求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求。 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R，值域为 R；

③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ； ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ； 解：①∵抛物线的开口向上，对称轴 x ? 2 ，函数的定义域 R， ∴x=2 时，ymin=-3 , ∴函数的值域是{y|y ? -3 }.

y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

②∵抛物线的开口向上，对称轴 x ? 2 ? [3,4]， 此时 y ? x 2 ? 4x ? 1 在[3,4] ? ∴当 x=3 时， y min =-2 当 x=4 时， y max =1 ∴值域为[-2，1].

k 反比例函数 y ? ( k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0}，值域为{y|y ? 0}； x
二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R，
2 2 当 a>0 时，值域为{ y | y ? 4ac ? b }；当 a<0 时，值域为{ y | y ? 4ac ? b }. 4a 4a

③∵抛物线的开口向上，对称轴 x ? 2 ? [0,1]， 此时 y ? x 2 ? 4x ? 1 在[0,1] ?

例 1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1 ? x ? 1) ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ③y?

x x ?1

∴当 x=0 时， y max =1

当 x =1 时， y min =-2

∴值域为[-2，1].

解：①∵-1 ? x ? 1，∴-3 ? 3x ? 3， ∴-1 ? 3x+2 ? 5，即-1 ? y ? 5，∴值域是[-1，5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)
王新敞
奎屯 新疆

④∵抛物线的开口向上，对称轴 x ? 2 ? [0,5]， ∴当 x=2 时， y min =-3 当 x=5 时， y max =6 （思考： 为什么这里直接就说当 x=5 时， y max =6，

而不去考虑 x=0 对应的函数值情况？答：因为观察图像可知 x=5 离对称轴较远，其函数值比 x=0 对应的函数值大）∴值域为[-3，6].
王新敞
奎屯 新疆

即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2}

x x ?1?1 1 ? ? 1? ③y? x ?1 x ?1 x ?1
1 ?0 ∵ x ?1
∴ y ?1

注：对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时， ①当 a>0 时，则当 x ? ? ②当 a<0 时，则当 x ? ?
2 b 时，其最小值 ymin ? 4ac ? b ； 2a 4a 2 b 时，其最大值 ymax ? 4ac ? b . 2a 4a

即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}（此法亦称分离常数法） （思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。 例 2． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ； ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ；

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其对称轴 x ? ?

b 是否属于区间[a,b]. 2a

①若 ?

b b ? [a,b],则 f ( ? ) 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 f (a), f (b) 2a 2a

∵ x=2 时

y??

1 5

∴ y??

1 5

的大小决定函数的最大（小）值.

b ②若 ? ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内，只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的 2a
最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．有解判别法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式， 解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论

∴函数 y ?

1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6

王新敞
奎屯

新疆

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子 或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论. 4．换元法 例 5．求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域 解：设 t ? 1 ? x
王新敞
奎屯 新疆

则 t?0

x=1? t

2

x2 ? x ?1 例 3．求函数 y= 2 值域 x ? x ?1
解：原式可化为 y( x ? x ? 1) ? x ? x ? 1,
2 2

代入得 y ? f (t ) ? 2 ? (1 ? t 2 ) ? 4t ? ?2t ? 4t ? 2
2

开口向下，对称轴 t ? 1 ? [0, ??) ∴ t ? 1 时， ymax ? f (1) ? 4 整理得 ( y ?1) x ? ( y ? 1) x ? y ?1 ? 0 ，
2

∴值域为 ( ??, 4]

5．分段函数 若 y=1,即 2x=0,则 x=0； 若 y ? 1,由题 ? ? 0， 即 ( y ? 1) 2 - 4( y-1) 2 ? 0 , 解得 综上：值域{y| 例 4．求函数 y ? 例 6．求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.
y

1 ? y ? 3 且 y ? 1. 3

1 ? y ? 3 }. 3

x 2 ? 5x ? 6 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） x2 ? x ? 6

?2 x ? 1 ( x ? 2) ? 解：将函数化为分段函数形式： y ? ?3 (?1 ? x ? 2) ，画出它的图象 ? ??2 x ? 1 ( x ? ?1) （下图） ，由图象可知，函数的值域是{y|y ? 3}.

3

-1 O

2

x

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等） ， 随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种 方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法， 并在解题中尽量采用简捷解法.

解：把已知函数化为 y ? 由此可得 y?1

( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 6 (x?2 且 x?-3) ? ? 1? ( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 x?3

王新敞
奎屯

新疆