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淮安七校教学协作体2011—2012学年度第二学期期中考试高一数学











考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题,共 14 题)、解答题(第 15 题~第 20

题,共 6 题)两部分。考试结束后,只要将答题纸交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、

考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在 答题纸上。 3.答题时,必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程, 请把答案填写在答题纸相应位置上. 1、不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 2、在 ?ABC 中, a ? 4, A ? 30? , B ? 60? , 则 b 等于 3、在等比数列 {an } 中, a2 ? 2, a4 ? 4 ,则 a10 = ; ; ; ;

? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? (1,1), b ? ( x,0), c ? (2, 4) ,且 (a ? b) / / c ,则实数 x 的值为

5、已知四个正数 1, x , y ,3 中,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列, 则x? y= ; ;
sin B
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

? ? ? ? ? ? 6、已知向量 a ? (2,1), a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b | =
2 7 、 若 ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 满 足 s i n A ? s i2nB ?

s i? Cn

2

sC n 则 i ,

; ? ? ? ? ? ? 8、若向量 a ? (1, 2), b ? (1, ?1) ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于 9、在三角形 ABC 中,有如下命题,其中正确命题的序号是

?A =

; ;

(1).若 ?A ? ?B ,则 sin A ? sin B ;(2)若 ?A ? ?B, 则 cos A ? cos B ; (3)若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 A=B; (4) 若 cos 2 A ? cos 2 B ,则 A=B ??? ??? ??? ? ? ? 10、若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,且 ( AB ? AC) ? BC ? 0 ,则 ?ABC 的 形状为 ;

11、在 2011 年 9 月 28 日成功发射了“天宫一号” ,假设运载火箭在点火第一秒 钟通过的路程为 2km ,以后每秒通过的路程都增加 2km ,达到离地面 240km 的高 度时,火箭与飞船分离,这一过程需要的时间大约是 秒钟;
2

12、 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , b2 ? 2 ? a 在 角 若 c b ? c 则角 C = ;

,且

a ? 3, b

13、 已知等差数列 {an },{bn } 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,若 则 n 的值为__________.

Sn 7n ? 45 a ,且 n ? 8 , ? Tn n?3 bn

??? ? ??? ? ??? ? 14、 已知数列{ an }是等差数列, 平面内三点 A、 C 共线, OA ? a1006 OB ? a1007 OC B、 且
则数列{ an }的前 2012 项和 S2012 = ;

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应 写出文字说明、证明过程或 演算步骤 15、 (本题满分 14 分) 已知正项等比数列 {an }中, a2 ? 4, a4 ? 16. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别是等差数 列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,求数列 {bn } 的通项公式及 前 n 项和 S n .

16、 (本题满分 14 分)

? ? 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) , 当 k 为何值时:
? ? ? ? (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?
? ? ? ? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平 行? 是同向还是反向?

? ? ? (3)试用 a, b 表示 c ? (2, 2) 。

17、 (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 1 ?
tan A 2c ? tan B b

(1)求角 A ; ?? ? ?? ? C (2)若 m ? (0, ?1), n ? (cos B, 2 cos 2 ) ,试求 | m ? n | 的最小值. 2

18、 (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ,设数列 {bn } 满足 an ? log2 bn , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (3)设 Gn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? ? ? an ? bn ,求 Gn .

19、 (本题满分 16 分)

如图,有两条相交成 60? 角的直路 XX / , YY / ,交点为 O ,甲、乙分别在 OX , OY 上, 起初甲离 O 点 3km ,乙离 O 点 1km ,后来甲沿 XX / 的方向,乙沿 Y /Y 的方向,同 时以 4km / h 的速度步行 。 (1)起初两人的距离是多少? (2) t 小时后两人的距离是多少? (3)什么时候两人的距离最短,并求出最短距离。

Y


X

/

60°

O Y/



X

20、 (本 题满分 16 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足条件:
1 ① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 的最小值为 ? 。 8

(1)求函数 f ( x) 的解析式;w.w.w.zxxk.c.o.m

?4? (2)设数列 {an } 的 前 n 项 积 为 Tn ,且 Tn ? ? ? ?5?

f (n)

,求数列 {an } 的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的 等 差 中 项 ,试 问 数 列 {bn } 中第 几项的值最小?求出这个最小值。
[来源:学|科|网]

淮安七校教学协作体 2011—2012 学年度第二学期期中考试

高一数学试卷参考答案
一、填空题

二、解答题 15、解: (1)设 {an } 的首项为a1 , 公比为q(a1 ? 0, q ? 0)

