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黑龙江省鹤岗市2016


2016-2017 学年度下学期期末考试 高二数学(理)试题
一.选择题

1.若直线a不平行于平面?,则下列结论成立的是?

?

A. ? 内所有的直线都与 a 异面 B. ? 内不存在与 a 平行的直线 C. ? 内所有的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 ? 有公共点 2.若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是( )
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc 2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

C.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

D.若 a ? b ? 0 ,则

b a ? a b
)

3.已知不等式 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 的解集为 {x | ?3 ? x ? 2} ,则不等式 bx 2 ? 5 x ? a ? 0 的解集为( A. {x | ?

1 1 ?x? } 3 2

B. {x | x ? ? 或x ? }

1 3

1 2

C. {x | ?3 ? x ? 2}

D. {x | x ? ?3或x ? 2}

4.若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2,+∞) B.(-∞,-6] C.[-6,2] D.(-∞,-6]∪[2,+∞)

5.函数y ? 5 x ? 1 ? 9 ? 3x的最大值是 ?
A.6 B.2

?
C.5 D.2

6.已知 m,n 为不同的直线,α ,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( A.m? α ,n∥m? n∥α B.m? α ,n⊥m? n⊥α D.n? β ,n⊥α ? α ⊥β



C.m? α ,n? β ,m∥n? α ∥β

7 如图在斜三棱柱 ABC?A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( A.直线 AC 上 B.直线 BC 上 C.直线 AB 上 D.△ABC 内部

)

0 8.已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ,且直线 AB 与 CD 成 60 角,点 M 、 N 分别是 BC 、 AD

的中点,则直线 AB 与 MN 所成的角为(
0 A. 60

)
0

B. 30

0

C. 120

D. 60 或 30

0

0

1

(第 7 题) 9.设等比数列 A. 中,前 n 项和为 B. ,已知 C.

(第 12 题) ,则 D. ( )

10.数列 ?an ? 中, a1 A.720

? ?60, an?1 ? an ? 3 ,则此数列前 30 项的绝对值的和为 ( )
C.600 D.630

B.765

11.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? ( A. 2
n ?1



B.

1 2
n ?1

n ?1 C. ( )

2 3

n ?1 D. ( )

3 2

12. 如图在正四棱锥 S ? ABCD 中,E ,M ,N 分别是 BC ,CD ,SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论:① EP ? AC ;② EP / / BD ;③ EP // 面SBD;④ EP ? 面SAC 中恒 成立的为 ( A.①③ ) B.③④ C.①② D.②③④

二.填空题 13 . 已 知 一 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 径 为 3 , 圆 心 角 为 为 .

2 ? 的扇形,则此圆锥的体积 3

14.已知正项等比数列?an ? 满足:a7 =a6 +2a5 ,若存在两项an , am使得 an am =4a1,则 最小值为  
???????
n

1 4 + 的 m n

15.数列?an ? 满足an?1 + ? ?1? an =2n ?1, 则?an ?的前60项和为

     .

??????????

2

16.在底面半径为 3 高为 4+2

的圆柱形有盖容器内,放入一个半径为 3 的大球后,再放入与球面, 个.

圆柱侧面及上底面均相切的小球,则放入小球的个数最多为

三.解答题 17.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AC=BC,点 D 是 AB 的中点. A1 B1 C1

A D B

C

(1)求证:BC1∥平面 CA1D;(2)求证:平面 CA1D⊥平面 AA1B1B; 18.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

(2)若关于x的不等式f ? x ? ? a ?1 的解集非空,求实数a的取值范围。
2 2 19.已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ?

9 ,若 a ? b ? m 恒成立, 2

(Ⅰ)求 m 的最小值; (Ⅱ)若 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对任意的 a , b 恒成立,求实数

x 的取值范围.

20.已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a2 , a3 , a4 ? 1 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

2 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . n ? an ? 2 ?
?

21 .在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, ?ABE 为直角三角形, ?BAE ? 90 ,且

AD ? AE .

3

D O

C

A E

B

(1)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (2)若 AB=2AE,求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值. 22.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)求证:数列 {

1 * , an?1an ? 2an?1 ? 1 ? 0 , n ? N . 2

1 } 是等差数列; an ? 1

(2)求证:

a a a a n2 ? 1 ? 2 ? 3 ?? n ? n. n ? 1 a2 a3 a4 an?1

4

高一理数答案

1 D

2 B

3 B

4 D

5 D

6 D

7 C

8 D

9 A

10 B

11 D

12 A

13.

