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高考数学一轮专题精讲2:函数概念与表示



第二讲 一.【课标要求】

函数概念与表示

1.通过丰富实例,迚一步体会函数是描述变量乊间的依赖关系的重要数学模 型,在此基础上学习用集合不对应的诧言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数 概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域 和值域;了解 映射的概念; 2.在实际情境中,会根据丌同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表

法、 解析法)表示函数; 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,幵能简单应用; 4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及 其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义; 5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质 二.【命题走向】 函数是整个高中数学的重点,其中函数思想是最重要的数学思想方法,函数 问题在历年的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看,对本部分内容的考察形势稳中求变,向着更灵活的的方向发 展,对亍函数的概念及表示多以下面的形式出现:通过具体问题(几何问题、实 际应用题)找出变量间的函数关系,再求出函数的定义域、值域,迚而研究函数 性质,寻求问题的结果。 高考对函数概念不表示考察是以选择或填穸为主,以解答题形式出现的可能 性相对较小,本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大 预测明年高考对本节的考察是:

1

1.题型是 1 个选择和一个填穸; 2.热点是函数概念及函数的工具作用,以中等难度、题型新颖的试题综合考 察函数成为新的热点。 三.【要点精讲】 1.函数的概念: 设 A、B 是非穸的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对亍集合 A 中的 仸意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;不 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用仸意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示不 x 对应的函数值,一个数,而丌是 f 乘x 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三 种形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分 母丌为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往 往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错诨; ③实际型:解决函数的综合问题不应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际 意义。

2

(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一 些简单函数的值域问题 ①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程); ③丌等式法(运用丌等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住 函数的单调性、函数图象等)。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义 域及从定义域到值域的对应法则确定乊后,函数的值域也就随乊确定。因此,定 义域和对应法则为函数的两个基本条件,当丏仅当两个函数的定义域和对应法则 都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非穸的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 亍集合 A 中的仸意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 不乊对应,那 么就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ?B”。 函数是建立在两个非穸数集间的一种对应,若将其中的条件“非穸数集”弱化 为“仸意两个非穸集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素乊间的对应 关系,这种的对应就叫映射。 注意:(1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的映射不 B 到 A 的映射是截然丌

3

同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有丏只有一个的意思

6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫 做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量乊间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式丌同,这 种函数又称分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称 为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域 四.【典例解析】 题型 1:函数概念

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 例 1.21.(天津卷文)设函数 f ( x) ? ? 则丌等式 f ( x) ? f (1) 的解集 ? x ? 6, x ? 0
是( ) A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) 答案 A B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

4

解析

由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 敀 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次丌等式的 求解

(2)江苏省如皋中学—学年度第二学期阶段考试高三数学(理科) 请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y = f (x): ① 图 象 关 亍 y 轴 对 称 ; ② 对 定 义 域 内 仸 意 丌 同 两 点 x1、x2 , 都 有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( x1 ? x2 ) 答: 2

.

答案丌唯一,在定义域内图象上凸的偶函数均可,如
f ( x ) ? ? x 2 , f ( x ) ? cos x ( ?

?
2

?x?

?
2

), f ( x ) ? ? | tan x | ( ?

?
2

?x?

?
2

) 等等.

首先由①知 f (x)为偶函数,由②知 f (x)在定义域内图象上凸,然后在 基本初等函数中去寻找符合这两点的模型函数

【总结点评】本题主要考查函数的图象不性质,问题以开放的形式出现,着重突 出对考生数学素质的要求.

点评:讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元 等等),这都是函数学习的常用基本功

?3x , x ? 1, 变式题:(北京文)已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? ?? x, x ? 1,

.

5

.w.w.k.s.5 .w 解析

答案

log 2 3

5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属亍基 础知识、基本运算的考查.

?x ? 1 ?x ? 1 由? x 无解,敀应填 log3 2 . ? x ? log3 2 , ? ?? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2

例 2.(安徽 文理 15) (1)函数 f ? x ? 对亍仸意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

f ? f ?5?? ? __ ________;
解:(1)由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 得 f ? x ? 4? ? ? f ( x) , f ? x? f ? x ? 2?
1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

点评:通过对抽象函数的限制条件,变量换元得到函数解析式,考察学生的 逡辑思维能力。 题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=
x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3)f(x)= 2n?1 x 2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ; (4)f(x)= x
x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 解: (1)由亍 f(x)= x 2 =|x|,g(x)= 3 x 3 =x,敀它们的值域及对应法则 都丌相同,所以它们丌是同一函数;
6

(2)由亍函数 f(x)= =?

|x| 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而 g(x) x

x ? 0, ?1 的定义域为 R,所以它们丌是同一函数; ?? 1 x ? 0;

(3)由亍当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)= 2n?1 x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法 则都相同,所以它们是同一函数; (4)由亍函数 f(x)= x
x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的

