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高二数学数学归纳法的应用008


高二数学数学归纳法的应用 008 7 数学归纳法的应用 一、教学内容分析 1.本小节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除教 学时应对书写与表达提出严格的要求尤其是在证明数或式的整除性 时,更要注意说理清楚,并以此作为培养学生逻辑推理能力的一个抓 手 2.本小节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性突破难点的 关键是在授时要重点分析“补项法”的证明思路: 通过补项为运用归纳 假设创造条不要让学生单纯机械地模仿另外还常用作差方法, 通过相 减后,证明差能被某数(或某式)整除,再利用归纳假设可得当 n=+1 时命题成立 二、教学目标设计 1.会用数学归纳法证明等式; 2.会用数学归纳法证明数或式的整除; 3.进一步掌握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质 三、教学重点及难点: 用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1.复习回顾: 用数学归纳法证明命题的两个步骤,是缺一不可的如果只完成步骤 (i)而缺少步骤(ii)不能说明命题对从 n0 开始的一切正整数 n 都 成立 如 +1, 当 n=0、 1、 2、 3、 4 时都是素数, 而 n=时, +1=641× 6700417 不是素数 同样只有步骤(ii)而缺少步骤(i) ,步骤(ii)的归纳假设就没有 根据,递推就没有基础,就可能得出不正确的结论 如 2+4+6+…+2=2++a(a 为任何数) 2.讲授新: 用数学归纳证明等式 例 1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2 例 2:用数学归纳法证明:12+22+32+…+n2= n(n+1) (2n+1) [说明]上述两例师生共同讨论完成完成两例讨论后向学生指出: (1)由于证明当 n=+1 等式成立时, 需证明的¥资%~网结论形式是已 知的,只要将原等式中的 n 换成+1 即得,因此学生在证明过程中, 证明步骤必须完整, 不能跳步骤; (2) 有些等式证明题在证明当 n=+1 正确时, 需用恒等变形, 技巧较高, 对基础较差的学生说完成很困难, 这时可通过左、右边的多项式乘法完成 如 求证: … (n N*) 证明: (1)当 n=1 时,左边=1,右边= × 1× (4-1)=1 等式成立 (2)假设当 n=( N*)时等式成立,即 , 则 n=+1 时,又 即 等式成立 由(1) (2)知,等式对任何 n N*都成立 (3) 用数学归纳法证明恒等式成立时,在逆推过程中应注意等式左 右的项数的变化由当 n=到 n=+1 时项数的增加量可能多于一项, 各项 也因 n 的变化而变化,因此要根据等式的特点仔细分析项数及各项的 变化情况 例如:求证: ( *) 例 3 (补充)在 1 与 9 之间插入 2n-1 个正数数 ,使 1, ,9 成等 比数列,在 1 与 9 之间又插入 2n-1 个正数 ,使 1, ,9 成等差数列 设 , , (1)求 、 (2)设 ,是否存在最大自然数,使对于 n N*都有 被整除,试说 明理由 解: (1) (2) 当 n=1 时, =64 当 n=2 时, =320=× 64 当 n=3 时, =36× 64 由此猜想:最大自然数=64 用数学归纳法证明上述猜想: 1 当 n=1 时,猜想显然成立; 2 假设当 n=( N*)时成立,即 能被 64 整除, 则当 n=+1 时, 由归纳假设知 能被 64 整除,又 也能被 64 整除,所以 也能被 64 整除 由 1、2 知, 能被 64 整除(n N*) 又因为 ,

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