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2016高考数学总复习课时作业堂堂清概率11-3



高三总复习

数学 (大纲版)

第三节 相互独立事件同时发生的概率

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考纲要求

1.了解相互独立事件的意义,会用相互独 立事件的概率乘法公式计算一些事件的概 率. 2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好 发生k次的概率. 1.以考查相互独立事件的概率为主,综合 等可能性事件的概率、互斥事件及对立事 件的概率,同时考查排列、组合知识. 2.以实际问题为背景,考查独立重复试验 的概率问题.

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1.相互独立事件:事件A是否发生对事件B发生的概 没有影响 ,这样的两个事件叫相互独立事件.

2.独立重复试验:如果在一次试验中某事件发生的
概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生 k次 的概率为Pn(k)= .

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3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解: 第一,相互独立也是研究两个事件的关系;

第二,所研究的两个事件是在两次试验中得到的;
第三,两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另 一个事件的发生的概率没有影响”来确定的.

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4.互斥事件与相互独立事件是有区别的: 两事件互斥是指同一次试验中两事件 不能同时发生 ,

两事件相互独立是指不同试验下,二者
两个相互独立事件 不一定 互斥事件 不可能 同时发生.

互不影响



互斥,即可能同时发生,而

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5.事件A与B的积记作A·B,A·B表示这样一个事件, A与B同时发生 .

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1.10张奖券中有2张是有奖的,甲、乙两人从中各抽 1张,甲先抽然后乙抽,设甲中奖的概率为P1,乙中奖的概

率为P2,那么
A.P1>P2 B.P1<P2

(

)

C.P1=P2 D.
P1、P2大小不确定

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解析:设甲中奖用事件 A 表示,乙中奖用事件 B 表示, 2 1 P(A)=P1=10=5, B= A · B+A· B 且A· B 与 A· B 彼此互斥, 8 2 2 1 1 则 P(B)=P( A · B)+P(A· B)=10×9+10×9=5.

答案:C

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2 .箱子里有 5 个黑球, 4 个白球,每次随机取出一个 球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球, 则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为 ( )

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解析:由题意,知第四次取球后停止即是当且仅当前 三次取的球是黑球,第四次取的是白球的情况,此事件发 生的概率为 答案:B 故选B.

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3 .甲、乙两颗卫星同时监测台风.在同一时刻,甲、 乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8 、 0.75 ,则在同 一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________.

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解析:甲、乙都预报准确的概率为0.8×0.75=0.6;甲 预报准确而乙预报不准确的概率为 0.8×(1-0.75)=0.2;甲 预报不准确而乙预报准确的概率为 (1 - 0.8)×0.75 = 0.15. 综 上知 P = 0.6 + 0.2 + 0.15 = 0.95. 或用间接法: P = 1 - (1 - 0.8)(1-0.75)=0.95. 答案:0.95

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4 .一个坛子里有编号为 1,2 ,?, 12 的 12 个大小相同 的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球,若从中任取 两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数 的概率是 ( )

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解析:从中任取两个球共有 C2 12=66 种取法,其中 取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的取法 12 2 2 2 有 C6-C3=12 种取法,概率为66=11.

答案:D

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5.(2009·合肥质检二)某交通环岛有三岔路口,有6辆 汽车汇入环岛内,都等可能地从其中一个路口驶出环岛. (1)求按1,2,3分别从三个岔路口驶出环岛的情况有多少 种? (2) 如果从三岔路口中某一路口恰好驶出 n 辆车的概率 为 ,求n的值.

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解:(1)因为有 6 辆汽车,且按 1,2,3 分别从三个岔 2 3 3 路口驶出, 那么驶出环岛的情况有: C1 C 6 5C3A3=360(种). (2)因为每辆汽车等可能地从三岔路口驶出环岛, 所以每辆汽车从三岔路口中每一路口驶出环岛的概率 1 都为3,n 辆汽车从三岔路口中某一路口驶出,那么 1 6-n 80 n 1 n C6(3) (1-3) =243(0<n≤6), 6-n ∴Cn 2 =240,∵0<n≤6,∴n=2. 6

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相互独立事件的概率 [例1] (2009·全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛, 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一 局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛

结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率. [分析 ] (1) 只要第 3、4局比赛都是甲胜或乙胜即可; (2)只要甲再胜2局,可能的情况是第3、4局甲胜或第3、4局 甲、乙各胜一局,第5局甲胜.