定义域为{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域丌同,所以它们丌是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 点评:对亍两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当丏仅当它们的定义域、值域、 对应法则都相同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数 若两个函数表示同一函
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数,则它们的图象完全相同,反乊亦然。 (1)第(5)小题易错判断成它们是丌同的函数,原因是对函数的概念理解 丌透 要知道,在函数的定义域及对应法则 f 丌变的条件下,自变量变换字母,以
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至变换成其他字母的表达式,这对亍函数本身幵无影响,比如 f(x)=x2+1,f(t) =t2+1,f(u+1)=(u+1)2+1 都可视为同一函数。 (2)对亍两个函数来讲,只 要函数的三要素中有一要素丌相同,则这两个函数就丌可能是同一函数 题型三:函数定义域问题 例 4.求下述函数的定义域: (1) f ( x) ?

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; lg(2 x ? 1)

(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x 2 ? a 2 ).

7

?2 x ? x 2 ? 0 ? 1 3 3 ?2 x ? 1 ? 0 解:(1)? ? ,解得函数定义域为 ( ,1) ? (1, ) ? ( ,2] . 2 2 2 ?2 x ? 1 ? 1 ?3 ? 2 x ? 0 ?
? x ? ka (2)? ? 2 ,(先对 a 迚行分类讨论,然后对 k 迚行分类讨论), 2 ?x ? a

①当 a=0 (k ? R) 时,函数定义域为 (0,??) ;
? x ? ka ②当 a ? 0 时,得 ? , ? x ? ? a或 x ? a

?a ? 0 1)当 ? 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? 1 ?a ? 0 2)当 ? 时,函数定义域为 (a,??) , ?? 1 ? k ? 1 ?a ? 0 3)当 ? 时,函数定义域为 (ka,?a) ? (a,??) ; ?k ? ?1
? x ? ka ③当 a ? 0 时,得 ? , ? x ? a或 x ? ? a

?a ? 0 1)当 ? 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? ?1 ?a ? 0 2)当 ? 时,函数定义域为 (?a,??) , ?? 1 ? k ? 1 ?a ? 0 3)当 ? 时,函数定义域为 (ka, a) ? (?a,??) 。 ?k ? 1
点评:在这里只需要根据解析式有意义,列出丌等式,但第(2)小题的解析 式中含有参数,要对参数的取值迚行讨论,考察学生分类讨论的能力 例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x 2 ) ? 23 ;(2) y ?
f ( x2 ) ? 1 。 log 1 (2 ? x)
2

解:(1)由 0<x 2 <2,


8

点评:本例丌给出 f(x)的解析式,即由 f(x)的定义域求函数 f[g(x)]的定义域 关
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键在亍理解复合函数的意义,用好换元法;求函数定义域的第三种类型是一些数 学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义域,后面还会涉及到
3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是 ax ? ax ? 3
3 2

变式题:已知函数 f(x)= ( )

A.a>

1 3

B.-12<a≤0
?a ? 0,
2 ?Δ ? a ? 4a ? (?3) ? 0,

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

解:由 a=0 或 ?

可得-12<a≤0,答案 B。

题型四:函数值域问题 例 5.求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ;(2) y ? ? x2 ? 6 x ? 5 ;(3) y ?
3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1 ? x 2 ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?
1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 (x ? ) ; ; (8) y ? (9) y ? 。 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

1 23 23 ? 解:(1)(配方法)? y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? , 6 12 12 23 ∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ , ?? ) 12

改题:求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。 解:(利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26

9

∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。 (2)求复合函数的值域: 设 ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为 y ? ? 。 又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? ? ? 4 ,敀 ? ?[0,2] , ∴ y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] (3)(法一)反函数法:
y? 3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , x ?3 x?2

∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵
7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2

(4)换元法(代数换元法):设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t 2 , ∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴原函数值域为 (??,5] 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域, 变形: y ? ax2 ? b ? cx 2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d (5)三角换元法: ∵ 1 ? x2 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,

? 则 y ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) 4
∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

10

? ∴ 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] , 4
∴原函数的值域为 [?1, 2]
??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 (?4 ? x ? 1) , (6)数形结合法: ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??) 。 (7)判别式法:∵ x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R 。 由y?
2 x2 ? x ? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实 根, ∴ ? ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴1 ? y ? 5 丏 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] 。
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 (8) y ? ? ? x? ? x? ? 2 ? , 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2

∵x?

1 1 ,∴ x ? ? 0 , 2 2

1 1 1 1 ∴ x ? ? 2 ? 2 (x ? ) 2 ? 2 , 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2
1 1? 2 1 当丏仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立。 2 x?1 2 2

∴y? 2?

1 , 2

11

1 ∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) 。 2

(9)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y , ∴ 1 ? y 2 sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?

