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2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题答案



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2 0 0 7年 第 2 2 期 

数 学 通 讯 

4 3  

2 0 0 7年全 国高中数学联赛湖北省预赛试题答 案 
1 . c .   原 方 程 变 形 为  l

丽 o g 3 3   l +  

笋一  
一÷ .  

以取出的球的编号互不相 同的取法有 C :?2 ‘一 8 O  

种. 因此, 取 出 的球 的 编号 互 不 相 同 的概 率 为  8 o  
8  
一  
’ 



÷ 卿  


+  

令 1 + 1 。   z 一 £ , 则 ÷ + 寺 一 一 了 4 。 解 得 £   =  
1 。 t 2 一一3 . 所以 1 +l o g 3 z 一一 i 或 i +l o g a x一  


6 . B .   当  ≤ 4 时, 易知 3   +8 1 不 是 完 全 平 方 

数. 故设  — k +4 , 其 中 k为正整数 , 则 3   +8 1— 
8 1 ( 3 ‘+ 1 ) .  

3 。 所 以 方 程 的 两 根 分 别 为 告 和 击 。 故 n + 6 一 豇 1 0 .   2 . A .连 P D 。  ̄ - D F = 詈  。 所 以 D P / / B C .  
竹 /A DP ; / B. 竹 

因为 3   +8 1 是 完全平方数 。 而8 1 是平方数 。 则 


定 存 在 正整 数 z , 使得 3 ‘ +1 一z 。 。 即3 ‘ 一  一 1   ( z+ 1 ) ( z一 1 ) , 故 z+ 1 , z一 1 都 是 3的方 幂 .   又两 个 数  + 1 。 z一 1 相差 2 , 所 以只可能是 3 和 





圭 ! 竺  ! 竺   !  竺 !  
÷ l   A B   1 . 1   B c   1 . s i n / B  
. 兰 -. . 兰 - 一. 兰 -  
4   5   1 0‘  

s △  


1 , 从 而 z一 2 , k一 1 .  

因此 。 存 在 唯 一 的正 整 数  = k +4 —5 。 使得 3   +8 1 为完全平方数.  

3 . B .  根 据 题 设 条 件 可 知 , ( 号   ) = , ( 一 了 i " +  
3  一 f ( - 号 ) ; 一 , ( 号 ) = - S i n 号— 一  .  
4 . C .   易知 A C上 平 面 D l B l B D。 设 0 是 底 面  AB C D 的中心 。 则A O上 平 面 D O , M.  

7 ? { 一 1 , √ 『 ) .  不 等 式 寺 < 2   < 8 的 解 为 一 3  
< z< 3 。 所 以 B; ( -3 。 3 ) .  



若   ∈A   r l   B , 则{ 【  


2 [ z ]一 3 。  

所以[ z ] 只  

3< z < 3 ,  

可能取值 一3 。 一2 , 一1 。 0 。 1 。 2 .  

因 为   一 揣

一  一 号 ,  

若I x ]≤一2 。 则z 。一 3 +2 [ z ]< 0 。 没有实数 
解; 若I x ]一一 1 , 则 z 。 一1 , 解得 z一一 1 ;  

所 以   一 ÷ 。 故 B M —   1 . B   M —   3 . 于 是  
S A o o l M— S o l  1 肋 一S A o o l 0 1一 S  ̄ o , 8 1 M— S △ D 删 
1× 


若I x ]= 0 , 则z 。= 3 。 没有符 合 条件 的解 ; 若 
I x ]一 1 , 则 z 。 一5 , 没有符合条件的解 ;   若I x ] 一2 , 则z 。 一7 , 有一个符合条件 的解 ; 
。 

一  1 × 

X  1
-  

1 × 

- T × T 3 一 专 × ÷  

× 

一 

,  

因此 , A   n   B= { 一1 。 √   ) .  

. 



