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2015北京一模分类函数与导数——文科



函数与导数
一、选择题

文科

1、 (东城第 3 题)记函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若 f ( x ) 对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程为 y ? ? x ? 1 ,则 (A) f ?( x0 )=2 答案:D 2、 (西城第 3 题)3.关于函数 f ( x) ? log3 (? x) 和 g ( x) ? 3? x ,下列说法中正确的是( (A)都是奇函数 (C)函数 f ( x) 的值域为 R 答案:C 3、 (海淀第 3 题)已知函数 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ,则 f (?1) ? ( (A) ) (B)都是偶函数 (D)函数 g ( x) 的值域为 R ) (B) f ?( x0 )=1 (C) f ?( x0 ) ? 0 (D) f ?( x0 )= ?1

1 e

(B) ?

1 e

(C) e

(D) ?e

答案:D 4、 (朝阳第 5 题)已知 x1 ? log 1 2 , x2 ? 2
3 ? 1 2

, x3 满足 ( ) x3 ? log3 x3 ,则 C. x2 ? x1 ? x3 D. x3 ? x1 ? x2

1 3

A. x1 ? x2 ? x3 答案:A

B. x1 ? x3 ? x2

5、 (丰台第 2 题)下列函数中,在区间 (0, ??) 上存在最小值的是 (A) y ? ( x ?1) 答案:A 6、 (丰台第 7 题)已知奇函数 y ? ? 图所示,那么 g ( x ) ? (A) ( )
2

(B) y ?

x

(C) y ? 2

x

(D) y ? log 2 x

? f ( x), x ? 0, 如果 f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 对应的图象如 ? g ( x), x ? 0.
?x

1 2

?x

(B) ?( )

1 2

x

(C) 2

(D) ? 2

x

答案:D 7、 (石景山第6题)函数 f ( x) ? ( x ? a )( x ? b) (其中 a ? b )的图象如右图所示,则函数

g ( x) ? a x ? b 的大致图象是(
y y

) y 1

y

. . O 1 x
1 A 答案:B

. . O 1 x
1 B

. 1 . x O
C

. . O 1 x
1 D

8、 (房山第 8 题) 一个人骑车以 6 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车 25 米时,交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在

时刻 t 的速度 v(t ) ? t 米/秒,那么此人( A.可在 7 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米 答案:D

) B.不能追上汽车,但其间最近距离为 16 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米

9、 (顺义第 2 题)下列函数中,既是奇函数又在区间 ? 0, ??? 上单调递减的是 A. y ? ? x2 ? 2 答案:B 10、 (顺义第 5 题)若 4 ? 4 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是
x y

B. y ?

1 x

C. y ? 2? x

D. y ? ln x

A. ?0,1? 答案:D

B. ? ?1,0?

C. ? ?1, ???

D. ? ??, ?1?

11、 (顺义第 8 题)某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价/元 日均销售量/桶 6 480 7 440 8 400
2

9 360

10 320

11 280

设在进价基础上增加 x 元后,日均销售利润为 y 元,且 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? .该经营部要想 获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加 A.3 元 答案:D 二、填空题 1、 (东城第 13 题)函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ?[0 ,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在区间 [ ?2 , 3 ] 上方程 ax+2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的实数根,则 实数 a 的取值范围是________. 答案: B.4 元 C.5 元 D.6 元

2 2 ?a? 5 3

2、 (东城第 14 题) C 是曲线 y ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) 上一点, CD 垂直于 y 轴, D 是垂足,点

A 的坐标是 (? 1, 0) .设 ?CAO ? ? (其中 O 表示原点),将 AC ? CD 表示成关于 ? 的函数

f (? ) ,则 f (? ) =

, f (? ) 的最大值为



答案: 2 cos ? ? cos 2? , ? ? [ , ) ,

? ? 4 2

3 2

1 ? ? x? ,x ?0 3、 (西城第 13 题) 设函数 f ( x) ? ? .则 f ? f (?1)? ? _; 函数 f ( x ) 的极小值是__. x 2 ? ? ? x ? 4 x, x ? 0 10 答案: 3
4、 (海淀第 13 题) 设 f ( x) ? ? 则 a 的取值范围是 .

