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重庆市第一中学2016届高三12月月考(理)数学试题 Word版含答案



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重庆一中高 2016 级 2015-2016 学年度高三上期第四次月考 数学试题卷(理科)2015.12 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ? x | A. ?2,3? B. ?3?

>
? ?

3 ? ? 1? , N ? ?n |1 ? 2n ? 13且n ? Z ? ,则 N 2 x ?
C. ? 0, 3

M ?(



?

?

D. ? 2, ?? ? )

2.已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ,且 P( X ? 2c ? 1) ? P( X ? c ? 5) ,则 c ? ( A. ?

4 3

B.-1 C.0 D.4

3.已知复数 z ? x ? yi ( x、y ? R) ,且有 A.5 B. 5 C.3 D. 3

x ? 1 ? yi ,则 z ? ( 1? i



4.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为 n 且支出在 ? 20, 60 ? 元的 样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在 ?50, 60 ? 元的学生有 30 人, 则 n 的值为 ( )

A.100 B.1000 C.90 D.900

5.已知椭圆 ( )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有公共焦点,则双曲线的渐近线方程是 ? ? 1 和双曲线 2m 2 3n 2 3m 2 5n 2

A. x ? ?

15 y 2

B. y ? ?

15 x 2

C. x ? ?

3 y 4

D. y ? ? )

3 x 4

6.在区间 (0,1) 内任取两个数 x, y ,则满足 y ? 2 x 概率是(

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3 A. 4

1 B. 4

1 C. 2

2 D. 3


7.右图是某实心机械零件的三视图,则该机械零件的体积为(

A. 36 ? 2?

B. 36 ? 5?

C. 36 ? 8?

D. 36 ? 20?

8. 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有这样一道题: 把 120 个面包分成 5 份,使每份的面包数成等差数列,且较多的三份之和恰好是较少的两份 之和的 7 倍,则最少的那份有( A.4 B.3 C.2 D.1 )个面包.

10.执行右图所示框图,若输入 n ? 6, m ? 4 ,则输出的 p 等于(



A.120 B.240 C.360 D.720 11.已知函数 f ( x) ? 3 sin(? ? x) cos(? x) ? sin(? ? x) cos(

?
2

? x) 图像上的一个最低点为 A,

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离 A 最近的两个最高点分别为 B 与 C,则 AB AC ? ( A. 9 ?



?2
9

B. 9 ?

?2
9

C. 4 ?

?2
4

D. 4 ?

?2
4

12.(原创)已知函数 f ( x) ?

x 4 ? kx 2 ? 1 (k ? R) ,若对任意三个实数 a 、 b 、 c ,均存在一 x4 ? x2 ? 1


个以 f (a) 、 f (b) 、 f (c) 为三边之长的三角形,则 k 的取值范围是( A. ?2 ? k ? 4 B. ?

1 ?k?4 2

C. ?2 ? k ? 1

D. ?

1 ? k ?1 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知曲线 f ( x) ? x ? a ln( x ? 1) 在原点处的切线方程为 y ? ? x ,则 a ? ________.
2
r 14.(原创)已知 (1 ? ) (1 ? x) 的展开式中 x (r ? Z 且 ? 1 ? r ? 5) 的系数为 0,则
5

1 x

r ? ________.
15.(原创)设 ?ABC 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c .若 ?ABC 的面积为 2, AB 边上的 中线长为 2 ,且 b ? a cos C ? c sin A ,则 ?ABC 中最长边的长为________. 16.如右图所示,一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是:

x 2 ? 2 y, y ? ?0,10? .在杯内放一个清洁球,要使清洁球能擦净酒杯的底部,则清洁球的最大
半径为________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位 老人,结果如下面表中所示:

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是否需要帮助 需要 不需要 合计

性别

男 50 200 250

女 25 225 250

合计 75 425 500

(1)请根据上表的数据,估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否在出错的概率不超过 1%的前提下,认为该地老年人是否需要帮助与性别有关?并说 明理由; (3)根据(2)的结论,你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者 提供帮助的老年人的比例?并说明理由.
2 附:独立性检验卡方统计量 K ?

n(ad ? bc ) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

容量,独立性检验临界值表为:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

18.(原创) (本题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 1 ? 3(an ? 1), n ? Z ? . (1)求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 满足 an ?1 ? ( ) 围. 19.(本题满分 12 分) 我国政府对 PM2.5 采用如下标准: PM2.5 日均值 m(微克/立方米) 空气质量等级 一级 二级 超标 树 茎 2 3 4 6 7 8 2 8 2 1 4 5 3 8 7 树叶

3 2

an bn

,若 bn ? t 对于任意正整数 n 都成立,求实数 t 的取值范

m ? 35
35 ? m ? 75 m ? 75

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某市环保局从一年 365 天的市区 PM2.5 监测数据中,随机抽取 10 天的数据作为样本,监测值 如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) . (1)求这 10 天数据的中位数; (2)从这 10 天数据中任取 4 天的数据,记 ? 为空气质量达到 一级的天数,求 ? 的分布列和期望; (3)以这 10 天的数据来估计这一年 365 天的空气质量情 况,并假定每天之间的空气质量相互不影响.记? 为这一年中空气质量达到一级的天数,求? 的平均值.