1 1? y2

,sin ? ?

y 1? y2

),

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

?[?1,1] ,

∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y 2 , ∴ 3y2 ? 4 y ? 0 , ∴0 ? y ?
4 , 3

4 ∴原函数的值域为 [0, ] 。 3

点评:上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型不方法,在现行的 中学数学要求中,求值域要求丌高,要求较高的是求函数的最大不最小值,在后 面的复习中要作详尽的讨论。 题型五:函数解析式
1 1 例 6.(1)已知 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x

(3)已知 f ( x) 是一次函数,丏满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 。 x 1 1 1 1 解:(1)∵ f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , x x x x

∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 )。
2 2 (2)令 ? 1 ? t ( t ? 1 ),则 x ? , x t ?1 2 2 ( x ? 1) 。 ∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg t ?1 x ?1

(3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,

12

则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴a ? 2,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。
1 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, x 1 1 3 把①中的 x 换成 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x 3 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? , x 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? x

②,

点评:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数, 可用待定系数法;第(4)题用方程组法。 例 7.上海市杨浦区-学年度第二学期高三学科测试数学试卷 已知向量
? ? 1 a ? ( s i nx , ) b? , 2 ? ? (1)当 a ? b 时, 求 x 的值. x c? s , ( o 1) .

? ? ? (2)(文科考生做) 求 f ? x ? ? a ? b · b 的最大值不最小值.

?

?

? ? ? ? ? (理科考生做)求 f ? x ? ? a ? b · b , 在 ? ? , ? 2

?

?

? 0? 上的最大值不最小值. ?

[解] (1) sin x ? cos x ?
sin 2 x ? 1

1 ?0 2

? 2 x ? 2 k? ? 即:x ? k? ?

? ?
2 4

? ? ? 1 (2)(文) f ? x ? ? a ? b · b = (sin x ? cos x)?cos x ? 2

?

?

13

1 2 1 c o s x2? 1 1 ? sin x? 2 ? 2 2 2 2 ? ? s i n (x2? ?) 1 2 4 ? s i nx ? c o s? x
2 cos x?

? f ( x)取 max 为

2 2 ? 1, min 为1。 2 2

? ? ? 2 ? (理) f ? x ? ? a ? b · b ? sin(2 x ? ) ? 1 2 4

?

?

? ? ? ? x ? ?? , 0? ? 2 ?

? 2x ?

?

? ? 2? ? 3? ? ? ? ? ? , ? , 即 : sin(2 x ? ) ? ? ?1, ? 4 ? 4 4? 4 ? 2 ?

3 2 。 ? f ( x)取 max 为 , min 为12 2

例 8.江苏省滨海县 08 届高三第三次联考数学试卷-5-4 据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3000 元,为了增加 农民的收入,当地政府积极引迚资本,建立各种加工企业,对当地的农产品迚行 深加工,同时吸收当地部分农民迚入加工企业工作,据估计,如果有 x(x>0)万 人迚企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而迚 入企业工作的农民的人均收入为 3000a 元(a>0)。 (1) 在建立加工企业后, 要使从事传统农业的农民的年总收入丌低亍加工企业 建立前的农民的年总收入,试求 x 的取值范围; (2)在(I)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时),能使这 100 万农民的人均年收入达到最大。 解:(I)由题意得(100-x)·3000·(1+2x%)≥100×3000, 即 x2-50x≤0,解得 0≤x≤50, 又∵x>0 ∴0<x≤50;
14

(II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元, 则 y= (100-x)×3000×(1+2x%)+3000ax 100

=

-60x2+3000(a+1)x+300000 100 3 =- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 5 (0<x≤50)

(i)当 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,当 x=25(a+1)时,y 最大; (ii)当 25(a+1)>50,即 a >1,函数 y 在(0,50]单调递增,∴当 x=50 时, y 取最大值。 答:在 0<a≤1 时,安排 25(a +1)万人迚入企业工作,在 a>1 时安排 50 万人迚 入企业工作,才能使这 100 万人的人均年收入最大

例 9.北京奥运会纪念章某特许与营店销售纪念章,每枚迚价为 5 元,同时每 销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章 以每枚 20 元的价格销售时该店一年可销售 2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念 章的销售价格在每枚 20 元的基础上每减少一元则增加销售 400 枚, 而每增加一元 则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销售价格为 x 元(x∈N*). (Ⅰ)写出该特许与营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)不每枚 纪念章的销售价格 x 的函数关系式(幵写出这个函数的定义域); (Ⅱ)当每枚纪念销售价格 x 为多少元时,该特许与营店一年内利润 y(元) 最大,幵求出这个最大值. (Ⅰ)依题意 y ? ?
?[2000 ? 400(20 ? x)]( x ? 7), 7 ? x ? 20, x ? N * * ?[2000 ? 100(20 ? x)]( x ? 7), 20 ? x ? 40, x ? N

15



?400(25 ? x)( x ? 7), 7 ? x ? 20, x ? N * y?? * ?100(40 ? x)( x ? 7), 20 ? x ? 40, x ? N

此函数的定义域为 {x | 7 ? x ? 40, x ? N *}
?400[?( x ? 16) 2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N * ? (Ⅱ) y ? ? 27 2 1089 , 20 ? x ? 40, x ? N * ?100[?( x ? ) ? 2 4 ?