? x, x ? a ,
2 ? x , x ? a.

对任意实数 b , 关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0 总有实数根,

答案: [0,1] 5、 (朝阳第 13 题)稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳 税所得额,每次收入不超过 4000 元,定额减除费用 800 元;每次收入在 4000 元以上的,定 率减除 20%的费用.适用 20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征 30%,计算公式为: (1)每次收入不超过 4000 元的:应纳税额=(每次收入额-800)×20%×(1-30%) (2)每次收入在 4000 元以上的:应纳税额=每次收入额×(1-20%)×20%×(1-30%). 已知某人出版一份书稿,共纳税 280 元,这个人应得稿费(扣税前 )为 ... 答案:2800 6、 (朝阳第 14 题)记 x 2 ? x1 为区间 [ x1 , x2 ] 的长度.已知函数 y ? 2 , x ? ? ?2, a? ( a ? 0 ),
x

元.

其值域为 ?m, n? ,则区间 ?m, n? 的长度的最小值是 答案: 3



? 1 x ?( ) , x ? 0, 7、 (房山第 12 题) 已知函数 f ( x) ? ? 2 则 f ( f (?1)) ? ____; 若 f (2a 2 ? 3) ? f (5a) , ? ?1 ? 3x, x ? 0, 则实数 a 的取值范围是_____.
? 1 ? 答案: ?5 , ? ? ,3 ? ? 2 ?

8、 (顺义第 12 题)已知函数 f ? x ? ? x3 ? 6x2 ? 9x ,则 f ? x ? 在闭区间 ? ?1,5? 上的最小值 为 三、解答题 1、 (东城第 18 题)已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? 2 x ? (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递减区间; ,最大值为 . 答案: ?16, 20

b ? ln x 的一个极值点. x

(Ⅲ)设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
说明理由. 答案: (Ⅰ) f ?( x) ? 2 ?

3 (2 , 5) ,试问过点 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切?请 x

b 1 ? . x2 x

b ? ln x 的一个极值点, x 所以 f ?(1) ? 0 ,解得 b ? 3 . 经检验,满足题意,所以 b ? 3 . ………………………5 分
因为 x ? 1 是 f ( x ) ? 2 x ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 x ?

3 ? ln x ,定义域为 (0 , +?) , x 3 3 1 2 x2 ? x ? 3 ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? 1 .又 x ? 0 , f ? 令 . f ( x) ? 2 ? 2 ? ? 2 x x x2

(0 1) 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 .
(Ⅲ) g ( x) ? f ( x) ?

………………9 分

1 3 ? 2 x ? ln x , g ?( x) ? 2 ? . x x (2 , 5) 设过点 的直线与曲线 g ( x) 相切于点 ( x0 , y0 ) ,
所以

y0 ? 5 1 2 ? g ?( x0 ) ,即 2 x0 ? ln x0 ? 5 ? (2+ )( x0 ? 2) .所以 ln x0 ? ? 2 ? 0 . x0 x0 x0 ? 2

2 1 2 ? 2 ,h?( x ) ? ? 2 , 由 h?( x 得x ? 2, 得0 ? x ? 2. ) ? 0 , h?( x) ? 0 , x x x (0 , 2) (2 , +?) 所以 h( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
令 h( x) ? ln x ? 因为 h( ) ? 2 ? ln 2 ? 0 , h(2) ? ln 2 ? 1 ? 0 , h(e2 ) ? 所以 h( x) 与 x 轴有两个交点,即方程 ln x0 ?