20.(本小题满分 12 分) 已知直线 y ? x ? 1 被圆 x ? y ?
2 2

x2 y2 3 截得的弦长恰与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的短轴 a b 2

长相等,椭圆 C 的离心率 e ? (1)求椭圆 C 的方程;

2 . 2

(2)已知过点 M (0, ? ) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一 个定点 T ,使得无论 l 如何转动,以 AB 为直径的圆恒过定点 T ?若存在,求出点 T 的坐标, 若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知存在实数 a, b, c 和 ? , ? , ? 使得 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ? ( x ? ? )( x ? ? )( x ? ? ) ,
3 2

1 3

(1)若 a ? b ? c ? ?1 ,求 ? ? ? ? ? 的值;
2 2 2

(2)当 ? ? ? ?

1 1 且? ? (? ? ? ) 时,若存在实数 m, n 使得 f (m ? x) ? f (m ? x) ? 2n 对任 3 2

意 x ? R 恒成立,求 f (m) 的最值. 22.(本小题满分 10 分) (原创) 如右图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 3 与 2,圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上) , AD 是圆 O1 的一条直径.

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(1)求

AC 的值; (2)若 BC ? 3 ,求 O2 到弦 AB 的距离. AB

23.(本小题满分 10 分)

? ? x ? 1? ? 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 4? ? ?

2 t 2 (t 为参数) ,再以原点为极点,以 2 t 2

x 正半轴为极轴建立坐标系,并使得它与直角坐标系有相同的长度单位,在该极坐标系中圆 C 的方程为 ? ? 4sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 将于点 A 、 B ,若点 M 的坐标为 (?2,1) , 求 MA ? MB 的值 . 24.(本小题满分 10 分) (原创) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , x ? R , (1)解不等式 f ( x) ? x ? 1 ; (2)若对于 x, y ? R ,有

1 1 x ? y ? 1 ? , 2 y ? 1 ? .求证: f ( x) ? 1 . 3 6

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参考答案

一、选择题. (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 A 8 C 9 D 10 C 11 D 12 B

二、填空题. (每小题 5 分,共 20 分) 13.-1 14.2 15. 2 2或4 三、解答题. (共 75 分) 17.解: (1)调查的 500 位老年人中有 75 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要 帮助的老年人的比例的估计值为 15%. (2) K ?
2

16.1

500 ? (50 ? 225 ? 25 ? 200) 2 500 ? ? 6.635 , 250 ? 250 ? 75 ? 425 51

所以在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)由于(2)的结论知,该地区的老年人 是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看 出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该 地区老年人中男,女的比例,再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机 抽样方法更好. 18.解: (1)由已知 Sn ? 3an ? 2 ,令 n ? 1 可得 a1 ? 1 ,又

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3 an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 3an ?1 ? 3an ? an ?1 ? an , 2

19.解: (I) 10 天的中位数为 (38 ? 44) / 2 ? 41 (微克/立方米) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 分 (II)由于 ?

H (10, 4, 4) ,所以 P(? ? k ) ?
1 2 3 4

k 4? k C4 C6 (k ? 0,1, 2,3, 4) ,即得分布列如下: 4 C10

?
P

0

15 210

80 210

90 210

24 210

1 210

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 所以 E? ?

4? 4 ? 1.6 10

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分

(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为

2 ,由? 5

2 B(365, ) ,得到 5

E? ? 365 ?
天.

2 ? 146 (天) ,一年中空气质量达到一级的天数平均为 146 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

20.解: (I)则由题设可求的 b ? 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 又e ? 分 (II)解法一:假设存在点 T (u, v) ,若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 椭圆方程,并整理得

x2 2 ? y2 ? 1. ,则 a ? 2 ,所以椭圆 C 的方程是 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1 ,将它代入 3

(18k 2 ? 9) x 2 ? 12k ? 16 ? 0 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

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12k ? x1 ? x2 ? ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? , ? x x ? ?16 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?
因为 TA ? ( x1 ? u1 y1 ? v), TB ? ( x2 ? u2 y2 ? v) 及 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ? 所以

1 3

1 , 3

1 2v 1 TA TB ? ( x1 ? u )( x2 ? u ) ? ( y1 ? v)( y2 ? v) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (u ? k ? kv)( x1 ? x2 ) ? u 2 ? v 2 ? ? 3 3 9

(6u 2 ? 6v 2 ? 6)k 2 ? 4ku ? (3u 2 ? 3v 2 ? 2v ? 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8分 6k 2 ? 2
当且仅当 TA TB ? 0 恒成立时,以 AB 为直径的圆恒过定点 T , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分

