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高一数学三角函数图象及性质


三角函数的图像与性质
6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

正弦、余弦函数的图象
三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数
sinα=MP α cosα=OM α tanα=AT α
y P α
-1 T

三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT

O

M

A(1,0)

x

注意: 注意:三角 函数线是有 函数线是有 向线段! 向线段!

正弦、 正弦、余弦函数的图象
小 结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
y 1
π
2

1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、

几何画法 五点法

y=cosx,x∈[0, 2π] , ∈ π
π
2 3π 2

?

o -1

π



x

y=sinx,x∈[0, 2π] , ∈ π

2. 正弦函数和余弦函数的性质
三角函数图像

值域和最大( (1).值域和最大(小)值. ) 值域和最大

f(x)=sinx
y y

f(x)= cosx
12π x 0
π
2

1-

图 象
[0,

2π ] -1 -

0

π
2

π

3π 2

-1 -

π

3π 2

2π x

定义域 值 域

R [?1,1](有界性)
x = 2kπ +

R [?1,1](有界性)
x = 2 kπ ( k ∈ Z )

π

2

(k ∈ Z ) 时



最 值 x 2kπ π ( k Z ) = ? ∈ 时
ymin= ?1
2 x = kπ ( k ∈ Z )

ymax=1

ymax=1
x = 2kπ + π ( k ∈ Z ) 时

ymin= ?1
x = kπ +

f(x)= 0
周期性. (2).周期性 ) 周期性

π
2

(k ∈ Z )

周期函数的定义
一般地,对于函数f ( x ), 如果存在一个常数T(T ≠ 0), 使得当x取定义域 D内的任意值时,都有f ( x + T ) = f ( x )成立,那么函数f ( x )叫做周期函数。

常数T叫做函数 常数 叫做函数f(x)的一个周期 叫做函数 的一个周期 如果在所有的周期中存在一个最小正数, 如果在所有的周期中存在一个最小正数,那么这个最小 正数就叫做函数f(x)的最小正周期。 的最小正周期。 正数就叫做函数 的最小正周期
问题:说出y = sinx ( x ∈ R )和y = cosx ( x ∈ R )是否周期函数? 周期是多少?

说明: 说明: 2π是正、余弦函数的最小正周期。
本书中所说的周期,一般都是指它们的最小正 周期。

奇偶性和单调区间. (3).奇偶性和单调区间 ) 奇偶性和单调区间

三角函数图像

结论
函数 递增区间
π π? ? ? 2kπ ? 2 , 2kπ + 2 ? ? ? ( k ∈ Z)

递减区间
3π ? π ? ?2kπ + 2 , 2kπ + 2 ? ? ? ( k∈Z)

y = sinx

2k 2kπ -π, π ] [ 2kπ, π + π ] 2k y = cosx [ ( k ∈ Z)

(k ∈ Z)

y (1)对于形如 :
为常数)的函数

= A ? sin (ω x + ? ) ( y = A ? cos (ω x + ? ) 其中 A、 ω、 ?

小结

先考察 ω 的符号,保证“x”前面的符号为正。 然后再根据正弦、余弦函数的单调性去求; 对于其它形式的函数表达式可通过三角恒 等式化归为以上类型。 (2)正弦、余弦函数的性质一览表

函数 定义域 值域 有界性 奇偶性 周期性

y = sin x
R

y = cos x
R

[ ?1,1]
有界函数 [ ?1,1] 奇函数 sin ( ? x ) = ? sin x 周期函数: T = 2π 增区间: ?2kπ ?

[ ?1,1]
有界函数 [ ?1,1] 偶函数 cos ( ? x) = cos x 周期函数: T = 2π 增区间: [ 2kπ ? π , 2kπ ] ( k ∈ Z ) 减区间: [ 2kπ , 2kπ + π ] ( k ∈ Z )

? ?

π

π? , 2kπ + ? ( k ∈ Z ) 2 2?
, 2kπ + 3π ? ( k ∈ Z) 2? ?

单调性 减区间: ?2kπ +

? ?

π
2

x = 2kπ +
最值性

π π
2 2

( k ∈ z) , ymax = 1 ( k ∈ z) , ymin = 1

x = 2kπ ( k ∈ z ) , ymax = 1
x = 2kπ + π ( k ∈ z ) , ymin = ?1

x = 2kπ ?