1 2

2 ?0, e2

2 ? 2 ? 0 有两个实根. x0
…………………..14 分
x

(2 , 5) 所以过点 可作两条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切.
2、 (西城区第 20 题)设 n ? N ,函数 f ( x) ?
*

ln x e ,函数 g ( x) ? n , x ? (0, ??) . xn x

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上是否为单调函数,并说明理由; (Ⅱ) 若当 n ? 1 时, 对任意的 x1, x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 成立,求实数 t 的取值范围; (Ⅲ)当 n ? 2 时,若存在直线 l: ,使得曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于 y ? t (t ? R ) 直线 l 的两侧,写出 n 的所有可能取值. (只需写出结论) 答案: (Ⅰ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. 求导,得 f ?( x) ? …………………1 分 …………………2 分

1 ? n ln x , x n ?1
1

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e n . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x ) f ( x)

1

1

(0, e n )

en
0

(e n , ??)

1

?

1

?

1

所以函数 f ( x ) 在区间 (0, e n ) 上为单调递增,区间 (e n , ??) 上为单调递减. 所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上不是单调函数. …………………4 分

ex ln x (Ⅱ )解:当 n ? 1 时,函数 f ( x) ? , g ( x) ? ,x ? 0. x x 由题意,若对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 都有 f ( x1 )≤t≤g ( x2 ) 恒成立,

只需当 x ? (0, ??) 时, f ( x)max ≤t≤g ( x)min . 因为 f ?( x) ?

…………………5 分

1 ? ln x . x2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? e . 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表所示:

x
f ?( x ) f ( x)
所以 f ( x) max ? f (e) ? 又因为 g ?( x) ?

(0, e)

e
0

(e, ??)

?


?
↘ …………………7 分

1 . e

e x ( x ? 1) . x2 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 x 变化时, g ?( x ) 与 g ( x) 的变化如下表所示:

x
g ?( x )
g ( x)
所以 g ( x)min ? g (1) ? e . 综上所述,得 ≤t≤e .

(0,1)

1
0

(1, ??)

?


?
↗ …………………9 分 …………………10 分

1 e

(Ⅲ )解:满足条件的 n 的取值集合为 {3, 4} . 3、 (海淀第 20 题)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若存在两条直线 y ? ax ? b1 ,y ? ax ? b2 (b1 ? b2 ) 都是曲线 y ? f ( x) 的切线, 求实数 a 的 取值范围; (Ⅲ)若 x f ( x ) ? 0 ? (0,1) ,求实数 a 的取值范围. 答案: (Ⅰ) f '( x ) ?

1 (a ? 0) . x

?

?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . ………………1 分 x x2 x 当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . ………………2 分
当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 . a

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下:

x
f '( x) f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


1 1 a a (Ⅱ)因为 存在两条直线 y ? ax ? b1 , y ? ax ? b2 (b1 ? b2 ) 都是曲线 y ? f ( x) 的切线,
所以 f '( x) ? a 至少有两个不等的正实根. 令

所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ??) . ………………4 分

………………5 分

ax ? 1 ? a 得 ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,记其两个实根分别为 x1 , x2 . x2

?? ? a 2 ? 4a ? 0, ? 则 ? 解得 a ? 4 . ………………7 分 1 ? x1 x2 ? ? 0. a ? 当 a ? 4 时,曲线 y ? f ( x) 在点 ( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) 处的切线分别为

y ? ax ? f ( x1 ) ? ax1 , y ? ax ? f ( x2 ) ? ax2 .
令 F ( x) ? f ( x) ? ax( x ? 0) . 由 F '( x) ? f '( x) ? a ? 0 得 x ? x1 , x ? x2 (不妨设 x1 ? x2 ) ,且当 x1 ? x ? x2 时,

F '( x) ? 0 ,即 F ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上是单调函数.
所以 F ( x1 ) ? F ( x2 ) . 所以 y ? ax ? f ( x1 ) ? ax1 , y ? ax ? f ( x2 ) ? ax2 是曲线 y ? f ( x) 的两条不同的切线. 所以 实数 a 的取值范围为 (4, ??) . (Ⅲ)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是 (0, ??) 内的减函数. 因为 f (e
1 ? a
? 1 a 1 a 1 a

……………9 分

) ? a ln(e ) ?