÷ s △ ∞   M ? A O  

8 . 1 3 4 3 3 5 2 . 由 

一  = 



 



÷ ×   × 雩 一   7 .  
  ‘

平方得 3  

一 ) 。 一2 (   + ) ,  

又3 (   一口  1 ) 。一 2 ( a  + 口  1 ) , 两式 相减 。 得 
3 ( 口 计l一 口  1 ) ( 口 计l 一 2 口  + n  1 )一 2 ( 口 计l一 口  1 ) .  

5 . D .   从1 0个 球 中 取 出 4个 。 不 同 的 取 法 有 

C { 。 一 2 1 0种. 如果要求取 出的球 的编号 互不相 同。   可 以先从 5 个编号中选取 4 个编号 , 有 C: 种选 法? 对 
千每一个编号 , 再选 择球 。 有 两种 颜色可供挑 选 , 所 

=- 2, 口 一


一  

求 

2 。 又由递推 关系式 易知数列 { 口   )是 单 调 递 增 数 

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4 4  

数 学 通 讯 
当£ 一 1 时

2 0 0 7年 第 2 2期 

.   一 

一6 4 , 不等式( 1 ) 取 得 等 

e P   n   - 一 2 a . + d   一 号 . 1 P ( a  ̄ l — n   ) 一 ( n   一 n   - )  
n  』 

号.  
99   9 



÷. 所以 数列{ n   - 一‰) 是以n   z — n - 一÷ 为首  

所 以 函 数  

盖  +   的 最 小 值 为  

项 , 号 为 公 差 的 等 差 数 列 , 所 以 n 一   一  一 号 +   号 (   一 1 ) : 了 2 (   + 1 ) . 于 是 n   ; n 1 + 号 ( 2 + 3 +  
. 


1 5 、 / ,   +3   万 一6 4: 6 8 .  
1 1 . 一4 .   若 n> O , 对 于 正数 6 , , ( z )的定 义域  为 D: ( -。 。 , 一   ]U [ O , +o o ) , 但, ( z ) 的 值域 A  6 , /  
L O , +o o) , 故 D≠ A, 小 合矍 求 .  

+  )一 了 1  (  + 1 )

, 

所 以 n 2 。 。   = +  ̄ 2 0 0 7  ̄ ( 2 0 0 7 + 1 ) = 1 3 4 3 3 5 2 .  
一  

若6 , / <0 . 对于正数 6 , , ( z ) 的定义域 为D— E o ,  
] .  

1   z z   l + l   l 取 得 最 小 值 . 当 且 仅 当 }  一 } _ + 笔  
=  

p h : i : x  ̄ f i v J " [ f ( 圳…= f ( - 去 )  
函数 的值 域 A : E o ,   ] .  

澈  

三   = 导 , 解 得 n = 了 7 , 6 =   5 , 所 以 3 n + 4 6 =  
1 0 . 6 8 .   因为 z∈ ( O ? - f)   , 所 以s i n x ̄ O ? c 。 s z  

由 题 意 ? 有 一 ÷  
=— —4 .  

, 由 于 6 > 。 ? 所 以 n  

1 2 .   或 

.   设渐近线的方程为 Y=k x, 由  



箍 仙 +  +  

设 得   0 S 2 z 一  题

= 学  一 士   . 双 曲 线 的 渐  
, 故 可设 双 曲 线 的方 程 为 2 x  

近线 方 程 为 Y=士 
一Y  一 A (  ≠ O ) .  
2 2 C 1
z 

设 A( x l 。 Y 1 ) , B ( x 2 . Y 2 ) , 直线A B 的 方 程 为 Y一 
i  
铮  

_

_



 

,  


【 L   一 C O 1 S X   =  s 2 z   c o s = x = 嘉  ^ /  
成立 ? 此 时  +  1   1
, 

- f(  z +2 ) , 代人 双 曲线 方 程 , 消 去  . 得3 z 2 —4 z 一2 A  




4 — 0.  

