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2012届华师一附中高一下学期课外综合训练题(十)答案



高一课外综合训练题(十)
1. 已知在 ?ABC 中, cos A ? (Ⅰ tan 2 A ; )求

6 , a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边. 3 ? 2 2 (Ⅱ sin( ? B) ? )若 , c ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积. 2 3

2 tan A 6 2 3 ?2 2. ,∴sin A

? ,则 tan A ? ,∴tan 2 A ? 1 ? tan 2 A 3 2 3 1 ? 2 2 2 2 (Ⅱ sin( ? B) ? )由 ,得 cos B ? ,∴sin B ? , 3 2 3 3 c sin A 6 ? 2 ,∴?ABC 的面积 则 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ,∴a ? sin C 3 1 2 2 为 S ? ac sin B ? . 2 3 B?C 2.△ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 取得最大值,并求出这个最大 2
解: (Ⅰ )因为 cos A ? 值。 解:∵ A、B、C 为△ABC 的三内角 ∴A ? B ? C ? ? ?

B?C ? A ? ? 2 2 2

? cos A ? 2cos
? cos A ? 2 cos
令 x ? sin

B?C A A A ?? A? ? cos A ? 2cos ? ? ? ? cos A ? 2sin ? 1 ? 2sin 2 ? 2sin 2 2 2 2 ?2 2?

B?C A A ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 2 2 2
2

A B?C 1? 3 ? 则cos A ? 2cos ? ?2 x2 ? 2 x ? 1 ? ?2 ? x ? ? ? 2 2 2? 2 ?
? ?

∵ 是△ABC 的内角 ? 0 ? A ?1 8 0 A ∴ x? 当

A ? ?0 ? 2

A ? 9 ?0 ? 0 ? s i n ? 1即 0? ? 1 x 2

1 B?C 3 ? 为其最大值。 时, cos A ? 2 cos 2 2 2 A 1 ? A A ? ? ? A ? 60? 此时 sin ? , 0 ? ? 90 ? ? 30 2 2 2 2

3.△ ABC 中,已知 ?A ?

?
3

,边 BC ? 2 3 ,设 ?B ? x ,△ ABC 的周长为 y . (2)求函数 y ? f ( x ) 的值域.

(1)求函数 y ? f ( x ) 的解析式,并写出函数的定义域; 解:(1)△ABC 的内角和 A+B+C= ? ,且 A ?

?
3

, B ? x , C ? 0 ,? C ?

2? 2? ? x ? 0, 0 ? x ? . 3 3

b c ? ? , ? sin x 2? sin sin( ? x) 3 3

2 3

? b ? 4 sin x 2? 2? ? ? x ) ? 2 3 (0 ? x ? ) , y ? 4 sin x ? 4 sin( ? 2? 3 3 ? c ? 4 sin( 3 ? x ) ?
1

2? 2? ? x ) ? 2 3 (0 ? x ? ) ? 6sin x ? 2 3 cos x ? 2 3 3 3 ? ? ? 5? ? ? 5? 1 ? ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3( ? x ? ? ) ,当 ? x ? ? 时,有 ? sin( x ? ) ? 1 . 6 6 6 6 6 6 6 2 6 ? 2? 2? ? x ) ? 2 3 (0 ? x ? ) 的值 ∴4 3 ? 4 3 sin( x ? ) ? 2 3 ? 6 3 ,∴函数 y ? 4 sin x ? 4 sin( 6 3 3
(2)由(1)知, y ? 4 sin x ? 4 sin( 域是 (4 3,6 3] 4.已知向量 a ? (sin? , cos? ),b ? (6 sin ? ? cos? ,7 sin ? ? 2 cos? ) ,设函数 f (? ) ? a ? b . (Ⅰ )求函数 f (? ) 的最大值; (Ⅱ )在锐角三角形 ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , f ( A) ? 6 , 且 ?ABC 的面积为

?

?

? ?

