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广州市第47中学2011学年第一学期高二数学期中考试试题附答案NRDC



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广州市第 47 中学 2011 学年第一学期高二数学期中考试试题
一、选择题(10 题×5 分=50 分)答案统一写在题号处 1.已知 M ? ? x | x ? a ? 0? , N ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,若 M ? N ? N ,则实数 a 的值为 A.1 B.-1
2 2
<

br />C.1 或-1

D.0 或 1 或-1

2.对于实数 a, b, c ,“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 3.甲、乙两人下棋,和棋的概率为 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 ,乙获胜的概率为 ,则下列说法正确的是 2 3
B.甲不输的概率是

A.甲获胜的概率是

1 6

1 2

C.乙输了的概率是

2 3

D.乙不输的概率是

1 2

4.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,当 S n 取最小值时, n 等于 A.6 B.7 C.8
2 2

D.9

5.一束光线从点 A ? ?1, 1? 出发经 x 轴反射到圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 上的最短路程是 A.4 B.5 C.3 2-1 D.2 6

→ → → → 6.在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积之比是 1 A. 3 1 B. 2
2 2

2 C. 3

3 D. 4

| 7.已知 F1、F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° ,则 | PF1 |? PF2 | =
A.2 B.4 C.6 D.8

8.过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面,则此截面面积是球表面积的 1 16 3 16 1 C. 12 1 D. 8

A.

B.

9.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到 右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 2 小组的频数为 10,则抽取 的学生人数为 A.20 C.40 B.30 D.50
www.kaoshiyuan.com 1 / 12

中国领先的高端教育连锁集团 10.若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0, 1? 内恰有一个解,则 a 的取值范围是 A. a ? ?1 B. a ? 1 C.-1<a<1 D.0≤a<1

二、填空题(4 题×5 分=20 分) 11.已知一个算法: (1) . m ? a (2) 如果 b ? m ,则 m ? b ,输出 m ;否则执行第 3 步. (3) 如果 c ? m ,则 m ? c ,输出 m . 如果 a ? 3 , b ? 6 , c ? 2 ,那么执行这个算法的结果是 12.在区间 ? 0, 1? 上任取两个数,则两个数之和小于

6 的概率是 5
A1 C1

?? 4? ? 13.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 2 的图象向右平移 个单位后与原图象 3? 3 ?
重合,则 ? 的最小值是 14.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面 ?BC1 D 是 面积为 6 的直角三角形,则此三棱柱的体积为 .
D

B1

A

C B 第(11)题

三、解答题(6 题,共 80 分) 15.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? (1) 求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期. 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

? ?

??

2 ? ? sin x . 3?

(2)

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

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中国领先的高端教育连锁集团 16.(本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率.

17.(本小题满分 14 分) 如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值.

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中国领先的高端教育连锁集团 姓名:
x

学号:
ax x

18.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? 3 ,并且 f (a ? 2) ? 18 , g ( x) ? 3 ? 4 的定义域为区间 [?1,1] . ①求函数 g (x) 的解析式; ②判断 g (x) 的单调性; ③若方程 g ( x) ? m 有解,求 m 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分) 设椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的离心率为

2 , 2

点 A ( a ,0), B (0, ?b ),原点 O 到直线 AB 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程;

2 3 . 3

(Ⅱ)设点 C 为( ?a ,0),点 P 在椭圆 M 上(与 A 、 C 均不重合),点 E 在直线 PC 上,若直线 PA 的方 程为 y ? kx ? 4 ,且 CP ? BE ? 0 ,试求直线 BE 的方程.

??? ??? ? ?

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中国领先的高端教育连锁集团 20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn , a1 ?

1 1 119 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? ? 4 2 4

? 且 3bn ? bn ?1 ? n (n ? 2且n ? N ) .(1)求 ?a n ?的通项公式;(2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列;(3)

求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.