2 2? 3

14

3 2

15

1830

16

6

17.试题解析:证明(1)连接 AC1 交 A1C 于点 E,连接 DE 因为四边形 AA1C1C 是矩形,则 E 为 AC1 的中点又 D 是 AB 的中点,DE∥BC1, 又 DE ? 面 CA1D,BC1 ? 面 CA1D,BC1∥面 CA1 证明(2)AC=BC,D 是 AB 的中点,AB⊥CD, 又 AA1⊥面 ABC,CD ? 面 ABC,AA1⊥CD, AA1∩AB=A,CD⊥面 AA1B1B,CD ? 面 CA1D,平面 CA1D⊥平面 AA1B1B 18.试题解析: (1)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? 3 ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或 ? 解得 ? x ? 2 或 2 2 2 ? 2 ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
1 3 1 ? ? x ? 或 ?1 ? x ? ? 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} 2 2 2
(2)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3) |? 4 ?| a ? 1 |? 4 19.解: (Ⅰ)

? a ? ?3 或 a ? 5

? (a 2 ? b 2 )(12 ? 12 ) ? (a ? b) 2 ?a ? b ? 3
? a? 3

? a b ? 2 (当且仅当 ? ,即 ? 时取等号)又 a ? b ? m 恒成立, ? m ? 3. 3 1 1 ?b ? ? ? 2

(Ⅱ)要使 2 | x ? 1| ? | x |? a ? b 恒成立,须且只须 2 | x ? 1| ? | x |? 3,

?x ? 0 ?0 ? x ? 1 ?x ? 1 1 5 ?x ? ? 或 x ? . 或? 或? ?? 3 3 ??2 x ? 2 ? x ? 3 ??2 x ? 2 ? x ? 3 ?2 x ? 2 ? x ? 3
5

20.试题解析: (1)设数列

?a n ?的公差为 d ,由 a1 ? 2 和 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列,得

(2 ? 2d ) 2 ? ?2 ? d ??3 ? 3d ? , 解得 d ? 2 ,或 d ? ?1

a ? 0 ,与 a 2 , a3 , a 4 ? 1 成等比数列矛盾,舍去. 当 d ? ?1 时, 3
? d ? 2 , ? a n ? a1 ? ?n ? 1?d ? 2 ? 2?n ? 1? ? 2n, 即数列 ?a n ? 的通项公式 a n ? 2n.

bn ?
(2)

2 2 1 1 1 ? ? ? n ? (a n ? 2) = n(2n ? 2) n(n ? 1) n n ? 1

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 n ? ? ? ??? ? ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1

21.试题解析: (1)由已知有 AE⊥AB,又 AE⊥AD, 所以 AE⊥平面 ABCD,所以 AE⊥DB, 所以 DB⊥平面 AEC,BD ? 面 BED 又 ABCD 为正方形,所以 DB⊥AC,

故有平面 AEC⊥平面 BED.

(2)作 DE 的中点 F,连接 OF,AF, ∵O 是 DB 的中点,∴OF∥BE,∴∠FOA 或其补角是异面直线 BE 与 AC 所成的角。 8 分 设正方形 ABCD 的边长为 2 a ,则 AO ? ∴ AE ? a , EB ? 5a ,∴ OF ?

2a ,

∵ ?BAE ? 900 ,AB=2AE,

5 a 2

1 OF 2 ? OA2 ? AF 2 5 10 又 AD ? AE ,∴ AF ? ED = = a ,∴ cos ∠FOA= 2 2OF ? OA 2 5
∴异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值为

10 5

22.证明:(1)∵

an?1 1 ? ? 0, n ? N * , an ?1 ? 1 an ? 1



a 1 ? an?1 1 1 1 1 ? ? n?1 ? ? ?1 ,∴ ? ? ?1 an?1 ? 1 an ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an?1 ? 1 an ? 1 1 ?
1 1 }是以 ? ?2 为首项,以 1 为公差的等差数列. an ? 1 a1 ? 1
n 1 , ? ?2 ? ? n ? 1? ? ? ?1? ? ? ? n ? 1? ,所以 an ? n ?1 an ? 1

∴ 数列{

(2)由(1)得

6

一方面, ∵

i ?i ? 2? ai i 2 ? 2i ? ? ?1 ai ?1 ? i ? 1?2 i 2 ? 2i ? 1



a a1 a2 ? ??? n ? n ? a2 a3 an?1

另一方面, ∵

i ?i ? 2? ai i 2 ? 2i 1 1 1 1 ? ? ? 1? ? 1? ? 1? ? 2 2 2 ai ?1 ? i ? 1? i ? 2i ? 1 i ? i ? 1? i i ?1 ? i ? 1?



a a1 a2 1 1? ? 1 1 ? ? 1 1? ? 1 1? ? ? ? ? ? n ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? a2 a3 an?1 ? 1 2 ? ? 2 3 ? ? n ?1 n ? ? n n ? 1 ?
1 n2 ? ? n ?1 n ?1
故不等式

? n ?1?

a a a n2 ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n 成立. n ? 1 a2 a3 an?1

7


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