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11.2 用样本估计总体练习题



§11.2 用样本估计总体
一、选择题 1.对某校 ??? 名学生的体重(单位: k g )进行统计,得到如图所示的频率分布 直方图, 则学生体重在 ?? k g 以上的人数为( ) A. ??? C. ?? B.??? D. ??

解析 60 k g 以频率为 0.040 ? 5 ? 0.010 ? 5 ? 0.25 ,故人 数为 400 ? 0

.25 ? 100 (人) . 答案 B 2.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3. 若该样本的平均值为 1,则样本方差为( A. 6 5 B. 6 5 ). C. 2 D.2

解析 由题可知样本的平均值为 1,所以

a+0+1+2+3 =1,解得 a=-1,所以 5

1 样本的方差为 [(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2. 5 答案 D 3.为了了解某地区 10 000 名高三男生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年 龄为 17~18 岁的高三男生体重(kg),得到频率分布直方图如图.根据图示,请 你估计该地区高三男生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( )

A.40 C.4 000

B.400 D.4 400

解 析 依 题 意 得 , 该 地 区 高 三 男 生 中 体 重 在 [56.5,64.5] 的 学 生 人 数 是 10 000×(0.03+2×0.05+0.07)×2=4 000. 答案 C

4.如图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位:cm)画出的茎叶图,其中左边的 数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字, 右边的数字表示学生身 高的个位数字,从图中可以得到这 10 位同学身高的中位数是 ( ).

A.161 cm C.163 cm

B.162 cm D.164 cm 161+163 =162(cm). 2

解析 由给定的茎叶图可知,这 10 位同学身高的中位数为 答案 B

5. 从甲、 乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度, 其茎叶图如图. 根据茎叶图, 下列描述正确的是( )

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得 整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得 整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得 整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得 整齐 解析 根据茎叶图计算得甲种树苗的平均高度为 27,而乙种树苗的平均高度为 30,但乙种树苗的高度分布不如甲种树苗的高度分布集中. 答案 D

6.对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查,所得样本的频率分布直方图如图 所示,由图可知,这一批电子元件中使用寿命在 100~300 h 的电子元件的数量 与使用寿命在 300~600 h 的电子元件的数量的比是( ).

1 A. 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

解析 寿命在 100~300 h 的电子元件的频率为 3 ? 4 1 ? 1 + ? ?×100= = ; 20 5 ?2 000 2 000? 寿命在 300~600 h 的电子元件的频率为 1 3 ? 4 ? 1 + + ? ?×100= . 5 ?400 250 2 000? 1 4 1 ∴它们的电子元件数量之比为 ∶ = . 5 5 4 答案 C 7.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( A.57.2,3.6 B.57.2,56.4 C.62.8,63.6 ).

D.62.8,3.6

解析 平均数增加,方差不变. 答案 D 二、填空题 8.甲、乙两名同学学业水平考试的 9 科成绩如茎叶图所示,请你根据茎叶图判 断谁的平均分高________.(填“甲”或“乙”)

1 解析 由茎叶图可以看出, x 甲= (92+81+89×2+72+73+78×2+68)=80, 9

x 乙= (91+83+86+88+89+72+75+78+69)≈81.2, x 乙> x 甲,故乙的平
均数大于甲的平均数. 答案 乙 9. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员
0 8 9

1 9

在这五场比赛中得分的方差为_________. 1 0 3 5
1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ? ,其中 x 为 x1,x2,?,xn ? n?

(注:方差 s 2 ? 的平均数)

答案 6.8 10. 世界卫生组织(WHO)证实, 英国葛兰素史克(GSK)药厂生产的甲型流感疫苗在 加拿大种植后造成多人出现过敏症状的情况, 下面是加拿大五个地区有过敏症状 人数(单位:个)的茎叶统计图,则该组数据的标准差为________. 8 9 9 0 7 1

3

解析 由茎叶图,得该组数据的平均数为 x =90,则该组数据的标准差为

s=

1 [?89-90?2+?87-90?2+?90-90?2+?91-90?2+?93-90?2=2. 5

答案 2 11.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名, 并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图(如

图).根据频率分布直方图推测,这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________.