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答案
1.已知 M ? ? x | x ? a ? 0? , N ? ? x | ax ? 1 ? 0? ,若 M ? N ? N ,则实数 a 的值为( A.1 B.-1 C.1 或-1 D.0 或 1 或-1 )

1 解析:选 D.由 M∩N=N 得 N?M.当 a=0 时,N=?,满足 N?M;当 a≠0 时,M={a},N={ },由 N? a 1 M 得 =a,解得 a=± 1,故选 D. a 2.对于实数 a, b, c ,“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的(
2 2

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 B.a>b ac2>bc2,原因是 c 可能为 0,而若 ac2>bc2,则可以推出 a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要 不充分条件,故选 B. 3.甲、乙两人下棋,和棋的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 ,则下列说法正确的是( 2 3

)

A.甲获胜的概率是

1 6
2 3

B.甲不输的概率是

1 2
1 2

C.乙输了的概率是

D.乙不输的概率是

1 1 1 解析:选 A.“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是 P=1- - = ;设事件 2 3 6 1 1 2 A 为“甲不输”,则 A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以 P(A)= + = ;乙输了即甲胜 6 2 3 1 1 5 了,所以乙输了的概率为 ;乙不输的概率为 1- = . 6 6 6 4.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时, n 等于( A.6 B.7 C.8 D.9 )

解析:选 A.设等差数列的公差为 d,则由 a4+a6=-6 得 2a5=-6, ∴a5=-3. 又∵a1=-11, ∴-3=-11+4d, ∴d=2,

n?n-1? ∴Sn=-11n+ ×2=n2-12n=(n-6)2-36,故当 n=6 时 Sn 取最小值,故选 A. 2

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中国领先的高端教育连锁集团 5.一束光线从点 A ? ?1, 1? 出发经 x 轴反射到圆 C : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 上的最短路程是
2 2

A.4

B.5

C.3 2-1

D.2 6

解析: A.圆 C 的圆心 C 的坐标为(2,3), 选 半径 r=1.点 A(-1,1)关于 x 轴的对称点 A′的坐标为(-1, -1). 因 A′在反射线上,所以最短距离为|A′C|-r, 即 [2-?-1?]2+[3-?-1?]2-1=4. → → → → 6.在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积之比是( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4 )

→ → → → → → → → → 解析:选 A.∵PA+PB+PC=AB,∴PC=AB-PB-PA=2AP, S△PAB AP 1 ∴A、P、C 共线且 P 为 AC 的三等分点,∴ = = . S△ABC AC 3

| 7.已知 F1、F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° ,则 | PF1 |? PF2 | =
2 2

A.2

B.4

C.6

D.8

解析:选 B.如图,设|PF1|=m,|PF2|=n.则

?m -2mn+n =4, ? ?|m-n|=2, ∴? 2 ? 2 2 2 2 ? ?m -mn+n =8. ??2 2? =m +n -2mncos∠F1PF2.
2 2

∴mn=4.∴|PF1|· 2|=4. |PF 8.过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面,则此截面面积是球表面积的( 1 A. 16 3 B. 16 1 C. 12 1 D. 8 3 3 3 R(R 为球的半径),所以截面面积为 π( R)2= πR2,又球的表面积 2 2 4 )

解析:选 B.由题意可得截面圆半径为 3 2 πR 4 3 为 4πR2,则 = ,故选 B. 4πR2 16

9.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3, 第 2 小组的频数为 10,则抽取的学生人数为( A.20 B.30 C.40 ) D.50

解析:选 C.前 3 组的频率之和等于 1-(0.0125+0.0375)×5=0.75, 第 2 小组的频率是 0.75× 2 10 =0.25,设样本容量为 n,则 =0.25, n 1+2+3
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中国领先的高端教育连锁集团 即 n=40. 10.若方程 2ax ? x ? 1 ? 0 在 ? 0, 1? 内恰有一个解,则 a 的取值范围是(
2

)

A.a<-1

B.a>1

C.-1<a<1

D.0≤a<1

解析:选 B.当 a=0 时,x=-1 不合题意,故排除 C、D.当 a=-2 时,方程可化为 4x2+x+1=0,而 Δ= 1-16<0,无实根,故 a=-2 不适合,排除 A.