3 , b ? c ? 2 ? 3 2 ,求 a 的值. ? ? 解:(Ⅰ f (? ) ? a ? b ? sin ? (6 sin ? ? cos? ) ? cos? (7 sin ? ? 2 cos? ) )

? ? 6sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 8sin ? cos ? ? 4(1 ? cos 2? ) ? 4sin 2? ? 2 ? 4 2 sin(2? ? ) ? 2 , 4 ? f (? ) max ? 4 2 ? 2 .
? ? 2 ) ? 2 ? 6 , sin(2 A ? ) ? ,因为 0 ? A ? , 4 2 4 2 1 2 ? ? 3? ? ? ? bc ? 3 ?bc ? 6 2 , 所以 ? ? 2 A ? ? , 2 A ? ? , A ? .? S?ABC ? bc sin A ? 4 4 4 4 4 4 2 4 2 2 2 2 2 又 b ? c ? 2 ? 3 2 ,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? 2 2 ? (2 ? 3 2)2 ? 12 2 ? 2 ? 6 2 ? ? 10 ,? a ? 10 . 2
(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 f ( A) ? 4 2 sin(2 A ?

?

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (Ⅰ )求角 A; 解: ) 1 ? (Ⅰ

tan A 2c ? . tan B b ?? ? ?? ? (Ⅱ )若 m ? (0, ?1) , n ? cos B, 2cos2 C ,试求 m ? n 的最小值. 2

?

?

tan A 2c sin A cos B 2sin C sin B cos A ? sin A cos B 2sin C ,即 , ? ?1? ? ? tan B b sin B cos A sin B sin B cos A sin B

sin( A ? B) 2sin C 1 π ∴ ,∴cos A ? .∵0 ? A ? π ,∴A ? . ? sin B cos A sin B 3 2
(Ⅱ m ? n ? (cos B,2cos2 )

?? ?

C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 3 2 6 3 3

?? ? 2 2π 1 π π 2π ? m ? n ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 ( ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . ∵A ? ,∴B ? C ? , ?? ? 2 2π π π 7π π π 1 ∴B ? (0, ) .从而 ? ? 2B ? ? .∴ sin(2B ? ) =1,即 B ? 时, m ? n 取得最小值 . 当
3 6 6 6 6 3 2

?? ? m?n

min

?

2 . 2

6. 半径为 R 的圆外接于△ABC,且 2R sin 2 A ? sin 2 C ? (1)求角 C;

?

? ?

3a ? b sin B

?

(2)求△ABC 面积的最大值.
2

解: (1)由 2R sin 2 A ? sin 2 C ?

?

? ?

3a ? b sin B 及 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B 可得:
3 3 ,∴cosC ? , C ? 30? . 2 2

?

sin 2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? 2 sin A sin B ?

(2)∵S ?

1 ? 3? 1 1 ab sin C ? R 2 sin A sin B ? R 2 ?cos ? A ? B ? ? cos ? A ? B ?? ? R 2 ?cos? A ? B ? ? ? 2 2 2 ? 2 ?

∴ A ? B ? 75? 时,三角形面积有最大值 S ? 当

1 2 3 2 R ? R . 2 4

7. 在 ΔABC 中,已知A,B,C成等差数列,b=1, 求证:1<a+c≤2. 解:由正弦定理:

a b c b 2 3 2 3 ? ? , 得 a+c= (sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sin A sin B sin C sin B 2 3

[sinA+sin(120° -A)]=2sin(A+30° ),因为 0° <A<120° ,所以 30° <A+30° <150° 1<2sin(A+30°)≤2. ,故 法二.∵ B=60° ,b=1,∴ 2+c2-b2=2accos60° a2+c2-1=ac,∴ 2+c2-ac=1, ∴ a ,∴ a (a+c) 2+3(a-c) 2=4, ∴ (a+c) 2=4-3(a-c) 2. ∵ 0≤a-c<1,∴ 0≤3(a-c)2<3,∴ 4-3(a-c) 2≤4,即(a+c) 2≤4, a+c≤2a+c>1, 1<a+c≤2. 8. 如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花 若 BC=a,∠ ABC= ? ,设△ABC 的面积为 S1,正方形的面积为 S2.
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(1)用 a, ? 表示 S1 和 S2;