?a1 q ? 4 ?a ? 2 ??????4 分 ? a 2 ? 4, a 4 ? 16 ? ? 3 解得? 1 ?q ? 2 ?a1 q ? 16
?数列 an }的通项公式为 n ? a1q n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ) ????7 分 { a
(2)由(1)得: a3 ? 8, a5 ? 32,? b3 ? 8, b5 ? 32

设{bn }的首项为b1 , 公差为d . ?b1 ? 2d ? 8 ?b ? ?16 则? ?? 1 ????10分 ?b1 ? 4d ? 32 ?d ? 12 ? bn ? b1 ? (n ? 1)d ? ?16 ? (n ? 1) ? 12 ? 12n ? 28 即{bn }的通项公式为bn ? 12n ? 28(n ? N * ) ????12分 前项和s n ? n(b1 ? bn ) n(?16 ? 12n ? 28) ? ? 6n 2 ? 22n ????14分 2 2

16、解: (1) ka ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) , a ? 3b ? (10, ?4) ?????2 分

? ?

?

?

? ? ? ? (ka ? b) ? (a ? 3b) ? 0
k ? 19 (2) ?4k ? 12 ? 20k ? 20 1 k?? 3 ? ? 10 4 1 ? ? k a ? b ? (? , ) ? ? (a ? 3b) 3 3 3
∴是反向共线 ?????4 分

?????7 分

?????9 分

? ? ? (3)设 c ? xa ? yb
∴? 解得: x ?

?x ? 3y ? 2 ?2 x ? 2 y ? 2

?????11 分

5 1 ,y?? 4 4

∴c ?

?

5? 1? a? b 4 4

?????14 分

18、解: (1)∵ Sn ? n2 ? 2n ∴当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ,也满足上式, ∴综上得 an ? 2n ? 1 (2)由 an ? log2 bn 得 bn ? 2 n ? 22n?1 ,?
a

??????5 分

bn?1 22 n?3 ? 2 n?1 ? 4 , bn 2

? 数列 {bn } 是 等比数列,其中 b1 ? 8, q ? 4
?Tn ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n?1 ?
3 5

8(1 ? 4n ) 8 n ? (4 ? 1) 1? 4 3
2 n?1

??????10 分

(3) Gn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ?? (2n ? 1) ? 2 ∴ 4Gn ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ?? (2n ?1) ? 2
5 7 3 5

2 n?1

? (2n ? 3) ? 22n?3
2n?1

两式相减得: ?3Gn ? 3 ? 2 ? (2 ? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 ? 2
7

) ? (2n ?1) ? 22n?3

即:

?3Gn ? 24 ? (2 ? 2 ? ? 2
6 8

2n?2

) ? (2n ? 1) ? 2

2 n ?3

8 ? ? 48n ? 8? 4 64(1 ? 4n?1 ) ? 24 ? ? (2n ? 1) ? 22 n?3 ? 1? 4 3

n

∴ Gn ?

? 48n ? 8? 4n ? 8
9

??????14 分

? 1 ? ?a ? b ? 0 a? ? ? ? ? 2 20、解: (Ⅰ)题知: ? a ? 0 , 解得 ? , 1 ?b ? ? ? b2 1 ? ?? ? 2 ?? ? 4a 8 ? 1 2 1 故 f ( x) ? x ? x . 2 2

??3 分

?4? (Ⅱ) Tn ? a1a2 ? an ? ? ? ?5?
?4? Tn?1 ? a1a2 ? an?1 ? ? ? ?5?

n2 ? n 2

,

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2) ,

T ?4? ? an ? n ? ? ? Tn?1 ? 5 ?

n ?1

(n ? 2) ,
?4? 所以 an ? ? ? ?5?
n ?1

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.

(n ? N ? ) .

??7 分

(3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 ? 5 f (an ) ? bn ? an , 从而 10( an ?
2

1 2

1 an ) ? bn ? an , 2

得 bn ? 5an ? 6an ? 5(an ? ) ?
2 2

3 5

9 . 5

w.w.w.zxxk .c.o.m

??9 分

?4? 因为 an ? ? ? (n ? N ? ) 是 n 的减函数, 所以 ?5? 3 当 an ? , 即 n ? 3(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5 3 当 an ? , 即 n ? 4(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . 5 3 3 又 a3 ? ? a4 ? , 所以 b3 ? b4 , 5 5
2 ?? 4 ? 2 ? 224 ?4? 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 ? 5 ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? . 125 ?5? ?? 5 ? ? ? ? 2
.u.c.o.m

n ?1

??13 分

??16 分

[来源:学科网]

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

[来源:Z.xx.k.Com]

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附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060



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