11.已知一个算法: (1) . m ? a (2)如果 b ? m ,则 m ? b ,输出 m ;否则执行第 3 步. (3)如果 c ? m ,则 m ? c ,输出 m . 如果 a ? 3 , b ? 6 , c ? 2 ,那么执行这个算法的结果是 2

解析:当 a=3,b=6,c=2 时,依据算法设计,执行后,m=a=3<b=6,c=2<a=3=m,∴c=2=m, 即输出 m 的值为 2, 12.在区间 ? 0, 1? 上任取两个数,则两个数之和小于

6 的概率是 5

17 25

?0<x<1 解析设这两个数是 x,y,则试验所有的基本事件构成的区域是? 确定的平面区域,所求事件包含的 ?0<y<1

?0<y<1 基本事件是由? 6 ?x+y<5
0<x<1 确定的平面区域,如图阴影部分所示. 1 4 17 6 17 阴影部分的面积是 1- ×( )2= ,所以两个数之和小于 的概率是 . 2 5 25 5 25 13.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin? ? x ?

? ?

??

4? 个单位后与原图象重合,则 ? 的最小值是 ? ? 2的图象向右平移 3? 3

3 2 4π 4 解析:选 C.由函数图象向右平移 个单位后与原图象重合,得 π 是此函数周期的整数倍. 3 3 2π 4 3 3 又 ω>0,∴ · π,∴ω= k(k∈Z),∴ωmin= . k= ω 3 2 2
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中国领先的高端教育连锁集团 14.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,D 为棱 AA1 的中点,若截面 ?BC1 D 是面积为 6 的直角三角形,则此 三棱柱的体积为 答案 .
A1

8 3
? ?

C1

15.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? (3) 求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期.

??

2 ? ? sin x . 3?

B1 D

A

C B 第(11)题

1 c 1 (4) 设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= , f ( ) ? ? ,且 C 为 3 2 4
锐角,求 sinA. 解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? 1 ? cos 2 x 1 3 ? ? ? sin 2 x )+sin 2 x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 ? sin C =- , 2 2 4

3 , 2
, 3

因为 C 为锐角,

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 , 3

所以

sin ? B

2 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

16.(本小题满分 12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率. 解: (1)从袋中随机取两个球, 其一切可能的结果组成的基本事件有: 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4, 1 共 6 个. 2 从袋中取出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有:1 和 2,1 和 3,共 2 个.因此所求事件的概率为 P= = 6 1 . 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n,其一切可能 的结果(m,n)有:
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中国领先的高端教育连锁集团 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件有:(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个. 3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = . 16 16 17.(本小题满分 14 分)如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值. 解:(1)证明:因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1.又 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1 =B,所以 B1C⊥平面 A1BC1.又 B1C?平面 AB1C,所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1. (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线. 因为 A1B∥平面 B1CD, 所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点,

所以 D 为 A1C1 的中点, 即 A1D∶DC1=1. 18.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? 3 ,并且 f (a ? 2) ? 18 , g ( x) ? 3 ? 4 的定义域
x
ax x

为区间 [?1,1] . ①求函数 g (x) 的解析式; ②判断 g (x) 的单调性; ③若方程 g ( x) ? m 有解,求 m 的取值范围. 解:(1)依题意得: 3 ∴
a?2