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[解]

记“第i局甲获胜”为事件Ai(i=3,4,5),“第j局

乙获胜”为事件Bj(j=3,4,5). (1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A,则 A=A3·A4+B3·B4,由于各局比赛结果相互独立,故 P(A)=P(A3·A4+B3·B4) =P(A3·A4)+P(B3·B4)

=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)
=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.

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(2) 记“甲获得这次比赛胜利”为事件 B ,因前两局中, 甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面 的比赛中,甲胜2局,从而 B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5,由于各局比赛结果 相互独立,故 P(B)=P(A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5)

=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5)
=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.

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[拓展提升]

本题以体育比赛为背景,通过一个“5局

3胜制”的赛局,在给出“前两局一胜一负”的前提条件下,
求两个随机事件的概率,主要是考查相互独立事件的概率 知识,考查考生分析实际问题的能力.

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设甲、乙两射手独立地向同一目标射击一次,他们击 中目标的概率分别为0.9、0.8,求: (1)目标恰好被甲击中的概率; (2)目标被击中的概率.

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解:设事件 A:“甲击中目标”,事件 B:“乙 击中目标”,则 A、B 相互独立,A 与 B , A 与 B 都 是相互独立的. (1)目标恰好被甲击中,即事件 A· B 发生, ∵P(A· B )=P(A)· P( B )=0.9×(1-0.8)=0.18, ∴目标恰好被甲击中的概率为 0.18.

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(2)解法一:∵目标被击中,即甲、乙两人 至少有一人击中目标, 即事件 A· B或A· B 或 A· B 发生. ∵事件 A· B或A· B 或 A· B 彼此互斥, ∴P(A· B+A· B+A· B) =P(A· B )+P( A · B)+P(A· B) =P(A)· P( B )+P( A )· P(B)+P(A)· P(B) =0.9×0.2+0.1×0.8+0.9×0.8=0.98, 故目标被击中的概率为 0.98.

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解法二:目标被击中的对立事件是 A+B . ∵P( A+B )=P( A · B )=P( A )· P( B ) =[1-P(A)]· [1-P(B)] =(1-0.9)(1-0.8)=0.02. ∴P(A + B) = 1 - P( A+B ) = 1 - 0.02 = 0.98. 故目标被击中的概率为 0.98.

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独立重复试验 [例2] (2009·北京高考)某学生在上学路上要经过4个 ,遇到红灯时停留的时间都是2 min. 路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是 灯的概率; (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至
多是4 min的概率.

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[分析 ]

第(1) 问就是求前两个路口没有遇到红灯,第

三个路口遇到红灯这三个相互独立事件同时发生的概率; 第(2) 问的事件等价于通过四个路口后,遇到的红灯次数不 超过两次,应分三种情况解决.

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[解]

(1) 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次

遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一 和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯 ” , 所以事件A的概率为

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(2)设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总 时间至多是 4 min 为事件 B,这名学生在上学路上遇 到 k 次红灯为事件 Bk(k=0,1,2). 2 4 16 由题意得 P(B0)=(3) =81. 32 1 1 1 2 3 P(B1)=C4(3) (3) =81, 24 2 1 2 2 2 P(B2)=C4(3) (3) =81, 由于事件 B 等价于事件“这名学生在上学路上 至多遇到 2 次红灯”,所以事件 B 的概率为 P(B)= 8 P(B0)+P(B1)+P(B2)=9.

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[拓展提升 ]

本题第(2) 问将问题归结为一个成功概率

是的四次独立重复试验,事件发生0次、1次、2次的概率之 和,利用独立重复试验解决问题,这是解答概率综合题的 一个重要技巧.

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[错误分析 ] 果是

本题可能出现的错误是在第 (1)问中考虑

第四个路口,认为第四个路口不遇到红灯,这样计算的结 这实际上是计算的通过四个路口只在第三个路口 遇到红灯;本题第 (2) 问容易漏掉两次遇到红灯或一次也没 有遇到红灯的情况,n次独立重复试验中是n+1类,解题时 不要忽视了这点.

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某足球赛事件中,甲、乙两支球队进入决赛,但乙队 明显处于弱势,乙队为争取胜利,决定采取这样的战术: 顽强防守,以 0∶0 逼平甲队进入点球大战.假设在点球大 战中双方每名运动员进球的概率均为 .现规定:点球大战 中每队各出5名队员,且每名队员各踢一球,求:

(1) 乙队以 4 3 点球取胜的概率有多大 ( 结果精确到
0.001)? (2) 设点球中乙队得分为随机变量 ξ ,求乙队在五个点

球中得分ξ的概率分布和数学期望.