当 △= 1 6 +1 2 ( 2 A +4 ) >O . 即A >一了 8 时 上 


设÷ 一£   . 则2 t   +1 5 t   一2   0 . 而   定 

面 的 方 程 恰 有 两 实 根 , 旦z   + z z : ÷ , z   z 。  
一 一

号 ( A + 2 ) .  
由题设可知 . P M  一P A? P B, 可化为 1 ( z   +2 )  

?

( z 2 +2 )f 一4 , 即f  1 动+2 ( z 1 +动 ) +4   f 一4 , 即 


注 意到 s i n 2 x- -  1 5  ≤ I , COS2X

 ̄ - -

 

≤1 ? 判 

1 一了 2( A +2 ) +2?了 4+ 4   1 — 4 解 得  = 2 或 A=  
1 4.  

断 易 知 满 足 限 制 条 件 的 根 只 有 £ 一 专 .  

因此, 双 曲线 的方 程 为 2   一  : 2 或 2 x z 一  

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2 0 0 7年 第 2 2 期 

数 学 通 讯 

4 5  



l 4 , e P一 等 一 1 , / - 一 普_ 1   .
所以双 曲线 的 半 焦 距 为 、 / ,   一  或 


( 1 ) (i )由 口 1 —4 及口   1一 T 1口 : 一口   +2 可求 
得  一 6 , 口 3 —1 4 。 于是 当  ≥ 2 时, 口   ≥6 , 于是 口  
2 口   一  1



厅 

=  

.  

口 : 一 3   + 2 一 专 ( 口   - 3 ) 。 一   5 > o , 即  

1 3 . ( 1 ) 直 线 M N 的 方 程 为   一 ( 一 1 ) : ÷ [ z 一  

当   ≥ 2时 , a n + 1 > 2 a   .  
( I i )由 于  ≥ 2时 , a n + 1 > 2 a   . 所以   ≥ 2时 ,  
a n + 1> 2  。   = 6?2   。一 3 ?2   .  

( 一 1 ) 3 , 即   一 ÷ ( z 一 3 ) . 代 入 双 曲 线 方 程 等 一  


1 , 得 3 x。 +6 x一 2 5— 0 .  

由 。 计   一   1 。 : 一  + 2 可 得 %   一   1 。   +   2  


设 M( x 1 , Y 1 ) , N( x 2 , Y 2 ) , 则z 1 , z 2 是 方 程 的 两 
根. 所以 z 1 +z 2=一 2 .  
1 .  

先 用 数 学 归纳 法 证 明下 面 的 不等 式 成 立 :  

于 是   。 +  一 ÷ ( z 1 + z 。 一 6 ) 一 一 2 , 故 点  
Q( -1 . 一1 ) 是 线 段 MN 的 中点 .  

> (  

+ 1(  ≥ 3 ) .  

( 2 ) 双 曲 线 等一 y Z 一 1 的 过 点 M ( z   ,   ) ,  
N( x 。 , Y 。 )的切 线 方 程 分别 为 
立.  

I ) 当   一 3 时 ,   1 口 3 — 7 > ( 号 ) 。 + 1 . 结 论 成  
Ⅱ) 假 设 结 论 对  一  (  ≥ 3 ) 成立 , 即   1   m ≥ 

l   :  一 Y l   l ’ l f 2 : 等一  一 1 .  
f   l X _ T l X —Y 一   Y   l Y   一1 一 , ’  
联立 , 得  两式相 加, 并将 z   + 

( 号 )   + 1 , 则 结 合 ( i ) 的 结 论 可 得   ÷ 。 抖   > m ≥ 2 ( 号 )   + 2 > ( 号 ) 川 + 1 ,  
I P 当  — k +1 时结论也成立.  

