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双曲线定义(带动画)



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画双曲线
演示实验:用拉链画双曲线

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演示实验:用拉链画双曲线


①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B),
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

根据实验及椭圆定义,你能给双曲线下定义吗?

一、 双曲线定义(类比椭圆)
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y

| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明:
F o F

M

0<2a<2c



1

2

x

思考: (1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线

3.双曲线的标准方程
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴, 如何求这优美的曲线的方程? 线段F1F 2的中点为原点建立直角坐 标系 2.设点. 设M(x , y),双曲线的焦 距为2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式. |MF1|
F1

y
M

o

F2

x

- |MF2|= ? 2a _ 2a (x-c)2 + y2 = +



(x+c)2 + y2 -

4.化简.

(x ? c)2 ? y2 ? (x ? c)2 ? y2 ? ?2a
( (x ? c)2 ? y2 )2 ? ( (x ? c)2 ? y2 ? 2a)2

y
M F1

o

cx ? a2 ? ?a (x ? c)2 ? y2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

令c2-a2=b2

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

双曲线的标准方程
y
M

y
M F2 x

F

O
1

F

2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

思考:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上还是Y轴上?
x2 y2 y2 x2 ? ? 1与 判断: ? ? 1 的焦点位置? 16 9 9 16

结论: 看

x , y 前的系数,哪一个为正,则

2

2

焦点在哪一个轴上。

双曲线的标准方程与椭圆的 标准方程有何区别与联系?

双曲线与椭圆之间的区别与联系

定 义



双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

方 程

焦 点

F(±c,0)

F(±c,0)

F(0,±c)
a.b.c的关 系

F(0,±c)
a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2

a>b>0,a2=b2+c2

课堂巩固
已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差 的绝对值等于6,则 (1) a=_______ , b =_______ 3 , c =_______ 5

4

(2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点P, |PF1|=10, 4或16 则|PF2|=_________

讨论:
当 曲线,圆 。

m、n

取何值时,方程

mx2 ? ny 2 ? 1

表示椭圆,双

解:由各种方程的标准方程知, 当 m ? 0, n ? 0, m 当m

? n 时方程表示的曲线是椭圆

? n ? 0 时方程表示的曲线是圆

当 m ? n ? 0 时方程表示的曲线是双曲线

随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程 ①a=4,b=3,焦点在 x轴上; 2 y x2 16 9 ②焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5) y2 x2 20 16

?

?1

?

?1
?

2.已知方程

x 2? m

2

y2 m?1

?1

表示焦点在y轴的

m<-2 双曲线,则实数m的取值范围是______________ 变式: 上述方程表示双曲线,则m的取值范围是 __________________ m<-2或m>-1

三、例题选讲 例1 已知两定点 F1 ?? 5, 0?, F2 ?5, 0? ,动点 P 满足 P ,求动点 PF1 ?的轨迹方程 PF2 ? 6
解:∵ F1F2 ? 10 >6,
PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

设法一:

设法二:
设法三:
变式 已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为

( ? 2 ,? 3),( 标准方程。

15 3

, 2),求双曲线的

小结 ----双曲线定义及标准方程
定义

| |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象

F1

o

F2

x
F1

x

方程 焦点
a.b.c 的关


x y ? 2 ?1 2 a b
F ( ±c, 0)

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
F(0, ± c)
2 2

c ?a ?b
2



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