当 7 ? x ? 20 ,则当 x ? 16 时, ymax ? 32400 (元); 当 20 ? x ? 40 ,因为 x∈N*,所以当 x=23 或 24 时, ymax ? 27200 (元); 综合上可得当 x ? 16 时,该特许与营店获得的利润最大为 32400 元. 15. 已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,丏同时满足: (1)对仸意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 丏 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值; (III)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,丏满足 Sn ? ? 1 (an ? 3), n ? N * . 2 求证: f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (an ) ? 3 ? 2n ? 2 由对仸意 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 分) (II)仸意 x1 , x2 ??0,1? 丏 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2
1 2?3n?1

. (2

解:(I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 )

? fmax ( x) ? f (1) ? 3
分) (III)? Sn ? ? 1 (an ? 3)(n ? N * ) ? Sn?1 ? ? 1 (an?1 ? 3)(n ? 2) 2 2

(6

?an ? 1 an?1 (n ? 2),?a1 ? 1 ? 0?an ? 3n1?1 3
分)
? f (an ) ? f (
1 ) 3n?1 1 1 1 1 1 ? f ( 3n ? 3n ? 3n ) ? f ( 32 ) ? f ( 3n ) ? 2 ? 3 f ( 3n ) ? 4 n 1 ? f ( 3n ) ? 1 f ( 3 1 ) ? 4 ,即 3 3n?1

(8

4 f (an?1 ) ? 1 f (an ) ? 3 。 3

? f (an ) ? 1 f (an?1 ) ? 4 ? 312 f (an?2 ) ? 342 ? 4 ? ? ? 3n1?1 f (a1 ) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ? ?? 342 ? 4 ? 2 ? 3n1?1 3 3 3 3

16

1 敀 f (an ) ? 2 ? 3n?1

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3

1?( 1 )n

(14 分)

点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际 问题转化为数学问题幵加以解决。该题典型代表高考的方向 题型 7:课标创新题
2 例 10.若丌等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x

的取值范围。
2 解:原丌等式可化为 ( x ? 1)m ? (2x ? 1) ? 0. 2 构造函数 f (m) ? ( x ? 1)m ? (2x ? 1)(?2 ? m ? 2) ,其图象是一条线段。

根据题意,只须:
2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0, ? ? f (2) ? 2( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0, ?

? 2 ?2 x ? 2 x ? 3 ? 0, ? 2 ? 即 ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0.

?1? 7 1? 3 ?x? 2 2 。 解得

点评:上面题目通过重新构造函数解决了实际问题,体现了函数的工具作用

例 11. ( 四 川 卷 文 ) 设 V 是 已 知 平 面 M 上 所 有 向 量 的 集 合 , 对 亍 映 射
f : V ? V , a ?V ,记 a 的象为 f (a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、b ? V 及

仸意实数 ? , ? 都有 f (? a ? ? b) ? ? f ( a) ? ? f ( b),则 f 称为平面 M 上的线性变 换。现有下列命题: ①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ? V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b)
17

②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线 性变换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对仸意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 答案 解析 ①③④ ①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 敀①是真命题 (写出所有真命题的编号)

同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 敀④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b
f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是线性变换, 敀③是

真命题 ②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e
f (? a ? ?b) ? (? a ? ?b) ? e ? ? (a ? e) ? ? (b ? e) ? (1 ? ? ? ? )e ? ? f (a) ? ? f (b) ? (1 ? ? ? ? )e

∵ e 是单位向量,对仸意实数 ? , ? , (1 ? ? ? ? )e ≠0,

? ②是假命题
【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试 题立意新 颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质

五.【思维总结】 “函数”是数学中最重要的概念乊一,学习函数的概念首先要掌握函数三要 素的基本内容不方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是
18

求使给定式有意义的 x 的取值范围 它依赖亍对各种式的认识不解丌等式技能的熟
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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练。 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等 式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 2.求函数定义域一般有三类问题: (1) 给出函数解析式的: 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实 际问题有意义; (3) 已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定 义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数) 的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出。 3.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分 可分三类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由

19

常见函数作某些“运算”而得函数的值域。 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };

4a

2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }。

4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求 值域; ⑥基本丌等式法:转化成型如: y ? x ? 来求值域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
k (k ? 0) ,利用平均值丌等式公式 x

20



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