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高中数学导学案编写模式的案例分析《以等比数列求和公式推导》为例、



教材 教法

案例点评

2014 年 6 月

高中数学导学案编写模式的案例分析
— —— 以等比数列求和公式推导为例
筅江苏省滨海县獐沟中学
朱月祥

一 、案例描述
1.学情分析 从学生的思维特点看, 很容易把本节内容与等差数 列前n项和从公式的形成、 特

点等方面进行类比, 这是积 极因素, 应因势利导.不利因素是: 本节公式的推导与等 差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生 的思维是一个突破, 另外, 对于 q=1这一特殊情况, 学生 往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 教学对象是刚进入高中的学生, 虽然具有一定的分析问 题和解决问题的能力, 逻辑思维能力也初步形成, 但由 于年龄的原因, 思维尽管活跃、 敏捷, 却缺乏冷静、 深刻, 不严谨. 因此片面、 2.设计思想 《新课程改革纲要》 提出, 要 “改变课程实施过于强 调接受学习、 死记硬背、 机械训练的现状, 倡导学生主动 参与、 乐于探究、 勤于动手, 培养学生搜集和处理信息的 能力、 获取新知识的能力、 分析和解决问题的能力, 以及 交流合作的能力” . 对这一目标笔者认为更加注重培养 学生作为学习主体的能动性 、 独立性 、 创造性 、 发展性 . 心理学家研究发现, 9~22岁的学生正处于创新思维的培 养期, 高中生正好处于这一关键时期, 作为数学教师应 因势利导, 培养学生的创新思维能力 . 利用问题探究式 的方法对新课加以巩固理解 . 在生生 、 师生交流的过程 中, 体现对弱势学生更多的关心. 3.教学目标 (1 ) 知识目标: 理解并掌握等比数列前n项和公式的 推导过程 、 公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解 决与之有关的问题. (2 ) 能力目标: 通过对公式推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊到一般 、 类比与转化、 分类讨论等数学 思想, 培养学生观察 、 比较、 抽象、 概括等逻辑思维的能 力和逆向思维的能力. (3 ) 情感目标: 通过对公式推导方法的探索与发现,

优化学生的思维品质, 渗透事物之间等价转化和理论联 系实际的辩证唯物主义观点. 4.教学重点 公式的推导、 公式的特点和公式的运用. 5.教学难点 公式的推导方法和公式的灵活运用.公式推导所使 “错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用 用的 的方法之一, 它蕴含了重要的数学思想, 所以, 既是重 点, 也是难点.

二 、教学过程
学生是认知的主体, 设计教学过程必须遵循学生的 认知规律, 尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过 程, 结合本节课的特点, 笔者设计了如下的教学过程: 1.创设情境 ,提出问题 在古印度, 有个名叫西塔的人, 发明了国际象棋, 当 时的印度国王大为赞赏, 对他说: 我可以满足你的任何 要求.西塔说: “请给我棋盘的64个方格上, 第一格放1粒 小麦, 第二格放2粒, 第三格放4粒, 往后每一格都是前一 格的两倍, 直至第 64 格 .” 国王令宫廷数学家计算, 结果 出来后, 国王大吃一惊.为什么呢?
问题 1 : 同学们,你们知道西塔要的是多少粒小麦

吗?引导学生写出麦粒总数.
设计意图 :设计这个情境的目的是在引入课题的同

时激发学生的兴趣, 调动学习的积极性 . 故事内容紧扣 由于受课堂时间 本节课的主题与重点 . 在实际教学中, 限制, 教师舍不得花时间让学生去做所谓的 “无用功 ” , 急急忙忙地抛出 “错位相减法” , 这样做有悖学生的认知 规律: 求和就想到相加, 这是合乎逻辑顺理成章的事, 我 为什么不相加而马上相减呢? 在整个教学关键处学生难 以转过弯来, 因而在教学中应舍得花时间营造知识形成 过程的氛围, 突破学生学习的障碍 .同时, 形成繁难的情 境激起了学生的求知欲, 迫使学生急于寻求解决问题的 新方法, 为后面的教学埋下伏笔.