?

1 e
? 1 a

? ?1 ?

1 e
? 1 a

? e ?1 ? 0 ,

而e

? (0,1) ,不符合题意.
1 a

………………11 分

当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知: f ( x ) 的最小值是 f ( ) ? ? a ln a ? a ? a ? ?1 ? ln a ? . (ⅰ)若 f ( ) ? 0 ,即 0 ? a ? e 时, {x | f ( x) ? 0} ? ? ? (0,1) , 所以, 0 ? a ? e 符合题意. (ⅱ)若 f ( ) ? 0 ,即 a ? e 时, {x | f ( x) ? 0} ? { } ? (0,1) . 所以, a ? e 符合题意. (ⅲ)若 f ( ) ? 0 ,即 a ? e 时,有 0 ?

1 a 1 a

1 e

1 ? 1. a 1 因为 f (1) ? 1 ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( , ??) 内是增函数, a

1 a

所以 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . 又因为 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 所以

?x

f ( x) ? 0? ? (0,1) .
……………… 14 分

所以 a ? e 符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围为 {a | a ? 0} .

a x x (Ⅰ )当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
4、 (朝阳第 20 题)已知函数 f ( x) ? ( x ? )e , a ? R . (Ⅱ )当 a ? ?1 时,求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数; (Ⅲ )若 f ( x ) 在区间 (0,1) 上有且只有一个极值点,求 a 的取值范围. 答案: 函数 f ( x ) 定义域为 {x x ? 0}, f ?( x) ?

x3 ? x 2 ? ax ? a x e . x2

(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? e x , f ?( x) ? ( x ? 1)e x . 所以 f (1) ? e, f ?(1) ? 2e . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? e ? 2e( x ? 1) , 即 2ex ? y ? e = 0 . (Ⅱ) 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? ……… 3 分

x3 ? x 2 ? x ? 1 x e . x2 3 2 2 设 g ( x) ? x ? x ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 3x ? 2x ?1 ? (3x ?1)( x ? 1) .
1 1 或 x ? ?1 ,注意到 x ? 0 ,所以 x ? . 3 3 1 令 g ?( x) ? (3x ? 1)( x ? 1) ? 0 得,注意到 x ? 0 ,得 0 ? x ? . 3 1 1 所以函数 g ( x) 在 (0, ) 上是减函数,在 ( , ??) 上是增函数. 3 3 1 1 22 ? 0. 所以函数 g ( x) 在 x ? 时取得最小值,且 g ( ) ? 3 3 27 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上恒大于零.
令 g ?( x) ? (3x ? 1)( x ? 1) ? 0 得, x ? 于是,当 x ? (0, ??) , f ?( x) ?

x3 ? x 2 ? x ? 1 x e ? 0 恒成立. x2
……… 7 分

所以当 a ? ?1 时,函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上为增函数. (Ⅱ)问另一方法提示:当 a ? ?1 时, f ?( x) ?
3 2

x3 ? x 2 ? x ? 1 x e . x2

由于 x ? x ? x ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上成立,即可证明函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上为增函数.
x (Ⅲ) (Ⅱ) f ?( x) ? e (

x3 ? x 2 ? ax ? a ). x2 3 2 2 设 h( x) ? x ? x ? ax ? a , h?( x) ? 3x ? 2 x ? a .

(1)当 a ? 0 时, h?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即函数 h( x) 在 (0, ??) 上为增函数. 而 h(0) ? ?a ? 0 , h(1) ? 2 ? 0 ,则函数 h( x) 在区间 ? 0,1? 上有且只有一个零点 x0 ,使

( x) < 0 ,在 (x0 ,1) 上, f ? ( x) > 0 ,故 x0 为函数 f ( x) 在区间 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 (0, x0 ) 上, f ?