I   x z 4一 . _ x 一y   y z Y   一1 一 , ’  

z 。 一 一 2 ,   1 +  一 一 2 代 入 , 得   一 ÷ z + 1 , 这 说  
明 直 线z 1 ,  的 交 点 在事 线z :   =T 1   z +1   3 2 , I P - g  ̄  
直线 l , l 。 , l 。相交 于 同一 点 .   ( 3 ) 设 P( x o , Y o ) , A( x 3 , Y 3 ) , B( x 4 , Y 4 ) , 则 P A,  


综 合 I ) , Ⅱ ) 可 知 , 不 等 式 专 。   > ( 詈 )   + 1 对  


切  ≥ 3都 成 立 .  
因此 , 当  ≥ 3时 ,  
‘ ‘^  

一 1。   +  一 1 >  1  
‘ ‘  

P B 的方 程 分 别 为  l

一  。   = 1和_ X 4 广 X—  

一1 ,  

1 > (  御  > ( 号  
又 。 。 一 6 一 ( 号 )    ̄ a l  ̄ , a 3 — 1 4 > (  . 口 2 —   1 3 . 5 , 所 以 当   ≥ 1 时 , 有 口 计   ≥ ( 号 )   口   .  
( 2 )由 于 口 1— 1 , 而数列 { 口   } 为递增数列 , 故 当 
≥ 1时 , 有口  > 1 .  

因 为点 P在 两 条 直 线 上 , 所 以T X 3 X o 一  
一 4   =1 , 这 表 明 点 A, B…~ , . x
ox


一1 ?  



Yo   一 1  

上 , e p e r  ̄ A B 的 方 程 为 等一 y o   = 1 .   又  一 手 + 1 , 代 入 整 理 {  ̄   X 4 o ( X — y ) - ( 3 , + 1 )  
=0 , 显然 , 无论 z 。 取 什 么值 ( 即 无论 P为 直线 Z 上 哪 



由。 计  一 1。 :一 。  + 2可 得 

一  

一  

 

_ l

, 而 口 1=. 1 , 于是 

口^ +1 一  

点) , 点 Q( 一1 , 一1 )都 在 直 线 A B上 .  

1 4 . 因 为 口 计   一   一   1 口   一 2   + 2 = ÷ ( 口   一  
2 ) 0≥ 0 , 故 口   ≥ 口 . , 即数 列 { 口   )为递 增 数 列 .  

砉 去 一 客 c 击一  


a l  2 l 一     一  『 口   1 1 =   — 2  2 一   一 1 口 计 1   一 1 一 .  


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数 学 通 讯 

2 0 0 7 年第 2 2 期 

下 面先证明 : 当n ≥5 时, 有口   <2 一  

n 一

1  

( *)  

能口   一1 ( 否则 左 右两 边 被 4 除的余数不相同) , 此 时 
3 ' h:6 - - I - 3 h, ' 显 然 只能 是 b 2 —2 , b 1 —1 , 此 时  一 

I) 根据 口  一 1 及口  t 一  1口 : 一口   + 2计算 易 

6, n 一 10 8 .  

得 n   一 号  一 等  一  ,  
口5 一  

若口 z ≥2 。 则  + 1 2 是 4的倍 数 , 从 而  也 是 4  

的倍数 , 故口  ≥ 2 , 此时 
? 

1  .   21 7   . J 2一  2 1 7+ 2


2一  21 7   . 1 .一  1

2 a s 一 。?3 h一 2 ' a l 一 。?3 h 一 3 '  

( 2 )  

21 7J . , 而  2 1 7  l



 

? 