三角函数图像

6.2 正切函数的图像与性质

正切函数的图象与性质
π ? ? ?x| x ≠ +kπ,k∈Z? 2 ? ?
全体实数R 全体实数R

Qtan(x +π ) = tan(x)
∴ 正切函数是周

期函数,T= π 期函数



Qtan(?x) = tan(x)

正切函数是奇函数, 正切曲线关于原点0对称

正切函数的图象与性质
三角函数 正切函数
tanα=AT α

三角函数线 正切线AT

y P α
-1 T

O

M

A(1,0)

x

正切函数的图象
y

1

?π ? 3π 2 ?

π
2

o
-1

π π
2 3π 2

x

三角函数图像

6.3 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与性质 ω φ 的图像与性质

归纳、总结: 归纳、总结:
振幅变换 函数y=sinx (x∈R) 周期变换 函数y=sinx (x∈R) 相位变换 函数y=sinx (x∈R)
所有点的纵坐标伸长 或缩小为原来的A倍 函数y= A sinx (x∈R) 横坐标不变 值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。 所有点的横坐标伸长或 缩短为原来的1/ω 函数y=sin ωx(x∈R) 纵坐标不变

沿X轴向左或向右 平移 ? 个单位 函数y=sin(

(x∈R)

x +?



函数y=Asin(ωx+? ),x∈R的图像可 由如下步骤得到: 步骤1 :画出y=sinx,x∈[0,2π] ↓ 沿x轴平行移动︱? ︱个单位 步骤2 y=sin(x+? ,(一个周期 一个周期) 步骤2 :得y=sin(x+ ),(一个周期) 1 ↓ 横坐标伸长或缩短到原来的 步骤3 ↓ 步骤4 ↓ 步骤5 :得y=sin(ωx+? ),(一个周期) 纵坐标伸长或缩短到原来的A倍 :得y=Asin(ωx+? ),(一个周期) 沿x轴扩展 :得y=Asin(ωx+? ),x∈R

ω

函数y=Asin(ωx+? ),x∈R的图像可 由如下步骤得到: 步骤1 :画出y=sinx,x∈[0,2π] 1 ↓ 横坐标伸长或缩短到原来的 ω 步骤2 :得y=sin ω x,(一个周期) ? ↓ 沿x轴平行移动︱ ︱个单位 步骤3 :得y=sin(ωx+? ),(一个周期) ↓ 纵坐标伸长或缩短到原来的A倍 步骤4 :得y=Asin(ωx+? ),(一个周期) ↓ 沿x轴扩展 步骤5 :得y=Asin(ωx+? ),x∈R
ω

三角函数图像

6.4.反三角函数 反三角函数

一、反正弦函数的定义
函数 y = sin x, x ∈ [?

π π

, ]的反函数叫做 2 2
π π

反正弦函数,记作 y = arcsin x
说明: 说明:

其中:定义域为[ ?1,1],值域为 [? , ]
2 2

1o arcsin x 是表示在 [? , ] 内的一个角
2 2

π π

2 x ∈ [?1,1], 若 x ? [ ?1,1],则 arcsin x 无意义
o

二、反正弦函数的图像与性质
反正弦函数 y

= arcsin x

定义域: ∈ [ ?1,1] x

π 2

1.6

y

1.4

1.2

1

, ] 2 2 单调性:在 [ ?1,1] 上
单调递增 奇偶性:奇函数

y 值域: ∈ [ ?

π π

0.8

0.6

0.4

-1
-1 -0.5

π y 2 y=arcsinx 1
1.6 1.4 1.2 1

0.2

x
0.5 1

0.8

-0.2

1

-0.4

-

-0.6

π 2

0.6

0.4

-1
-1 -0.5

0.2

x
0.5 1 1.5

-1.5
-0.8

-0.2

-1

1 -1 π 2

-1.2

-1.4

-1.6

π 2

-0.4

-0.6

π 2

-0.8

-1

-1.2

-1.4

-1.6

三、反正弦函数三个重要关系式
(1) arcsin(? x) = ? arcsin x x ∈ [ ?1,1]

(2) sin(arcsin x ) = x x ∈ [ ?1,1] (3) arcsin(sin x ) = x x ∈ [ ?

π π

, ] 2 2

注意:三式中x的取值范围,若x不在这一范围, 则上式不成立

函数 y = sin x, x ∈ [ ?