? 0,1? 上唯一的极小值点; (2)当 a ? 0 时,当 x ? ? 0,1? 时, h?( x) ? 3x2 ? 2x ? 0 成立,函数 h( x) 在区间 ? 0,1? 上为增函 数,又此时 h(0) ? 0 ,所以函数 h( x) ? 0 在区间 ? 0,1? 恒成立,即 f ? ( x) > 0 , 故函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 为单调递增函数,所以 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上无极值;
(3)当 a ? 0 时, h( x) ? x3 ? x2 ? ax ? a ? x3 ? x2 ? a( x ?1) . 当 x ? ? 0,1? 时,总有 h( x) ? 0 成立,即 f ?( x) ? 0 成立,故函数 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上为单 调递增函数,所以 f ( x ) 在区间 ? 0,1? 上无极值. 综上所述 a ? 0 . ……… 13 分

1 (a ? R ) . x (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
5、 (丰台第 20 题)已知函数 f ( x ) ? a ln x ? (Ⅱ)如果函数 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 x 在 (0, ??) 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,讨论函数 y ? f ( x) 零点的个数. 答案: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 ln x ? 所以 f ?( x) ?

1 , f (1) ? 1 , x

2 1 ? , f ?(1) ? 1 . x x2 所以切线方程为 y ? x .
(Ⅱ)因为 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 在 (0, ??) 上单调递减,

……………………3 分

a 1 ? ? 2 ? 0 在 (0, ??) 恒成立, x x2 1 ( x ? 0) 恒成立, 变形得 a ? 2 x ? x
等价于 g ?( x) ? 而 2x ?

……………………5 分

1 1 ? 2 2x ? ? 2 2 x x
1 2 ,即 x ? 时,等号成立) . x 2
……………………7 分 ……………………8 分

(当且仅当 2 x ? 所以 a ? 2 2 . (Ⅲ) f ?( x ) ?

ax ? 1 . x2
1 . a

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

x
f ?( x ) f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


1 1 ? a ? a(1 ? ln a) . ……………………10 分 a a (ⅰ)当 0 ? a ? e 时, f ( x)min ? 0 ,所以 f ( x ) 在定义域内无零点;
所以 f ( x ) min =f ( ) = a ln (ⅱ)当 a ? e 时, f ( x)min ? 0 ,所以 f ( x ) 在定义域内有唯一的零点; (ⅲ)当 a ? e 时, f ( x)min ? 0 , ① 因为 f (1) ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 在增区间 ( , ??) 内有唯一零点; ② f(

1 a

1 ) ? a (a ? 2 ln a ) , a2

2 , a 因为 a ? e ,所以 h?(a) ? 0 ,即 h(a) 在 (e, ??) 上单调递增,
设 h(a) ? a ? 2ln a ,则 h?( a ) ? 1 ? 所以 h(a) ? h(e) ? 0 ,即 f (

1 1 ) ? 0 ,所以 f ( x) 在减区间 (0, ) 内有唯一的零点. 2 a a

所以 a ? e 时 f ( x ) 在定义域内有两个零点. 综上所述:当 0 ? a ? e 时, f ( x ) 在定义域内无零点; 当 a ? e 时, f ( x ) 在定义域内有唯一的零点; 当 a ? e 时, f ( x ) 在定义域内有两个零点. 6、 (石景山第 20 题)已知函数 f ( x ) ? ln x ? ……………

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ?

1 1 ,且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 [1 , 4] 上恰有两个不等的实根,求实数 b 2 2

的取值范围; (Ⅲ)设各项为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2(n ? N *) , 求证: an ? 2 ? 1 .
n

答案:

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) , ……………2 分 x 1 ? 2x 1 ? ( ? 1)2 ? 1 在 ( x ? 0) 时恒成立, 依题意 f ?( x) ? 0 在 ( x ? 0) 时恒成立,则 a ? 2 x x 1 2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值 ? 1 ,? a ? ( ??, ?1] . ………… 4 分 x 1 2 3 (Ⅱ)已知条件等价于方程 x ? x ? ln x ? b ? 0 在 [1, 4] 上有两个不同的实根, 4 2
(Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? ?

