 PAD.(2)求证:MN⊥CD. (12 分)

18. (12 分)如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一
部分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0, 的最高点为 S(3, 2

? >0) x ? [0,4]的图象,且图象

3 );赛道的后一部分为折线段

MNP , 为 保 证 参 赛 运 动 员 的 安 全 , 限 定

? MNP=120 o
(I)求 A ,

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

19. (13 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式. n (II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn
(I)设 bn

?

3

20. (13 分)已知 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 在 x ? ?1 处取极值,且函

3 y ? f ?( x ? ) 为偶函数。 f ' ? x ? 为函数 f ? x ? 的导函数) ( 2 (1)求 f ( x ) 的单调区间及单调性;
数 (2)若存在 k ? (1, 2] ,使得不等式

f (k ? cos x) ? f (k 2 ? cos2 x) 对 x ? R



成立,试求出实数 k 的取值集合。.

21. (13 分)已知 f ? x ? ?

1 2 x ? 2 x ? 2, g ? x ? ? ? log a x ? a ? 0, a ? 1? ,函数 2 1 ' (参考公式: ? log a x ? ? ) h?x? ? f ?x? ? g ?x? 在其定义域内是增函数。 x ln a

(1)求 a 的取值范围;

(2)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设

A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ??x1 ? x2 ? 是函 y1 ? y 2 ' ' 数 y ? g ?x ? 的图象上两点,g ?x0 ? ? ( g ? x ? 为函数 g ?x ? 的导函数) , x1 ? x2 试比较 x1 与 x0 的大小,并说明理由.

4

一、 选择题: (每题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 D 7 D 8 C

二、 填空题: (每题 5 分,共 35 分) 9. 6 ; 10. 理 1 文 —√3 ; 11. 2√5/5; 12.

3 ; 4

13. 4;

1 4.

2

;15 .

2

三、解答题: 16. (1)由

a 与 b ? 2c 垂直, a ? (b ? 2c) ? a ? b ? 2a ? c ? 0 ,

即 4sin( 4分

? ? ? ) ? 8cos(? ? ? ) ? 0 ,tan(? ? ? ) ? 2 ;???????
? (sin ? ? cos ? ,4cos ? ? 4sin ? )

(2) b ? c

| b ? c |2 ? sin2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ? ? 16cos2 ? ? 32cos ? sin ? ? 16sin 2 ?
? 17 ? 30sin ? cos ? ? 17 ? 15sin 2? ,最大值为 32,
所以 | b ? c | 的最大值为 4

2 。????????8 分 (3)由 tan ? tan ? ? 16 得 sin ? sin ? ? 16cos ? cos ? ,
即 4cos 所 以

? ? 4cos ? ? sin ? sin ? ? 0 ,


a

b

.

w.w.w.k.s.5 ????????12 分

.u.c.o.m

17(省略) 18.
解法一(Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , 当 x ? 4 是, ? y ? 2 3 sin

T 2? ? ? ,? ? ? 。? y ? 2 3 sin x ? 3 ,又 T ? 4 ? 6 6

2? ?3 3

? M (4, 3) 又 p(8,0)

? MP ? 42 ? 32 ? 5 ?????6 分
(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5, 设∠PMN= ? ,则 0°< ? <60° 5

由正弦定理得

MP NP MN ? ? 0 sin ? sin(60 0 ? ? ) sin 120 ? MN ? 10 3 sin(600 ? ? ) 3

? NP ?


10 3 sin ? , 3

NP ? MN ? ?

10 3 10 3 10 3 1 3 sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) 3 3 3 2 3

10 3 sin(? ? 600 ) 3

? 0°< ? <60°,? 当 ? =30°时,折线段赛道 MNP 最长
亦即,将∠PMN 设计为 30°时,折线段道 MNP 最长??????12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5,
2 2 cos ∠MNP= MP 2 由余弦定理得 MN ? NP ? 2MN ?NP? 2 2 即 MN ? NP ? MN ?NP ? 25

故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? ( 从而

MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? 3 4 当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长
19.分析: (I)由已知有 利 用 累 差 迭

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 加 即 可 求 出 数 列 {bn }

的 通 项 公 式 :

bn ? 2 ?