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解:(1)乙队以 点球取胜的概率为 P=C4 5 34 1 33312 37 (4) · (4)C5(4) (4) =25×219≈0.104.

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(2)乙队在五个点球中得分ξ的概率分布:

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数学期望:
1 15 45 135 Eξ = 0× 210 + 1× 210 + 2× 29 + 3× 29 + 405 243 4× 210 +5× 210 =3.75

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事件的独立性与不等式的综合问题 [例3] 四个纪念章 A、B、 C、 D,投掷时正面向上的 概率如下表所示:

纪念章

A

B

C

D

概率

a

a(0<a<1)

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这四个纪念章同时投掷时,出现n个正面的概率记作Pn. (Ⅰ)求概率Pi(i=0,1,2,3,4); (Ⅱ)求在概率Pi中,P2为最大时,a的取值范围.

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[解] (1)Pi 是 i 个正面向上,4-i 个背面向上的概 率. 12 0 1 0 2 P0=C2(1- ) C2(1-a) = (1-a)2. 2 4 1 0 12 1 1 11 2 0 P1=C2 (1- )C2(1-a) +C2(1- ) · C2a(1-a)= 2 2 2 2 (1-a). 1 1 2 1 2 0 2 11 P2=C2( ) C2(1-a) +C2 (1- )C2a(1-a)+C0 2(1- 2 2 2 12 2 2 1 2 ) C a = (1 + 2 a - 2 a ). 2 2 4 1 2 2 a 2 1 2 1 11 P3=C2(2) C2a(1-a)+C22(1-2)C2a =2. 1 2 2 1 2 2 2 P4=C2(2) C2a =4a .

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(2)∵0<a<1,∴P0<P1,P4<P3. 1+2a-2a2 1-a 2a2-4a+1 P2-P1= - 2 =- ≥0. 4 4 1 a 1 P2-P3=4(1+2a-2a2)-2=-4(2a2-1)≥0, 2+ 2 ?2- 2 2 ? 2 ≤a≤ 2 , ? ?2a -4a+1≤0, 由? 2 ?? ? ?2a -1≤0 ?- 2≤a≤ 2. 2 ? 2 2- 2 2 ∴ 2 ≤a≤ 2 .

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[ 拓展提升 ]

本题考查贝努里概型的基本概念和灵活

运用,是与不等式、极值的综合运用.

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设飞机A有两个发动机,飞机B有四个发动机,如有半

数或半数以上的发动机没有故障,就能够完全飞行,现设
各个发动机发生故障的概率p是t的函数p=1-e-λt,其中t为 发动机启动后所经历的时间,λ 为正的常数,试讨论飞机 A 与飞机B哪一个安全?(这里不考虑其他故障)

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解:当A的两个发动机都有故障时,不能安全飞行,A 安全飞行的概率PA=1-p·p=1-p2.

当 B 的三个或四个发动机都有故障时,不能安全飞行,
B安全飞行的概率 PA-PB=-3p4+4p3-p2 =-p2(p-1)(3p-1).

由于0<p<1,则p-1<0,p2>0.

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1 ①当 PA-PB>0 时,P>3, 1 3 -λt 1 λt 3 此时,1-e >3,e >2,t> λ ln2,此时 A 安全. 1 1 3 ②当 PA-PB=0 时,p=3,t= λ ln2,此时 A 与 B 同样安全. 1 1 3 ③当 PA-PB<0 时,0<p<3,t< λ ln2,此时 B 安全.

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1.本节综合性强,涉及的概念、公式较多,学习时应准 确理解这些概念、公式的本质内涵,注意它们的区别与联 系.例如,若独立重复试验的结果只有两种(即 A 与 A ,A+ A 是必然事件),在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次 k k n-k 的概率 Pn(k)=Cnp (1-p) 就是二项式[(1-p)+p]n 展开式中 的第 k+1 项,故此公式可称为二项分布公式;又如两事件 A、 B 的概率均不为 0、1 时,“若 A、B 互斥,则 A、B 一定不相 互独立”“若 A、B 相互独立,则 A、B 一定不互斥”等体现 了不同概念、公式之间的内在联系.

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2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合”. (1)求概率的步骤:

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(2)概率问题常常与排列组合问题相结合.

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