21 7   .=  J



9 3

显然 口   一2 , 口 z 一 2中 至 少 有 一 个 应 为 O ( 否 则  ( 2 )式 左 右 两 边 奇 偶 性 不 相 同 ) .  
1 )当 口 2 — 2— 0 , 即口 2— 2时 ,  
3 ' h一 2 a l   ?3 " 1— 3   ( 3 )  



5 6 > ÷ ,  

故 n s < 2 一 { , 即 当 n 一 5 时 . 结 论 成 立 .  
I I)假 设 结 论 对 n— k ( k≥ 5 )成 立 , 即口  < 2 — 
1  

此时口   一2 >O ( 否 则等 式 左 右两 边 奇 偶 性 不相 

k一 1 ’  

同) , 故b 2 > b 1 .  
若b   ≥ 2 . 则( 3 )式左 边 是 9的 倍 数 , 而 右 边 为  3 , 矛盾 . 故只可能 b  = 1 , 从而( 3 ) 式即 3 ' h ~一2 a l  

因 为 口  一 ÷ ( 口   一 1 ) 2 +   3 , 而 函 数 , (   ) 一  
1(  


1 ) 。 +  3在  > 1时为增函数 所 以  


=1 . 它R有两组解 {   l
f a l一 3 ,  

f 口 1 — 2— 1 ,  

b 2 — 1— 1 ,  

和{  

f 口 1 — 2— 3 ,  

l b 2 — 1— 2 ,  

< ÷ ( 2 一   _ 1 ) 。 + 号  


z 一 占+  

< z 一 ÷ ,  
1  

即{ l  

b 2— 2 ,  

和{  

f 口 1— 5,  

【 b 2— 3 ,  

此时, 对应的   值分别为  

2 4和 9 6 , 相 应 的 n值 分 别 为 8 6 4和 1 0 3 6 8 .  
2 )当 口 1 — 2— 0 , 即口 1 —2 时,  

即 当 n= k + 1时 结 论 也 成 立 .   综 合 I) , Ⅱ) 可知 , 不等 式 口   <2 一  n 一 对 一 

2 a s _ 。.3 h一3 ' ' h一 3  

( 4 )  

切 以≥ 5 都 成立 .  

此 时显 然 口 。 一2 >O ( 否则 等 式 左 右两 边 奇偶 性  不相 同) , 故b z ≤b   .   若b z≥ 2 , 则( 4 ) 式 左 边 是 9的 倍 数 , 而 右 边 是  3 , 无解. 故b z ≤1 .  
若b 2— 0 , 则2 a s 一一3 ' h: 3 , 只可 能 b 1— 0 , 此 

于 是 当 n ≥ 5 时 , n   < 2 一  . 故  【 _< n ,  
所以   1一   1   一 1< n _1 .  

1 5 . 设n +3 6一 (  + 6 ) 。 , 其 中  ∈ N +, 则 n— 
时口 2— 4 ,  一 4 , n= 6 4 .  
x( x- } - 1 2 ) .  

若 b 2 —1 . 则( 4 ) 式即2 “ 2 _ 。 一3 h ' _ 。 一1 , 它 只有 
f   一 2   1 ?3 / , 1.  

依题意 , 可设 {  
b   , b 。 均为非负整数 . 于是 
2 a s?3 h一2 ' " 1 ?3 h 一 1 ' 2  

其中 口   , 口 z ,  

f 口 2 — 2— 1 ,  

f 口 2 — 2— 2 ,  

f 口 2— 3 ,  

I   - - I -1 2— 2   2 ?3   2 ,  

两组解 《 I  
( 1 )  

b 1 — 1= 0 ,  

和{  

【 b 1 — 1— 1 ,  

即{  

l b l = 1 ,  

和{  

l b 1— 2 ,  

此时, 对应的   值分别为 1 2 和3 6 , 相应  

如果口 1 =口 2 —0 , 则3 h一 3 ' ' h=1 2 . 这 是 不 可 能 

的. 所 以口   , 口 z 中至 少 有 一 个 大 于 0 , 于 是  和 - - I - 1 2  

的 n值 分 别 为 2 8 8和 1 7 2 8 .  

均为偶数 , 从而 口   , 口 。 均为正整数.  
若 口  一 1 . 则 2?3 b ,一 1 2- I - 2 a 1.3 h, ' 显然 只可 

因此 . 符合条件 的 n值有 6个 , 分 别为 6 4 , 1 0 8 ,  



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