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理科高考函数复习



理科数学专题复习——函数
【考点一】求函数定义域 求函数的定义域时,列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1; (5) 指数为零,底不可以等于零; (6) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域是使各部分都有意义的 x

的值组成的集合; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. [例 1]设 f ? x ? ? lg

2? x x? ?2? ,则 f ? ? ? ? f ? ? 的定义域为( 2? x ?2? ? x?



A. ?? 4,0? ? ?0,4? ;B. ?? 4,?1? ? ?1,4? ;C. ?? 2,?1? ? ?1,2?;D. ?? 4,?2? ? ?2,4?
[练习 1] 1、函数 y ?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
B. (2, ??) C. (2,3)





A. ( ??, 2)

(3, ??)

D. (2, 4)

(4, ??)
( )

2、设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为 A.(-∞,1) 3、函数 f ( x ) ? B.(1, + ∞) C. (??,1] D. [1, ??)

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
B. [?1, ??)
x

( C. (?1,1)



A. (?1, ??)

(1, ??) D. [?1,1) (1, ??)
( )

4、函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?

1 的定义域为 x?3
C. (??, ?3)

A.(-3,0]

B.(-3,1]

(?3, 0]

D. (??, ?3)

(?3,1]

5、函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. 【考点二】求函数的值域 1.函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域; (2)求由常见函数复合而成的函数的值域; (3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 2.函数值域的常用方法: (1)观察法:通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 (2)配方法: (二次或四次) 转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;

1 x

常转化为含有自变量的平方式与常数的和,型如: f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式,然后根 据变量的取值范围确定函数的最值。 (3)换元法: 代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的;三角代换法可将代数函数的最值问题转 化为三角函数的最值问题,化归思想。 (4)分离常数法: 对某些分式函数,可通过分离常数法,化成部分分式来求值域。 (5)判别式法: 若函数 y=f(x)可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a(y)x + b(y)x+c(y)=0,则在 a (y)≠0 时,由于 x、y 为实数,故必须有Δ =b (y)-4a(y) ·c(y)≥0,从而确定函数的最值,检 验这个最值在定义域内有相应的 x 值。 (6)最值法: 对于闭区间[a,b]上的连续函数 y=f(x),可求出 y=f(x)在区间[a,b]内的极值, 并与边界值 f(a), f(b) 作比较,求出函数的最值,可得到函数 y 的值域。 (7)反求法 通过反解,用 y 来表示 x,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;常用来解形如 (8)基本不等式法 (9)单调性法 (10)数形结合 根据函数图像或函数的几何图形,利用数形结合的方法来求值域。 (11)导数法 [例 2]已知函数 y ? x 2 ? 4ax ? 2a ? 6(a ? R) ,若 y ? 0 恒成立,求 f (a) ? 2 ? a a ? 3 的值域。
2 2

[练习 2]函数 f(x)= ?

log x, x ? 1 ? ? 1 2 ?2 , ?
x

的值域为_________.

x ?1

【考点三】函数的单调性、奇偶性 (一) 、单调性 1. 函数单调区间与单调性的判定方法: (1)定义法: (2)图象法(从图象上看升降); (3)导数法。 2.函数单调性的常用结论: (1)若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数; (2)若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数;

(3) 若 f ( x ) 与 g ( x) 的 单调性 相同,则 y ? f [ g ( x)] 是 增函数; 若 f ( x ) 与 g ( x) 的单调性 不同, 则 “同增异减” y ? f [ g ( x)] 是减函数;其规律: (4)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反; (5)常用函数的单调性解答:比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象; (6)函数的单调区间只能是定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。 (二) 、奇偶性 1. 具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 2. 判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论 ○ 3. 函数奇偶性的常用结论: (1)如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数, 则 f ( x) ? 0 (反之不成立) (2)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 (3)一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 (4)两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是 偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 (5)若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称,则 f ( x ) 可以表示为

1 1 f ( x) ? [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] , 2 2
该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 (6)若函数 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . (7)多项式函数的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. [例 3]已知奇函数 f ( x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数, 若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 , 求实数 m 的取值范围。

[练习 3] 1、下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
-x

) )

B.y=x3

C.y=ln x D.y=|x|

2、下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( 1 - A.f(x)= 2 B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2 x x 3、下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 A. y ?