? 6u 2 ? 6v 2 ? 6 ? 0 ? 所以 ? ,解得 u ? 0, v ? 1 , 4u ? 0 ?3u 2 ? 3v 2 ? 2v ? 5 ? 0 ?
此时以 AB 为直径的圆恒过定点 T (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分
2 2

当直线 l 的斜率不存在, l 与 y 轴重合,以 AB 为直径的圆为 x ? y ? 1 也过点 T (0,1) . 综上可知,在坐标平面上存在一个定点 T (0,1) ,满足条件.
2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

解法二:若直线 l 与 y 轴重合,则以 AB 为直径的圆为 x ? y ? 1 , 若直线 l 垂直于 y 轴,则以 AB 为直径的圆为 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 3

16 , . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 9



? x2 ? y 2 ? 1 ?x ? 0 ? 由? 2 ,由此可知所求点 T 如果存在,只能是 (0,1) . . . . . .7 1 2 16 ,解得 ? ? y ?1 ?x ? ( y ? ) ? 3 9 ?
分 事实上点 T (0,1) 就是所求的点,证明如下: 当直线 l 的斜率不存在,即直线 l 与 y 轴重合时,以 AB 为直径的圆为 x ? y ? 1 ,过点
2 2

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T (0,1) ;

当直线 l 的斜率存在,设直线方程为 y ? kx ?
2 2

1 , 3

代入椭圆方程并整理得 (18k ? 9) x ? 12kx ? 16 ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

12k ? x1 ? x2 ? ? ? 18k 2 ? 9 设点 A、B 的坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ,因为 ? 16 ? xx ? 1 2 ? 18k 2 ? 9 ?
TA ? ( x1 , y1 ? 1), TB ? ( x2 , y2 ? 1) ,所以有
4 16 ?16k 2 ? 16 ? 16k 2 ? 32k 2 ? 16 TA TA ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? ?0 3 9 18k 2 ? 9
, 所以 TA ? TB ,即以 AB 为直径的圆恒定过点 T (0,1) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 综上可知, 在坐标平面上存在一个定点 T (0,1) 满足条件. 分 21 解: (1)由题意 ? ? ? ? ? ? ?a ? 1, ?? ? ?? ? ?? ? b ? ?1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? (? ? ? ? ? )2 ? 2(?? ? ?? ? ?? ) ? 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

(2)由题意知 y ? f ( x) 关于 (m, n) 中心对称,所以 m 取两个极值点的平均值,即 m ? ? 则有

a , 3

a a a a f ( m) ? f ( ? ) ? ( ? ? ? )( ? ? ? )( ? ? ? ) 3 3 3 3 1 ? ( ? ? ? ? 2? )(? ? ? ? 2 ? )(? ? ? ? 2? ) 27 1 ? 2 ? 3(? ? ? ) ? 2 ? ?3(? ? ? ) ? 1? ?1 ? 6(? ? ? ) ? 27 1 ? 2 (3t ? 2)(3t ? 1)(1 ? 6t ) 27

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1 1 其中 t ? ? ? ? ? (? ? ? ) ? , 令 gt () 3 ( ? t3 2 ( ) ?1 ( 1 ) 6) t ? 2 6
所以 g (t ) 在 ( ,

?t

, 则 g ?t () ?? 1 9 8 (

2 t 6 ? 1 )t ?



1? 3 1 1? 3 , ??) 上递减. ) 上递增,在 ( 6 6 6
1 1? 3 3 , f (m) 无最小 g( )? 2 27 6 486

由此可求出 f max (m) ?

值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 22.解: (1)设 AD 交圆 O2 于点 E ,连接 BD, CE ,∵圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,∴点 O2 在 AD 上. ∴AD,AE 分别是,圆 O1 与圆 O2 的直径.∴ ?ABD ? ?ACE ? ∴

?
2

.∴ BD / /CE .

AC AD 2 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 AB AE 3

(2) 若 BC ? 3 , 由 (1) 问结果可知 AB ? 3 3 , 而 AD ? 6 , 所以在 RT ?ABD 中, ?A ? 300 , 又由 AO2 ? 2 ,推得 O2 到弦 AB 的距离为 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 23.解: (1)由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为 . . . . . . . . . .4 分 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , (2)直线 l 的普通方程为 y ? x ? 3 ,点 M 在直线上 l 的标准参数方程为

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 . . . . .6 分 2 t 2
2

代入圆方程得: t ? 3 2 ? 1 ? 0 .设 A、B 对应的参数分别为 t1、t2 ,则 t1 ? t2 ? 3 2 ,

t1t2 ? 1 . . . .8 分
于是 MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 24.解: (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 .

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(2) f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2( x ? y ? 1) ? (2 y ? 1)

1 1 5 ? 2 x ? y ?1 ? 2 y ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 6
. . .10 分



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