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对勾函数的几点分析


对勾函数的几点分析 对勾函数的几点分析
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数, 又被称为“双 勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”

奇偶性与单调性 当 x>0 时,f(x)= ax + b 有最小值(这里为了研究方便,规
x

定 a>0,b>0) ,即当 x = 奇函数。 奇函数 令k =
b a

b a

的时候

,那么:

增区间:{x|x≤-k}和{x|x≥k}; 减区间:{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势:在 y 轴左边,增减,在 y 轴右边,减增,是两个 变化趋势 勾。 渐近线:耐克函数的图像是分别以 y 轴 渐近线 和 y=ax 为渐近线的两支双曲线。 对勾函数:图像,性质,单调性

均值不等式, 均值不等式

导数求解, 导数求解

其它解法 对于这个函数 f(x)= ax + b ,
x

(1)它的单调性与奇偶性有何应用?而值域问题恰好与 单调性密切相关,所以命题者首先想到的问题应该与值域有 关; (2)函数与方程之间有密切的联系,所以命题者自然也 会想到函数与方程思想的运用; (3)众所周知,双曲线中存在很多定值问题,所以很容 易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结 论;继续拓展下去,用所猜想、探索的结果来解决较为复杂 的函数最值问题。

高考例题: 高考例题: 已知函数 y=x+a/x 有如下性质:如果常数 a>0,那么该 函数在 (0,√a] 上是减函数,在 ,[√a,+∞ )上是增函数. (1)如果函数 y=x+(2^b)/x (x>0)的值域为 [6,+∞), 求 b 的值; (2)研究函数 y=x^2+c/x^2 (常数 c >0)在定义域内的 单调性,并说明理由; (3)对函数 y =x+a/x 和 y =x^2+a/x^2(常数 a >0)作出 推广,使它们都是你所推广的函数的特例.研究推广后的函

数的单调性(只须写出结论,不必证明) ,并求函数 F(x) =(x^2+1/x)^n+(1/x^2+x)^n(x 是正整数)在区间[&frac12; ,2] 上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) 当 x>0 时, f(x)=ax+b/x 有最小值; x<0 时, 当 f(x)=ax+b/x 有最大值 f(x)=x+1/x 首先你要知道他的定义域是 x 不等于 0 当 x>0, 由均值不等式有: f(x)=x+1/x>=2 根号(x*1/x)=2 当 x=1/x 取等 x=1,有最小值是:2,没有最大值。 当 x<0,-x>0 f(x)=-(-x-1/x) <=-2 当-x=-1/x 取等。 x=-1,有最大值,没有最小值。 值域是: (负无穷,-2)并(2,正无穷) -------------- 证明函数 f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)在 x>0 上的单调性 设 x1>x2 且 x1 , x2 ∈ (0 , + ∝ ) 则 f(x1)-f(x2)=(ax1+b/x1) (ax2+b/x2) =a (x1-x2)-b (x1-x2) /x1x2 = (x1-x2) (ax1x2-b)

/x1x2 因为 x1>x2, x1-x2>0 当 x∈(0, 则 √(b/a) )时, x1x2<b/a 则 ax1x2-b<b-b=0 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 x∈(0,√(b/a))时, f(x)=ax+b/x 单调递减; 当 x∈(√(b/a) ,+∞)时,x1x2>b/a 则 ax1x2-b>b-b=0 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 x∈(√(b/a) ,+∞)时, f(x)=ax+b/x 单调递增。

重点(窍门) 重点(窍门) 其实对勾函数的一般形式是: f(x)=x+a/x(a>0) 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 值域为(-∞,-2 根号 a)∪(2 根号 a,+∞) 当 x>0,有 x=根号 a,有最小值是 2 根号 a 当 x<0,有 x=-根号 a,有最大值是:-2 根号 a 对钩函数的解析式为 y=x+a/x(其中 a>0),设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x 2)(x1x2-a)/(x1x2) 下面分情况讨论 (1)当 x1<x2<-根号 a 时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数在(-∞,-根号 a)上是增函 数 (2)当-根号 a<x1<x2<0 时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所 以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以函数在(-根号 a,0)上是减

函数 (3)当 0<x1<x2<根号 a 时,x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所 以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所以函数在(0,根号 a)上是 减函数 (4)当根号 a<x1<x2 时,x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所 以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),所以函数在(根号 a,+∞)上是 增函数 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值。 解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值


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