(2)当 a 固定, ? 变化时,求

S1 取最小值时的角 ? . S2
P B Q A S R C

∴S1 ? 1 a 2 sin ? cos ? ? 1 a 2 sin 2? . 2 4 设正方形边长为 x 则 BQ= xctg? , RC ? xtg? ,? xctg? ? x ? xtg? ? a. 解: (1)∵AC ? a sin ? , AB ? a cos? .
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a a sin ? cos? a sin 2? x? ? ? ctg? ? tg? ? 1 1 ? sin ? cos? 2 ? sin 2?
? S2 ? (

a sin 2? 2 a 2 sin 2 2? 。 ) ? 2 ? sin 2? 4 ? sin 2 2? ? 4sin 2? 1 2 1 a sin 2? (1 ? sin 2? )2 (2)当 a 固定, ? 变化时, S1 1 4 2 ? 4 ? ? ( ? sin 2? ? 4). 1 2 2 S2 sin 2? 4 sin 2? a sin 2? 4 1 (1 ? sin 2? ) 2 2

令 sin 2? ? t , 则 S1 ? 1 (t ? 4 ? 4). ? 0 ? ? ?
S2 4 t

?
2

,? 0 ? t ? 1. 令 f (t ) ? t ?

4 ,任取 t1 , t 2 ? (0,1] ,且 t1 ? t 2 , t


f (t1 ) ? f (t 2 ) ? t1 ? t 2 ?

4(t ? t ) (t t ? 4) 4 4 ? ? (t1 ? t 2 ) ? 1 2 ? (t1 ? t 2 )( 1 2 ) t1 t 2 t1 ? t 2 t1t 2

? ?t1 ? t2 ? 0,0t1t2 ? 1, t1t2 ? 4 ? 0,? f (t1 ) ? f (t2 ) ? 0 , f (t ) ? t ? 4 在(0,1] 是减函数. t ? 1时, ?
t

S1 取最小值, S2
3

此时 ? ?

?
4

.
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9. 等差数列{an}中, 公差 d≠0,其中 ak1 , ak2 ,?, akn ?构成等比数列, k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+k3+…+kn 若 解:由题意知 a52=a1a17,列方程得到 a1=2d,公比 q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3,∴ a kn =a1? 3n─1, (1) 又 a kn =a1+(kn─1)d=

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kn ? 1 a1 2

(2); 由(1)及(2)得 kn=2?3n─1─1,
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∴k1+k2+…+kn=2(1+3+32+…+3n─1)-n=3n-n-1 10.已知数列{an}满足 {

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an n?2 } 是公差为 1 的等数列, 且 a n ?1 ? a n ? 1. n n
英才苑

(I)求数列{ an }的通项公式 an ; (Ⅲ )设 Cn ?

(Ⅱ )设 bn = (—1)n· n ,求数列{ bn }的前 n 项和 S n ; a

2 n (n ? N * n ? 2), 求证:C1+C2+C3…+Cn<6. an

? a2 a1 a ? ? ?1 解: I)解法一:由条件 ? 2 ( , 解得a1 ? 1, a2 ? 4. 又 { n } 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , 1 n ?a2 ? 3a1 ? 1 ?

?

an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ,∴an =n2(n∈ N*)。 n
解法二:由 a n ?1 ?

a n?2 n ? 2 an 1 a a an 1 a n ? 1, 得 n ?1 ? ? ? , 即 n ?1 ? n ? ,又 ? n n ?1 n ?1 n n ?1 n ? 1 n n(n ? 1) n ? 1

∵{

an a a an 1 } 是公差为 1 的等差数列,即 n ?1 ? n ? 1 ,∴ ? ? 1, 从而an ? n 2 (n ? N *). n n ?1 n n(n ? 1) n ? 1
(II) bn =(—1)n· n ,∴S n =—12+22—32+…+(—1)n· 2。 n a

n( n ? 1) ; 2 (n ? 1) ? n n(n ? 1) n n( n ? 1) ? n2 ? ? .(n ? N *) ii)n 是奇数时, S n ? S n ?1 ? a n ? 。? S n ? (?1) ? 2 2 2
i)n 是偶数时, S n =(22—12)+(42—32)+…+[n2—(n—1)2]=1+2+3+4+…+(n—1)+n=
4 4 (III) C n ? 2 n ? 2 ? ? ? n2 n n n n ? n n (n ? 1) n ? n n ? 1 4 n(n ? 1) ( n ? 1 ? n )

? n ? 2时, C n ?