1 * ( n ? N )??????6 分 n ?1 2

(II)由(I)知 an

? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1
n

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2
n


n

? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k k ?1 k ?1 2

是一个典型的错位相减法模型,

易得

?2
k ?1

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 ??????13 分 n ?1 2 2

20. 6

解: (1)

3 27 ? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b, ? f ?( x ? ) ? 3 x 2 ? (9 ? 2a) x ? 3a ? b ? 2 4 3 9 ? y ? f ?( x ? ) 为偶函数,? 9 ? 2a ? 0 ? a ? ? ??????3 分 2 2 ?(?1) ? 0 ,? 3 ? 2a ? b ? 0 ,故 b ? ?12 ???????? 4 分 又 f ? f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 4 ;? f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 4 所以 f ( x ) 的递增区间为 (??, ?1) 和 (4, ??) ,递减区间为 (?1, 4) ????6 分 2 2 (2)当 k ? (1, 2] 时, 0 ? k ? cos x ? 3 , 0 ? k ? cos x ? 4 . 4) 由(1)知, f ( x ) 在 (0, 上是减函数 2 2 要使 f (k ? cos x) ? f (k ? cos x) , x ? R
只要 k ? cos x ? k

? cos2 x( x ?R) 2 2 即 cos x ? cos x ? k ? k ( x ?R)
2


2

???8 分

设 h( x) ? cos 值为 2 .

2

1? 1 ? x ? cos x ? ? cos x ? ? ? ,则函数 h( x) 在 R 上的最大 2? 4 ?
2

? k ? 2 ,即 k ? 2 或 k ? ?1 .???10 分 2 2 所以,在区间 k ? (1, 2] 上存在 k ? 2 ,使得 f (k ? cos x) ? f (k ? cos x) 对任 意的 x ? R 恒成立. 因此实数 k 的取值集合为 ?2? 。??????????13 分
要使① 式恒成立,必须 k 21. 解: (1)∵ h ∴

?x? ? f ?x? ? g ?x? ? 1 x 2 ? 2 x ? log a x ? 2?x ? 0? ,
2

1 1? 1 ? ? ? x 2 ? 2x ? ? .?????????…2 分 x ln a x ? ln a ? ∵ h?x ? 在区间 ?0,??? 上是增函数, 1? 2 1 ? ∴ ? x ? 2x ? ? ? 0 在区间 ?0,??? 上恒成立,?????…4 分 x? ln a ? 1 2 ? 0 在区间 ?0,??? 上恒成立, 即 x ? 2x ? ln a 1 1 ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) 恒 成 立 , 所 以 ? 1 ? 0 ? ln a ? 1 ln a ln a 1 ? a ? e ??6 分 (2)结论 x0 ? x1 ,理由如下: h ' ?x ? ? x ? 2 ?



7

x2 ? x1 1 1 . ? ? ,所以 x0 ? x0 ln a x0 ln x2 ? ln x1 x 2 ? x1 x ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 . ? 1 x1 ? x0 ? x1 ? ln x 2 ? ln x1 ln x2 ? ln x1 ∵ x1 ? x 2 ,∴ ln x1 ? ln x2 ,即 ln x2 ? ln x1 ? 0 .?????9 分
g ' ?x0 ? ? ?

x ? ?0, x2 ?上



r ?x? ? x ln x2 ? x ln x ? x2 ? x

, 则

r ' ?x? ? ln x2 ? ln x

, 在

r ' ?x ? ? 0 , ∴ r ?x ? 在区间 ?0, x2 ? 上单调递增. 当 x1 ? x 2 时, r ?x1 ? ? r ?x2 ? ? 0 ,即 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 . 从而 x0 ? x1 . ??????????????? 13 分

8



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