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2.师生互动 ,探究问题
探讨 1:设y=1+2+22+…+263, 记为 (1 ) 式, 注意观察每

认知结构的形成 . 通过以上形式, 让全体学生都参与教 学, 以此培养学生的参与意识和竞争意识. 6.总结归纳 ,加深理解 以问题的形式出现,引导学生回顾公式及推导方 法, 鼓励学生积极回答, 然后老师再从知识点及数学思 想方法两方面总结.
设计意图 : 以此培养学生的口头表达能力, 归纳概
2 3 64

一项的特征, 有何联系?
探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2, 就变成了它的

后一项, (1 ) 式两边同乘以2, 则有2y=2+2 +2 +…+2 , 记 为 (2 ) 式.比较 (1 ) (2 ) 两式, 你有什么发现?
问题 2:为什么 (1 ) 式两边要同乘以2呢? 设计意图 : 经过繁难的计算之苦后, 突然发现上述

括能力. 7.故事结束 ,首尾呼应 最后回到故事中的问题, 我们可以计算出国王奖赏 的小麦约为 1.84 ×1019粒, 大约 7000 亿吨, 用这么多粒小 麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、 厚8米的大道, 大约 是全世界一年粮食产量的459倍,显然国王兑现不了他 的承诺.
设计意图 : 把引入课题时的悬念给予释疑, 有助于

解法, 不禁惊呼: 真是太简洁了!让学生在探索过程中, 充分感受到成功的情感体验, 从而增强学习数学的兴趣 和学好数学的信心. 3.类比联想 ,解决问题
问 题 3: 设等比数列 {an}, 首项为 1, 公比为 3, 如何求

前n项和?
问题 4:等比数列中的公比能不能为1?此时是什么

数列?
设计意图 :在教师的指导下, 让学生从特殊到一般,

继续积极思维. 学生克服疲倦、 8.课后作业 ,分层练习 必做: P52练习2、 3. 选做: “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三 ” 这首中国古诗的答案是多 百八十一, 请问尖头几盏灯? 少?
设计意图 :出选做题的目的是注意分层教学和因材

从已知到未知, 步步深入, 让学生自己探究公式, 从而体 验到学习的愉快和成就感.
问题 5 :结合等比数列的通项公式, 如何把等比数列

的前n项和用公式表示出来?
设计意图 : 通过反问精讲, 一方面使学生加深对知

识的认识, 完善知识结构, 另一方面使学生由简单的模 仿和接受, 变为对知识的主动认识, 从而进一步提高分 类比和综合的能力 .这一环节非常重要, 尽管时间有 析、 时比较少, 甚至仅仅几句话, 然而却有画龙点睛之妙用. 4.讨论交流 ,延伸拓展
问题 6: 探究等比数列前 n项和公式, 还有其他方法

施教, 让学有余力的学生有思考的空间.

三 、案例分析
1.学习目标 在导学案案例中呈现的知识与技能、 过程与方法即 为智力目标在课堂探究的过程中由老师引导学生逐步 达到学习目标中提到的知识目标 、能力目标和感情目 标 . 案例中目标分析明确而又层次鲜明, 对于完成既定 目标有很好的效果. 2.重难点 依据 “学科教学要求” 和 “课程标准” , 以及学生的知 识水平等确定重点难点.一般情况下在确定重难点定位 之后还需要设计不同难度的题目类型, 争取在满足大部 分学生要求的情况下, 照顾好少部分成绩优秀基础好的

吗? 我们根据等比数列的定义能否联想到等比定理从而 求出呢?
设计意图 :以疑导思, 激发学生的探索欲望, 营造一

思考、 讨论的氛围.递推数列有非常 个让学生主动观察、 重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资 源, 它源于课本, 又高于课本, 对学生的思维发展有促进 作用. 5.变式训练 ,深化认识
例1

求等比数列an=8×7 前8项的和.
n

学生 . 案例中因为课程的简单性, 所以重点难点没有详 细的说明.是存在一定缺陷的. 3.学习内容 学习内容是导学案的核心.笔者发挥导学、 导思、 导 练的功能, 运用导学案的作用提出学习要求 、 划定学习 范围、 知道学习方法、 同时启发和帮助学生理解思考.在 上述导学案案例中,利用探究问题对学生进行逐步引 导, 让学生在一步步完成探究问题的过程中对新的知识 高中版

变式 1: 等比数列an=8×7n, 求前n项的和. 变式 2:等比数列an=8×7n, 求第5项到第10项的和. 变式 3:等比数列an=8×7 , 求前2n项中所有偶数项的
n