? 18 ? 3a ? 2
??4 分 当 x ? [?1,1] 时, 2 ? [ ,2] ,令 t ? 2
x

g ( x) ? (3a ) x ? 4 x ? 2 x ? 4 x , x ? [?1,1]
x 2 x x

(2) g ( x) ? ?(2 ) ? 2 ? ?(2 ? ) ?
2

1 2

1 4

1 2

x

由二次函数单调性知当 t ? [ ,2] 时是减函数, ∴函数 g (x) 在 [?1,1] 是减函数。 (3)由(2)知 t ? 2 , 2 ? [ ,2] ,则方程 g ( x) ? m 有解
x

1 2

??6 分 ??8 分

x

1 2

? m ? 2 x ? 4 x ,在 [?1,1] 内有解

??10 分

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1 1 1 1 ? m ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? , t ? [ ,2] ,∴ m 的取值范围是 [?2, ] 2 4 2 4
19.(本小题满分 14 分)设椭圆 M :

??14 分

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

的离心率为

2 , 2

点 A ( a ,0), B (0, ?b ),原点 O 到直线 AB 的距离为

2 3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程;(Ⅱ)设点 C 为( ?a ,0),点 P 在椭圆 M 上(与 A 、 C 均不重合),点 E 在直 线 PC 上,若直线 PA 的方程为 y ? kx ? 4 ,且 CP ? BE ? 0 ,试求直线 BE 的方程. 解 (Ⅰ)由 e ?
2

??? ??? ? ?

c 2 a 2 ? b2 b2 1 ? ? 1 ? 2 ? 得 a ? 2b a2 a2 a 2

由点 A ( a ,0), B (0, ?b )知直线 AB 的方程为 于是可得直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2b ? 0 因此

x y ? ? 1, a ?b

| 0 ? 0 ? 2b | 12 ? ( 2)2

?

2b 2 3 2 2 ,得 b ? 2 , b ? 2 , a ? 4 , ? 3 3

x2 y2 所以椭圆 M 的方程为 ? ?1 4 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A 、 B 的坐标依次为(2,0)、 (0, ? 2) , 因为直线 PA 经过点 A(2,0) ,所以 0 ? 2k ? 4 ,得 k ? 2 , 即得直线 PA 的方程为 y ? 2 x ? 4 因为 CP ? BE ? 0 ,所以 kCP ? kBE ? ?1 ,即 k BE ? ?

??? ??? ? ?

1 kCP

设 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则

y0 y y2 2 1 ? 0 ? 2 0 ? ? ? ? ? 2kCP x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 4 2

得?

1 ? 4 ,即直线 BE 的斜率为 4 kCP

又点 B 的坐标为 (0, ? 2) ,因此直线 BE 的方程为 y ? 4 x ? 2 20. (本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn , a1 ?

1 1 119 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? ? 4 2 4

? 且 3bn ? bn ?1 ? n (n ? 2且n ? N ) .(1)求 ?a n ?的通项公式;(2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列;(3)

求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.
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中国领先的高端教育连锁集团 解: (1)由 2Sn ? 2Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 得 2an ? 2an ?1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 2

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ?

1 1 n? 2 4 1 1 bn ?1 ? n , 3 3

(2)∵ 3bn ? bn ?1 ? n ,∴ bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an ? bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? ? (bn ?1 ? n ? ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn?1 ? an?1 ? bn?1 ? (n ? 1) ? ? bn?1 ? n ? 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 1 119 1 ? ? ?30 ? ,又 b1 ? a1 ? ? 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项,

1 为公比的等比数列. 3
,∴ bn ? an ? 30 ? ( )

(3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( )

1 3

n ?1

1 3

n ?1

1 1 1 ? n ? ? 30 ? ( )n?1 2 4 3

bn ? bn ?1 ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = ? 30 ? ( )n?2 (1 ? ) ? ? 20 ? ( ) n?2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 ? ?

119 3 5 10 7 10 <0;当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0;当 n=3 时, b3 ? ? <0;当 n=4 时, b4 ? ? >0, 4 4 4 3 4 9
1 10 1 (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? ? ?41 4 3 12

所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小.且 S3 ?

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