π π

, ]的反函数叫做 2 2

反正弦函数,记作 y = arcsin x 函数 y = cos x, x ∈ [0, π ] 的反函数叫做 反余弦函数,记作 y = arccos x 函数 y = tan x,x ∈ ( ?

π π

, )的反函数叫做 2 2

反正切函数,记作 y = arctan x

三角函数图像

函数 图像
π 2

y = arcsin x
π y y=arcsinx 2 1
1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

y = arccos x
π
3 2

y = arctan x
2 1

-1
-1 -0.5

-1.5

0.5 -0.2

1

1.5

1 -1 π 2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

-1.2

-1.4

y=arccosx π 2 x π 1 π 2 π 2 1 -1 -1
1 2 -1

π 2 0 π 2
2

-

-2

π 2
-1 -2

-

π 2

定义域

值域
单调性 奇偶性

x ∈ [ ?1,1] π π
y ∈ [? , ] 2 2
单调递增 奇函数

-1.6

x ∈ [?1,1] y ∈ [0, π ]
单调递减 非奇非偶函数
x ∈ [ ?1,1]

y ∈ (?

x∈R

π π

, ) 2 2

单调递增 奇函数

arcsin(? x ) = ? arcsin x arccos(? x) = π ? arccos x arctan( ? x) = ? arctan x 关系式 x ∈ [ ?1,1]

sin(arcsin x ) = x cos(arccos x ) = x

arcsin(sinπx ) = x π
x ∈ [? , ] 2 2

x ∈ [?1,1]

arccos(cos x ) = x arctan(tanπx) = x π
x ∈ [0, π ]
x ∈ (? , ) 2 2

x ∈ [ ?1,1]

tan(arctan x ) = x
x∈R

x∈R

y=arccosx π 2 π 1 2 π 1 -1 -1
3 2 1 2 -1

π

π

3

2

π 2 0 1

arccos(? x) = π ? arccos x x ∈ [?1,1] cos(arccos x) = x arccos(cos x) = x x ∈ [?1,1] x ∈ [0, π ]

1

-1
-1

2

1

π 2 0 π 2
2

)
2

π 2
-2 -1 -2

1

π 2 0
2

arctan( ? x ) = ? arctan x

x∈R

tan(arctan x ) = x

x ∈R
x ∈ (? , ) 2 2

-2

π 2

-1

-2

π 2

arctan(tan x) = x

π π

6.5.最简三角方程 最简三角方程 一、最简三角方程: 最简三角方程: 1、 sin x = a 的解: (i)当 | a |> 1 时,方程无解; (ii)当 | a |≤ 1 时, x = 2kπ + arcsin a 或 x = 2kπ + π ? arcsin a ( k ∈ Z ) 也可写成 x = kπ + (?1)k arcsin a ( k ∈ Z ) 。 特别的:当 a = 0 时, x = kπ ( k ∈ Z ) 。

三角函数图像

π (k∈Z) 。 2 π 当 a = ?1 时, x = 2kπ ? ( k ∈ Z ) 。 2 注意: 注意:1、函数 y = sin x , x ∈ (?π, π] 图像与方程解之间的关系。 2、单位圆和三角函数线与方程解之间的关系。
当 a = 1 时, x = 2kπ + 2、 cos x = a 的解: (i)当 | a |> 1 时,方程无解; (ii)当 | a |≤ 1 时, x = 2kπ ± arccos a ( k ∈ Z ) 。 特别的:当 a = 0 时, x = kπ +

π (k∈Z) 。 2 当 a = 1 时, x = 2kπ ( k ∈ Z ) 。 当 a = ?1 时, x = 2kπ + π ( k ∈ Z ) 。

3、 tan x = a 的解: x = kπ + arctan a ( k ∈ Z ) 二、形如 sinf(x)=a 的方程,其中-1≤a≤1; 三、形如 f(sinx)=a 的方程; 四、形如 asinx+bcosx=c(c≠0)的方程 五、关于 sinx、cosx 的奇次的方程; 六、两边同名的三角方程: 两边同名的三角方程: ——用辅助角转化为最简三角方程;

sin ax = sin bx ,则 ax = 2kπ + bx 或 ax = 2kπ + π ? bx ( k ∈ Z ) ; cos ax = cos bx ,则 ax = 2kπ ± bx ( k ∈ Z ) ; tan ax = tan bx ,则 ax = kπ + bx 或 ax = 2kπ + π ? bx ( k ∈ Z ) 。
七、其它类型方程。

三角函数图像



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