1 2 3 x ? x ? ln x, x ? [1, 4] , 4 2 ( x ? 2)( x ? 1) g ?( x ) ? , x ? [1,2) 时, g ?( x ) ? 0 , x ? (2, 4] 时, g ?( x) ? 0 2x 5 ………… 6 分 g ( x) min ? g (2) ? ln 2 ? 2, g (1) ? ? , g (4) ? 2 ln 2 ? 2 , 4 3 1 由 g (1) ? g ( 4) ? ? 2 ln 2 ? (3 ? 4 ln 4) ? 0 ,得 g (1) ? g (4) 4 4 5 则 b ? (ln 2 ? 2 , ? ] ……………8 分 4
设 g ( x) ? (Ⅲ)先证:当 x ? 0 时, ln x ? x ? 1 . 令 h( x ) ? ln x ? x ? 1,h?( x ) ?

1? x ,可证 x ? (0,1)时 h( x ) 单调递增, x ? (1, ?? ) 时 x h( x ) 单调递减, x ? 1 时 h( x) max ? 0 .所以 x ? 0 时, ln x ? x ? 1 . ……………9 分

用以上结论,由 a n ? 0, 可得 ln an ? an ? 1 .

? an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ? 1 ? an ? 2 ? 2an ? 1 ,故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), ……10 分
所以当 n ? 2 时, 0 ? 相乘得 0 ?

an ? 1 a ?1 a ?1 ? 2, 0 ? n ?1 ? 2 ,…, 0 ? 2 ? 2, an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 a1 ? 1
………12 分
n

an ? 1 ? 2n ?1 . a1 ? 1
n

又 a1 ? 1, 故 an ? 1 ? 2 ,即 an ? 2 ? 1 . 7、 (房山第 19 题)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 , a 是常数, a ?R. (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (III)证明:函数 f ( x ) ( x ? 1) 的图象在直线 l 的下方. 答案: (Ⅰ) f ?(x )=

……………13 分

1 ?a x f (1)= ? a +1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

…………………2 分

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .
(Ⅱ) f ( x) 定义域为 ?0,???

…………………4 分

f ?(x )=

1 ? ax 1 ?a ? x x 1 ? 0 , f ( x) 在 ?0,??? 为增函数 x

(1)当 a ? 0 时, f ?? x ? ? (2)当 a ? 0 时, 令

1 ? ax 1 ? 0 得, x ? 0 或 x ? x a

①当 a ? 0 时, f ( x) 在 ?0,??? 为增函数

? 1? ?1 ? ? 上是增数,在 ? ,?? ? 是减函数 ? a? ?a ? (Ⅲ)令 F ( x )=f (x ) ? (1-a )x =lnx ? x +1 ,x >0, 则
②当 a ? 0 时, f ( x) 在 ? 0,

…………………9 分

F ?( x )=

1 1 ? 1= (1 ? x ) , 解F ?( x )=0得x =1. x x

x
F ?( x )

(0 , 1)

(1 , ? ?)

?


0
最大值

?


F ( x)

F (1)<0 ,所以 ?x > 0 且 x ? 1 , F ( x )<0 , f ( x )<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. 8、 (顺义第 20 题)已知函数 f ? x ? ? a2 x2 ? ax ? ln x . (I)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)设 g ? x ? ? a x ? f ? x ? ,且函数 g ? x ? 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? / / l ,且 l ? 在 y 轴上的截
2 2

……………13 分

距为 1,求证:无论 a 取任何实数,函数 g ? x ? 的图像恒在直线 l ? 的下方; (III)已知点 A 1, g ?1? , Q x0 , g ? x0 ? ,且当 x0 ? 1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2,求实数 a 的取值范 围. 答案: (I)解: f ? x ? ? a x ? ax ? ln x ,
2 2

?

