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高一数学相关知识



数学学习整体把握是很重要的,高中数学的重要性不是谁能想象的,刚进入高一,有些 学生还不是很适应,如果直接学习高考技巧仿佛是“没学好走就想跑”。任何的技巧都是建立 在牢牢的基础知识之上,因此建议高一的学生多抓基础,多看课本。

在应试教育中,只有多记公式定理,掌握解题技巧,熟悉各种题型,才能在考试中取得 最好的成绩。在高考中只会做题是不行的,一定要在会的基础上加

个“熟练”才行,小题一般 要控制在每个两分钟左右。

高一数学的知识掌握较多,高一试题约占高考得分的 60%,一学年要学五本书,只要 把高一的数学掌握牢靠,高二,高三则只是对高一的复习与补充。

集合及运算

集合:一般的,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合。

高一数学子集:对于两个集合 A 和 B,

如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集,记作 A?B 读作 A 包含于 B 空集:不含任何元素的集合叫做空集。记为 Φ 集合的三要素:确定性、互异性、无序性

集合的表示方法:列举法、描述法、视图法、区间法

集合的分类:(按集合中元素个数多少分为:)有限集、无限集、空集

常见数集:“N”全体非负整数(或自然数)组成的集合 “N+”或“N*”所有正整数组成的集合 “Z”全体整数组成的集合 "Q“全体有理数组成的集合 “R”全体实数组成的集合 关系:元素属于集合:a∈A 集合与集合:A?B,A=B 运算:交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的交集。记作 A∩B 并集:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的并集 记作 A∪B 补集:由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合,记为 CuA 运算的基本性质

4.集合的运算性质 (1)A∩B=B∩A;A∩B∈A;A∩B∈B;A∩U=A;A∩A=A;A∩φ=φ; (2)A∪B=BUA; A∈A∪B; B∈A∪B;A∪U=U;A∪A=A;A∪φ=A ; (3) Cu(CuA) =A;Cuφ=U; CuU=φ; A∩CuA=φ; A∪CuA=U (摩根定律或反演律); (4)A?B,B?A,则 A=B,A?B,B?C,则 A?C 5.常用结论:

(1) A?B<=>A∩B=A;A?B<=>A∪B=B; A∪B=A∩B<=>A=B (2) CuA∩CuB=Cu(A∪B),CuA∪CuB=Cu(A∩B)——德摩根律

2 相关公式

抛物线

:y = ax^2+ bx + c 就是 y 等于 a 乘 x 的平方加上 bx 再加上 c a > 0 时开口向上 a < 0 时开口向下 c = 0 时抛物线经过原点 b = 0 时抛物线对称轴为 y 轴 还有顶点式 y = a(x-h)^2+ k 就是 y 等于 a 乘以(x-h)的平方+k -h 是顶点坐标的 x k 是顶点坐标的 y 一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为 x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆

体积=4/3πr^3; 面积=πr^2; 周长=2πr 圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注:D^2+E^2-4F>0[1] (一)椭圆周长计算公式

椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该 椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式

椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b) 的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T,但这两个公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高 三角函数

: 两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

高一数学

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) sin2α=2sinαcosα cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 · 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根 公式分类 公式表达式

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'[2] 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 图形周长 面积 体积公式

长方形的周长=(长+宽)× 2 正方形的周长=边长× 4 长方形的面积=长× 宽 正方形的面积=边长× 边长 三角形的面积

已知三角形底 a,高 h,则 S=ah/2 已知三角形三边 a,b,c,半周长 p,则 S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式) (p=(a+b+c)/2) 和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4 已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C,则 S=absinC/2 设三角形三边分别为 a、b、c,内切圆半径为 r 则三角形面积=(a+b+c)r/2 设三角形三边分别为 a、b、c,外接圆半径为 r 则三角形面积=abc/4r 已知三角形三边 a、b、c,则 S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦 九韶)

|ab1| S△ =1/2 * | c d 1 | | e f 1 |[3] |ab1| | c d 1 | 为三阶行列式,此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 ABC |ef1| 选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取, 因为这样取得出的结果一般都为正值, 如果 不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面 积的大小!】

秦九韶三角形中线面积公式: S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中 Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长. 平行四边形的面积=底× 高 梯形的面积=(上底+下底)× 高÷ 2 直径=半径× 2 半径=直径÷ 2 圆的周长=圆周率× 直径=圆周率× 半径× 2 圆的面积=圆周率× 半径× 半径 长方体的表面积= (长× 宽+长× 高+宽× 高)× 2

长方体的体积 =长× 宽× 高 正方体的表面积=棱长× 棱长× 6 正方体的体积=棱长× 棱长× 棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长× 高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积× 高 圆锥的体积=底面积× 高÷ 3 长方体(正方体、圆柱体)

的体积=底面积× 高 平面图形

名称 符号 周长 C 和面积 S 正方形 a—边长 C=4a

S=a2 长方形 a 和 b-边长 C=2(a+b)

S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a 边上的高 s-周长的一半

A,B,C-内角 其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2

=ab/2?sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA)

3 有关定理

1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行或垂直,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行

高一数学 10 内错角相等,两直线平行

11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相 等(等角对等边)

35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在 对称轴上

45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形关于这 条直线对称

46 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三 角形是直角三角形

48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2)× 180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积=对角线乘积的一半,即 s=(a× b)÷ 2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分 一组对角

71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平 分

73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个 图形关于这一点对称

74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等

76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直 线上截得的线段也相等

79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底, 并且等于两底和的一半 l= (a+b) ÷ 2 s=l× h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a/b=c/d,那么(a± b)/b=(c± d)/d 85 (3)等比性质 如果 a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成 比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那 么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(asa) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(sss) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96 性质定理 1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似 比

97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值

100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等于它的余角的正切 值

101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的 弦心距相等

115 推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一 组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相 等

118 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线 l 和⊙o 相交 d<r

②直线 l 和⊙o 相切 d=r ③直线 l 和⊙o 相离 d>r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角

127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项

132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项

133 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 积相等

134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d>r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r<d<r+r(r>r) ④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含 d<r-r(r>r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线, 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于(n-2)× 180° /n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积√3a? /4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360° ,因此 k× (n-2)180° /n=360° 化为(n-2)(k-2)=4 144 弧长计算公式:l=nπr/180 145 扇形面积公式:s 扇形=nπr2/360=lr/2 146 内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(r+r) 147 等腰三角形的两个底角相等

148 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 三线合一 149 如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 等边对等角 150 三条边都相等三个角相等的三角形叫做等边三角形



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