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求函数值域的几种常见方法详解



求函数值域的几种常见方法
1.直接法:利用常见函数的值域来求。 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R;

③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ; ④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-

3 , ∴函数的值域是{y|y ? -3 }.

y 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 x

②∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ? [3,4], 此时 y ? x 2 ? 4x ? 1 在[3,4] ? ∴当 x=3 时, y min =-2 当 x=4 时, y max =1 ∴值域为[-2,1].

k 反比例函数 y ? ( k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x
二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? 4ac ? b };当 a<0 时,值域为{ y | y ? 4ac ? b }. 4a 4a

③∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ? [0,1], 此时 y ? x 2 ? 4x ? 1 在[0,1] ?

例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1 ? x ? 1) ② f ( x) ? 2 ? 4 ? x ③y?

x x ?1

∴当 x=0 时, y max =1

当 x =1 时, y min =-2

∴值域为[-2,1].

解:①∵-1 ? x ? 1,∴-3 ? 3x ? 3, ∴-1 ? 3x+2 ? 5,即-1 ? y ? 5,∴值域是[-1,5] ②∵ 4 ? x ? [0,??) ∴ f ( x) ? [2,??)
王新敞
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④∵抛物线的开口向上,对称轴 x ? 2 ? [0,5], ∴当 x=2 时, y min =-3 当 x=5 时, y max =6 (思考: 为什么这里直接就说当 x=5 时, y max =6,

而不去考虑 x=0 对应的函数值情况?答:因为观察图像可知 x=5 离对称轴较远,其函数值比 x=0 对应的函数值大)∴值域为[-3,6].
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即函数 f ( x) ? 2 ? 4 ? x 的值域是 { y| y ? 2}

x x ?1?1 1 ? ? 1? ③y? x ?1 x ?1 x ?1
1 ?0 ∵ x ?1
∴ y ?1

注:对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 x ? ? ②当 a<0 时,则当 x ? ?
2 b 时,其最小值 ymin ? 4ac ? b ; 2a 4a 2 b 时,其最大值 ymax ? 4ac ? b . 2a 4a

即函数的值域是 { y| y?R 且 y?1}(此法亦称分离常数法) (思考:如何使用口算法?) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。 例 2. 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ;

⑵若定义域为 x ? [a,b],则应首先判定其对称轴 x ? ?

b 是否属于区间[a,b]. 2a

①若 ?

b b ? [a,b],则 f ( ? ) 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 f (a), f (b) 2a 2a

∵ x=2 时

y??

1 5

∴ y??

1 5

的大小决定函数的最大(小)值.

b ②若 ? ? [a,b],则[a,b]是在 f ( x) 的单调区间内,只需比较 f (a), f (b) 的大小即可决定函数的 2a
最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.有解判别法: 有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式, 解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论

∴函数 y ?

1 x 2 ? 5x ? 6 的值域为 { y| y?1 且 y? ? } 2 5 x ? x?6

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说明:此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称有解判别法.一般用于分式函数,其分子 或分母只能为二次式并且分子、分母,没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论. 4.换元法 例 5.求函数 y ? 2x ? 4 1 ? x 的值域 解:设 t ? 1 ? x
王新敞
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则 t?0

x=1? t

2

x2 ? x ?1 例 3.求函数 y= 2 值域 x ? x ?1
解:原式可化为 y( x ? x ? 1) ? x ? x ? 1,
2 2

代入得 y ? f (t ) ? 2 ? (1 ? t 2 ) ? 4t ? ?2t ? 4t ? 2
2

开口向下,对称轴 t ? 1 ? [0, ??) ∴ t ? 1 时, ymax ? f (1) ? 4 整理得 ( y ?1) x ? ( y ? 1) x ? y ?1 ? 0 ,
2

∴值域为 ( ??, 4]

5.分段函数 若 y=1,即 2x=0,则 x=0; 若 y ? 1,由题 ? ? 0, 即 ( y ? 1) 2 - 4( y-1) 2 ? 0 , 解得 综上:值域{y| 例 4.求函数 y ? 例 6.求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域.
y

1 ? y ? 3 且 y ? 1. 3

1 ? y ? 3 }. 3

x 2 ? 5x ? 6 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢?) x2 ? x ? 6

?2 x ? 1 ( x ? 2) ? 解:将函数化为分段函数形式: y ? ?3 (?1 ? x ? 2) ,画出它的图象 ? ??2 x ? 1 ( x ? ?1) (下图) ,由图象可知,函数的值域是{y|y ? 3}.

3

-1 O

2

x

说明:以上是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等) , 随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种 方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法, 并在解题中尽量采用简捷解法.

解:把已知函数化为 y ? 由此可得 y?1

( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 6 (x?2 且 x?-3) ? ? 1? ( x ? 2)( x ? 3) x ? 3 x?3

王新敞
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