? ?

?

f ? ? x ? ? 2a 2 x ? a ?

1 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? ax ? 1?? 2ax ? 1? ? ? ? x ? 0? , x x x
............... ...........................................2 分

所以, a ? 0 时, f ? x ? 与 f ? ? x ? 的变化情况如下:

x
f ? ? x? f ? x?

? 1 ? ? 0, ? ? 2a ?
-

1 2a
0

? 1 ? ? , ?? ? ? 2a ?
+





因此,函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? (II)证明: g ? x ? ? a x ? f ? x ? ? ln x ? ax ,
2 2

? 1 ? ? 1 ? , ?? ? ,单调递减区间为 ? 0, ? . ? 2a ? ? 2a ?
............... ...........................................4 分

g?? x? ?

1 ?a, x

所以 g? ?1? ? 1 ? a , 所以 l 的斜率 kl ? 1 ? a . 因为 l ? / / l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1, 所以直线 l ? 的方程为 y ? ?1 ? a ? x ? 1 ................ ...........................................6 分

令 h ? x? ? g ? x? ? ? ??1 ? a ? x ? 1? ? ? ln x ? x ? 1? x ? 0 ? , 则 无 论 a 取 任 何 实 数 , 函 数 g ? x? 的 图 像 恒 在 直 线 l? 的 下 方 , 等 价 于

h ? x ? ? 0 ??a ? R, ?x ? 0? ,
而 h? ? x ? ?

............... ...........................................7 分

1 1? x ?1 ? . x x

当 x ? ? 0,1? 时, h? ? x ? ? 0 ,当 x ? ?1, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 , 所以函数 h ? x ? 的 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, ?? ? 上单调递减, 从而当 x ? 1 时, h ? x ? 取得极大值 h ?1? ? ?2 , 即在 ? 0, ??? 上, h ? x ? 取得最大值 h ?1? ? ?2 ,.....................................................8 分 所以 h ? x ? ? ?2 ? 0 ??a ? R, ?x ? 0? , 因此,无论 a 取任何实数,函数 g ? x ? 的图像恒在直线 l ? 的下方. ............... ...........................................9 分 (III)因为 A?1, ?a ? , Q ? x0 ,ln x0 ? ax0 ? , 所以 kQA ?

ln x0 ? ax0 ? a ln x0 ? ?a, x0 ? 1 x0 ? 1 ln x0 ?a ? 2, x0 ? 1
............... ...........................................10 分

所以当 x0 ? 1 时,

即 ln x0 ? ? a ? 2?? x0 ?1? ? 0 恒成立. 令 r ? x ? ? ln x ? ? a ? 2?? x ?1?? x ? 1? ,

1 ? ? a ? 2? , x 1 因为 x ? 1 ,所以 0 ? ? 1 . x
则 r? ? x ? ? (i)当 a ? ?2 时, a ? 2 ? 0 ,此时 r ? ? x ? ? 0 , 所以 r ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,有 r ? x ? ? r ?1? ? 0 不满足题意; (ii)当 ?2 ? a ? ?1 时, 0 ? a ? 2 ? 1 , 所以当 x ? ?1,

1 ? ? ? 1 ? , ?? ? 时, r? ? x ? ? 0 , ? 时, r? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? ? a?2? ?a?2 ?

所以至少存在 t ? ?1,

1 ? ? ? ,使得 r ?t ? ? r ?1? ? 0 不满足题意; ? a?2?

(iii)当 a ? ?1 时, a ? 2 ? 1 ,此时 r ? ? x ? ? 0 , 所以 r ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递减, r ? x ? ? r ?1? ? 0 ,满足题意. 综上可得 a ? ?1 , 故所求实数 a 的取值范围是 ? ?1, ??? . ............... ...........................................13 分



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