和.
设计意图 : 采用变式教学设计题组, 深化学生对公

式的认识和理解, 通过直接套用公式、 变式运用公式、 研 究公式特点这三个层次的问题解决, 促进学生新的数学

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点学习, 以故事切入知识点, 层层深入地对知识点进行 剖析解读 . 对公式的教学, 要使学生掌握与理解公式的 来龙去脉, 掌握公式的推导方法, 理解公式的成立条件, 采用了 “问题—探 充分体现公式之间的联系.在教学中, 究” 的教学模式, 把整个课堂分为呈现问题 、 探索规律、 总结规律、 应用规律四个阶段. 4.学习小结 按知识点之间的内在联系归纳出知识线索, 在案例 中, 具体的知识点尽可能留出空由学生来填 . 在归纳出 本节知识结构的基础上体现与下一章节等知识的联系 . 同时还引导学生对学习方法进行归纳.案例中充分利用 了知识点之间的联系, 在例题上层层加深, 举一反三, 从 最简单的等比数列开始,延伸到后来对等比数列的求 和, 甚至延伸到求n到m之间的项之和.以同一个题目, 充 分整合了多个知识点, 是有效的学习总结方式. 5.达标检测 在案例中, 题型多样, 题量适中, 普遍是五分钟左右 并且层层深入由浅到深 .既有 的题型.题目紧扣知识点, 面向全体又有面向学习优异的个别同学, 有必做题和选 做题两部分, 有效地促进了学生优秀成长 . 课堂习题在 规定时间内独立完成, 有效地培养了学生独立思考的能 力.不仅对学生起到了很好的测试作用, 同时也是学生 对知识点理解程度的一个深入过程.
( 上接第 15 页 )

四 、教学反思
(1 ) 编写高质量的导学案是一节课成败的基础, 它 能体现教师的 “支架 ” 作用 . 使用时要求教师语言简练 、 开门见山、 直击要点.作为教师要清楚何时点拨、 点拨什 么内容 (易错知识点 、 易混知识点 、 方法 、 规律 、 知识结 构、 注意事项、 拓展等 ) . (2 ) 导学案是为学生学习服务的, 必须从有利于学 生学习操作的角度来思考和创作, 要始终把学生放在主 体地位上. (3 ) 应根据不同的课型编制不同的学案, 如新授课中 的预习性学案、 复习课中的检测性学案及专题性学案等. (4 ) 通过精心设计问题, 应该使学生意识到: 要解决 教师设计的问题不看书不行,看书不看详细也不行, 光 看书不思考不行, 思考不深不透也不行 . 让学生真正从 教师设计的问题中找到解决问题的方法,学会看书, 学 会自学.
参考文献 :

1.孙雪梅 .学案导学数学教学模式的探讨和应用 [J]. 数学教学通讯 ,2007. 2.李建华 .普通高中数学课程标准实验教科书·数学
[M ]. 北京 : 人民教育出版社 ,2006. FH

θ+ N ρ4,

2

三 、 通过常规的直角坐标向极坐标的转化 进行求解极值问题 , 体现 “ 逆向转化思维 ” 的优 越性
高中数学的求值问题, 在直角坐标系下处理一般都 能完成, 但是依照这种从正面入手进行解题的话, 有时 候感觉比较麻烦, 针对这种情况, 我们可以根据题设中 所求内容的形式和特点进行有效分析, 将原来的直角坐 标系下的问题转化为在极坐标系下进行求解, 使难题迎 刃而解. y E l1 例 3 如图3 所示, 抛物线C: y2= l2 4 (x+1 ) , 过原点的直线l1交 C 于 E、 F, M O x l2交C于M、 N, 且满足EF⊥MN, 试求: F EF + MN 的最小值. N 解析 : 以直角坐标系中的坐标 图3 原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则抛 2 物线C的极坐标方程为ρ= . 1-cosθ π θ+ 设 点 E (ρ1, θ ) , M ρ2, , F (ρ3, θ +π ) , 2

3π , 2 2 则ρ1= , ρ2= 1-cosθ

2

2

π 1-cos θ+ 2 2 2 ρ3= = , (θ+π ) 1+cosθ 1-cos 2 2 ρ4= = . 3π 1-sinθ 1-cos θ+ 2

2 2

=

2 , 1+sinθ

2 2

16 . sin22θ 当sin2θ=1时,EF + MN 取最小值, 且最小值为16. 所以 EF + MN = (ρ1+ρ3 ) + (ρ2+ρ4 ) =
点评 :本 题 是 一 道 普 通 的 解 析 几 何 中 的 求 极 值 问 题 , 倘若在直角坐标系下假设 E 、F 、M 、N 的坐标 , 利用 垂 直的性质列出它们之间的数量关系 , 可以想象过程会非 常复杂 , 运算量也比较大 , 这里将直 角坐标系转化为极 坐标系 , 利用极坐标本身 的特点 , 将烦琐的解析几何运 算问题简易化 .

2

2

总而言之, 在高中数学解题过程中, 注重学生逆向转 化思维的训练有助于学生克服思维定势的影响, 在培养 学生的发散思维能力、 拓展学生的解题思路和提升学生 处理问题的灵活性等方面起到了举足轻重的作用.FH

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