4( n ? n ? 1) n(n ? 1)

? 4(

1 n ?1

?

1 n

)。

? C1 ? C 2 ? C3 ? ? ? C n ? C1 ? 4[(1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

) ??? (

1 n ?1

?

1 n

)] = 2 ? 4(1 ?

1 n

) ? 6。
4

11. 如图,在 y 轴的正半轴上依次有点 A1 , A2 ,?, An ,? 其中点 A1 (0,1), A2 (0,10) , | An?1 An |? 3 | An An?1 | 且 ,且 (n ? 2,3,4,?) ;在射线 y ? x( x ? 0) 上依次有点 B1 , B2 ,?, Bn ,? 点 B1 的坐标为(3,3)

| OBn |?| OBn?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4,?) 。 ⑴ 用含 n 的式子表示 | An An ?1 | ; ⑵ 用含 n 的式子表示 An , Bn 的坐标; ⑶ 求四边形 An An?1 Bn?1 Bn 面积的最大值。 |A A | 1 1 n ?1 1 1 | ? 9( ) n ?1 ? ( ) n ?3 解: (1)? n n ?1 ? , 且 | A1 A2 |? 10 ? 1 ? 9 ,? An An ?1 |?| A1 A2 | ( ) 3 3 3 | An?1 An | 3
n?4 ? (2)由(1) | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? ? ? | An ?1 An |? 9 ? 3 ? ? ? ( )

1 3

27 1 1 n ? 4 ? ( ) , 2 2 3

?点An 的坐标 (0,

27 1 1 n ? 4 ? ( ) )。 2 2 3

? OBn | ? | OBn?1 |? 2 2且 | OB1 |? 3 2 ,∴{| OBn |} 是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列。 |
? OBn |? 3 2 ? (n ? 1)2 2 ? (2n ? 1) 2 ? Bn的坐标为 2n ? 1,2n ? 1) 。 | ( (3)连接 An Bn ?1 ,设四边形 An An?1 Bn?1 Bn 的面积为 S n ,则
1 1 1 29 27 1 2 S n ? S ?An An ?1Bn ?1 ? S ?Bn Bn ?1 An ? [( ) n?3 ] ? (2n ? 3) ? ? 2 2 ? [ ? ( ) n?1 ] 2 3 2 2 2 3 2 29 9n 3 ? 6n ? ? n ?1 。∵S n ?1 ? S n ? n ?1 ? 0, 即S n?1 ? S n , ?{S n } 单调递减.? S n 的最大值 2 3 3 29 47 ?9 ? 为 S1 ? . 2 2 1 x2 ? x ? n 4a n bn ? 1 。 (n ? N * ) 的最小值为 an ,最大值为 bn ,且 c n ? 12.设函数 y ? 2 2 x ?1
(1)求数列 {cn } 的通项公式; (2)设 Tn ?

1 1 1 ? ? ? ? ,求证: 2( n ? 1 ? 1) ? Tn ? 2 n 。 c1 c2 cn

2 解: (1)由已知函数式可得, ( y ? 1) x ? x ? ( y ? n) ? 0 ,由已知可知 y ? 1 ,令 ? ? 0 , 2 得 4 y ? 4(n ? 1) y ? 4n ? 1 ? 0 ,? 已知函数最小值为 an ,最大值为 bn ,? a n bn ?

4n ? 1 , 4

4an bn ? 1 ? 4n ,? c n ?
(2)?

1 4n ? n 。 2

1 1 ? ? cn n

2 n? n

?

2 n ? n ?1

? 2( n ? n ? 1) ,

?Tn ? 2[1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ?? ( n ? n ? 1)] ? 2 n 。
又?

1 1 ? ? cn n

2 n? n

?

2 n ? n ?1

? 2( n ? 1 ? n ) ,

因此,2( n ? 1 ? 1) ? Tn ? 2 n 。 ?Tn ? 2[( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ?? ( n ? 1 ? n )] ? 2( n ? 1 ? 1) 。

5



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