( D. y ? lg | x |



1 x

B. y ? e ? x

C y ? ? x2 ? 1


4 、 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0, ??) 单 调 递 增 . 若 实 数 a 满 足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2

( D. (0, 2]



A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

5、设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 )

)

6、奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( A.-2 B.-1 C.0 D.1

7、已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A.2 (一)对称性 函数关于原点对称即奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 函数关于 y 对称即偶函数: f (? x) ? f ( x) B.1 C.0

1 ,则 f (?1) ? ( x
D.-2



【考点四】函数的周期性

函数关于直线 x ? a 对称: f ( x ? a) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) 或 者

f ( x ? 2a) ? f (? x)
(a,b) 函数关于点 对称: f(x+a)+f(a-x)=2b
二、周期性 1.函数周期性的性质: (1)对于非零常数 A,若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? A) ? ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 必有一个周期为 2A。 (2)对于非零常数 A,函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? A) ? (3)对于非零常数 A,函数 y ? f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2.对称性和周期性之间的联系: (1)函数 y ? f ( x) 有两根对称轴 x=a,x=b 时,那么该函数必是周期函数,且对称轴之间距离的两倍必 是函数的一个周期。 (2)函数 y ? f ( x) 满足 f ( a ? x) ? f ( a ? x) ? c 和 f (b ? x) ? f (b ? x) ? c (a≠b)时,函数 y ? f ( x) 是周

1 ,则函数 y ? f ( x) 的一个周期为 2A。 f ( x)

1 ,则函数 y ? f ( x) 的一个周期为 2A。 f ( x)

期函数。 (函数 y ? f ( x) 图象有两个对称中心(a, 离的两倍,是函数的一个周期。 ) (3)函数 y ? f ( x) 有一个对称中心(a,c)和一个对称轴 x ? b ) (a≠b)时,该函数也是周期函数,且 一个周期是 4(b ? a) [ 例 4] 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ? 1 对于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 ,则

c c ) 、 (b, )时,函数 y ? f ( x) 是周期函数,且对称中心距 2 2

f (119)?
[练习 4]

________

1、x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数





2、设 f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ??1,3?时,f ? x ? = ____________. 3、已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 (A) a ? b ? c 【考点五】反函数 1. 求反函数的基本步骤: (1)求值域:求原函数的值域 (2)反解:视 y 为常量,从 y ? f ? x ? 中解出唯一表达式 x ? f (3)对换:将 x 与 y 互换,得 y ? f
?1 ?1

6 5

3 2

5 2

(B) b ? a ? c

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

? y? ,

? x? ,并注明定义域。 ?1 2. 反函数 y ? f ? x ? 与原函数 y ? f ? x ? 的关系: ?1 (1) y ? f ? x ? 的定义域、值域分别为 y ? f ? x ? 的值域、定义域。 ?1 (2)若 y ? f ? x ? 存在反函数,且 y ? f ? x ? 为奇函数,则 y ? f ? x ? 也为奇函数。 ?1 (3)若 y ? f ? x ? 为单调函数,则 y ? f ? x ? 同 y ? f ? x ? 有相同的单调性。 ?1 (4) y ? f ? x ? 和 y ? f ? x ? 在同一直角坐标系中,图像关于 y ? x 对称。
3. 存在反函数的条件是:函数为单调函数(或一一对应) [例 5]函数 y ? e
x ?1

( x ? R) 的反函数是(

) B. y ? 1 ? ln x( x ? 0) D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0)

A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) [练习 5] 1、函数 f ? x ? ? log 2 ?1 ? A.

? ?

1? -1 ? ? x ? 0 ?的反函数f ? x ? = x?
1 ? x ? 0? 2 ?1
x



) D. 2 ?1? x ? 0?
x

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

B.

