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错位相减法一般推导过程



“差 比”数列的前 n 项和
?

错位相减法求差比数列前 n 项和
记住这个公式

a1 ? b1 d ? b2 (1 ? q n?1 ) an ? bn?1 Tn ? ? ? 1? q (1 ? q ) 2 1? q a1 ? b1 ? an ? bn?1 d ? b2 (1 ? q n?1 ) Tn ? ? 1?

q (1 ? q ) 2

套用这个公式

你就得到了“差 ?比”数列的前 n 项和 Tn 的 正确结果.

1、 “差 ?比”数列:

已知数列 ?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,cn ? an ? bn ,称 ?cn ? 为“差 ?比”数列.

2、求“差 ?比”数列的前 n 项和 Tn 常用的方法是错位相减法. 3、求“差 ?比”数列的前 n 项和 Tn 的一般推导过程如下: 已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ,等比数列 ?bn ? 的公比为 q ,

cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

解:

    Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ?1 ? cn      Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ... ? an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn     ① ① ? q得 qTn ? a1 ? b1q ? a2 ? b2 q ? a3 ? b3q ? ... ? an ?1 ? bn ?1q ? an ? bn q       qTn ? a1 ? b2 ? a2 ? b3 ? a3 ? b4 ? ... ? an ?1 ? bn ? an ? bn+1    ②

      Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ?    ...      ? an?1 ? bn?1 ? an ? bn      ①            qTn ?       a1 ? b2 ? a2 ? b3 ? a3 ? b4 ?    ...    ? an?1 ? bn ? an ? bn+1 ② ???????????????????????????? ?
这是 n?1项

      Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ?    ...      ? an ?1 ? bn ?1 ? an ? bn      ①            qTn ?       a1 ? b2 ? a2 ? b3 ? a3 ? b4 ?    ...    ? an ?1 ? bn ? an ? bn+1 ② ? ?????????????????????????? ? ?
这是 n?1项

①-②得:

  (1 ? q)Tn ? a1 ? b1 ? (a2 ? a1 )? b2 ? (a3 ? a2 )? b3 ? (a4 ? a3 )? b4 ?   ...  ? (an ? an?1 )? bn ? an ? bn+1
  (1 ? q )Tn ? a1 ? b1 ? d ? b2 ? d ? b3 ? d ? b4 ?   ...  ? d? bn ?an ? bn+1   ? ????? ? ?????? ? ? ? ?? ?
首项为正

末项为负 特别注意:共有n-1项 是首项为d ?b2 公比为q 的等比数列

Sn?1?

d? b2 (1?qn?1) 1?q

(上式中指数为n-1)

(1 ? q)Tn ? a1 ? b1 ?

d? b2 (1 ? q n?1 ) ? an ? bn+1 1? q

d? b2 (1 ? q n ?1 ) a1 ? b1 ? ? an ? bn+1 1? q Tn ? (1 ? q)
Tn ? a1 ? b1 d ? b2 (1 ? q n?1 ) an ? bn?1 ? ? 2 1? q (1 ? q ) 1? q a1 ? b1 ? an ? bn?1 d ? b2 (1 ? q n?1 ) ? 1? q (1 ? q) 2

Tn ?



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