解析

根据样本的频率分布直方图,成绩小于 60 分的学生的频率为(0.002+

0.006+0.012)×10=0.20,所以可推测 3 000 名学生中成绩小于 60 分的人数为 600 名. 答案 600 12.某校开展“爱我青岛,爱我家乡”摄影比赛,9 位评委为参赛作品 A 给出的 分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计算 无误,则数字 x 应该是________.

解析

当 x≥4 时 ,

89+89+92+93+92+91+94 640 = ≠91 , ∴x < 4 , 则 7 7

89+89+92+93+92+91+x+90 =91,∴x=1. 7 答案 1 三、解答题 13.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质 量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值, 得到下面试验结果:

A 配方的频数分布表
指标值 分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表
指标值 分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系

?-2,t<94, 式为 y=?2,94≤t<102, ?4,t≥102.
估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率,并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润. 解析 (1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)由条件知,用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 当且仅当其质量指标值 t≥94,由试验结果知,质量指标值 t≥94 的频率为 0.96.所以用 B 配方生产的 一件产品的利润大于 0 的概率估计值为 0.96. 用 B 配方生产的产品平均一件的利润为 1 ×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68(元). 100 14. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为 整数)分成六组[90,100),[100,110),?,[140,150)后得到如下部分频率分布 直方图.观察图形的信息,回答下列问题: 32+10 =0.42,所以用 B 100 22+8 =0.3, 100

(1)求分数在[120,130)内的频率; (2)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为 100+110 =105.)作为这组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分; 2 (3)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的 概率. 解析 (1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. (2)估计平均分为

x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=
121. (3)由题意,[110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人).[120,130)分数段的 人数为 60×0.3=18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a,b,c,d;设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A,则基本事件共有(m,n), (m,a),?,(m,d),(n,a),?,(n,d),(a,b),?,(c,d)共 15 种. 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a), (n,b),(n,c),(n,d)共 9 种. ∴P(A)= 9 3 = . 15 5

15.某制造商 3 月生产了一批乒乓球,随机抽取 100 个进行检查,测得每个球的 直径(单位:mm),将数据进行分组,得到如下频率分布表:

分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计

频数 10 20 50 20 100

频率

(1)补充完成频率分布表(结果保留两位小数), 并在上图中画出频率分布直方图; (2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为 40.00 mm,试求这批乒乓 球的直径误差不超过 0.03 mm 的概率; (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的 中点值是 40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小 数). 解析 (1)频率分布表如下: 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频率颁布直方图如图: 频数 10 20 50 20 100 频率 0.10 0.20 0.50 0.20 1

(2)误差不超过 0.03 mm,即直径落在[39.97,40.03]内, 其概率为 0.2+0.5+0.2=0.9. (3) 整 体 数 据 的 平 均 值 为 39.96×0.10 + 39.98×0.20 + 40.00×0.50 + 40.02×0.20=40.00(mm). 16.某市 2010 年 4 月 1 日~4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下(主要污 染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82, 64,79,86,85,75,71,49,45. 样本频率分布表: 分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为优;在 51~100 之间 时,为良;在 101~150 之间时,为轻微污染;在 151~200 之间时,为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 解析 (1)频率分布表: 2 2 30 频数 2 1 4 6 10 频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30

分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (2)频率分布直方图:

频数 2 1 4 6 10 5 2

频率 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30

(3)答对下述两条中的一条即可: ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平, 占当月天数的 于良的水平,占当月天数的 1 .有 26 天处 15

13 14 .处于优或良的天数共有 28 天,占当有月数的 . 15 15

说明该市空气质量基本良好. ②轻微污染有 2 天, 占当月天数的 1 .污染指数在 80 以上接近轻微污染的天数有 15 17 ,超过 50%.说明 30

15 天,加上处于轻微污染的天数,共有 17 天,占当月天数的 该市空气质量有待进一步改善.



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