C. 2 ?1? x ? R?
x

2、函数 f ? x ? ? x2 ?1? x ? 1? 的反函数为 f ?1 ? x ? ,则 f ?1 ? 2 ? 的值是( ) A. 3 B. ? 3 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2

【考点六】函数求值、求解析式 求解析式的方法: 1. 待定系数法: 已知函数图象,确定函数解析式,或已知函数的类型且函数满足的方程时,常用待定系数法。 2. 函数性质法: 如果题目中给出函数的某些性质(如奇偶性、周期性) ,则可利用这些性质求出解析式。 3. 图象变换法: 若给出函数图象的变化过程,要求确定图象所对应的函数解析式,则可用图象变换法。 4. 换元法: 5. 配凑法: 6. 赋值(式)法: [例 6]已知 f ( [练习 6] 1、二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 ,求 f ( x) 的解析式; 2、已知函数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? A. ? 5 3、已知函数 f ? x ? ? ln A. ? 1 B. ? 1 C. 3 D. 4 ( ) ( )

1? x 1? x2 )= ,则 f ( x) 的解析式为 1? x 1? x2

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?
B. 0 C. 1 D. 2 )

?

4、已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A. 4 B.3 C.2 D.1

5 、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) . 若当 0 ? x ? 1 时 . f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________. 6、已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________.

?2 x 3 , x ? 0 ? ? 7、已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( )) ? ________ 4 ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
8、 lg 5 ? lg 20 的值是___________. 9、方程

9 ? 1 ? 3x 的实数解为_______. 3 ?1
x

【考点七】函数图像 确定函数图像的方法: (1)描点法: (2)图象变换法: 常用变换方法有三种: 平移变换、伸缩变换、对称变换 [例 7]在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是( )

A

B

C [练习 7]

D

1、 已知函数 y=loga(x+c)(a, c 为常数, 其中 a>0, a≠1)的图像如图 13 所示, 则下列结论成立的是(

)

图 13 A.a>1,x>1 C.0<a<1,c>1
2

B.a>1,0<c<1 D.0<a<1,0<c<1 )

2、函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是 (

A. 【考点八】抽象函数 1. 定义:

B.

C.

D.

所谓抽象函数问题,是指没有具体地给出函数的解析式,只给出它的一些特征或性质。解决这类问 题常涉及到函数的概念和函数的各种性质,因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。 2. 几类常见的抽象函数:

序号 1

抽象函数满足条件

代表函数 正比例函数 f ( x) ? kx ( k ? 0 ) 指数函数 f ( x) ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) 对数函数 f ( x) ? loga x ( a ? 0, a ? 1 )

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
3 或 f(

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x2
x y f (x) f ( y)

4

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或 f ( ) ?
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (
f ( x ? y) ?

幂函数 f ( x) ? xa 余弦函数 f ( x) ? cos x

5

x1 ? x2 x ?x )? f ( 1 2 ) 2 2

6

f ( x ) ? f ( y) 1 ? f ( x )f ( y )

正切函数 f(x)=tanx

7

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 2 ) 1 ? x1 x2
f ( x) ? ? 1 f ( x)

f ( x) ? log a

1? x 1? x
1 x

8 3. 定义域:

f ( x) ? loga x 或 f ( x) ? x ?

解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。 函数的定义域是指自变量的取值范围,求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同(即同 一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围) 4. 值域: 解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。 5. 单调性: 解决抽象函数的单调性问题——紧密结合定义、适当加以配凑。 6. 奇偶性: 解决抽象函数的奇偶性问题——紧扣定义、合理赋值。 7. 周期性: 解决抽象函数的周期性问题——充分理解与运用相关的抽象式是关键。 8. 对称性: 解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

x1 [例 8] 已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2 (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.

[练习 8] 1.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x) =2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b∈B,它至多有一个原象; ④函数 f(x)在某区间上具有单调性,则 f(x)一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 2.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(2-x)=f(x),且在[-3,-2]上是减函数,α,β 是钝角三角形的两个锐 角,则下列不等式中正确的是( ) A.f(sin α)>f(cos β) B.f(sin α)<f(cos β) C.f(cos α)<f(cos β) D.f(cos α)>f(cos β) 【考点九】综合应用 [例 9]已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数.


(1)证明:f(x)是 R 上的偶函数. (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e
-x

+m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围.



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