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高二数学选修2-1单元测试题



2010 级高二数学选修 2-1 单元测试题(六)
班级 __________ ____ 姓名 __________ ____

一.选择题 1.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 k a+b 与 2 a-b 互相垂直,则 k 的值 是( ) A. 1 B.

1 5

C.


3 5

D.

7 5


2.已知 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则5a与3b 的数量积等于 ( A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

3. 已知 A、 C 三点不共线, B、 对平面 ABC 外的任一点 O, 下列条件中能确定点 M 与点 A、 B、C 一定共面的是( ) B. OM ? 2OA ? OB ? OC

A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ?

1 1 1 1 1 D. OM ? OA ? OB ? OC OB ? OC 2 3 3 3 3 4.已知向量 a=(0,2,1) b=(-1,1,-2) , ,则 a 与 b 的夹角为 (



A. 0° B. 45° C. 90° D.180° 5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的 中线长为 ( A.2 ) B.3 C.4 D.5

6.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面 直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共面; ④已知三向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其中正 确命题的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D.3 7.已知空间四边形 ABCD,M、G 分别是 BC、CD 的中点,连结 AM、AG、MG,则
? ??

AB + ( BD ? BC ) 等于(
? ?? ? ??

? ? 1 ??? ??? 2


? ??

A. AG

C. BC D. 2 BC ???? ? ???? ??? ? ??? ? 8.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c , 则 A1 B ? ( C. ?a ? b ? c ???? ???? ? ? 9.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 A1 C 1 A.有相同起点的向量 C.共面向量 B.等长向量 D.不共面向量 A. a ? b ? c B. a ? b ? c D. ?a ? b ? c 是 ( )

B. CG

1

? ??



???? ??? ? 10.已知点 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) 为线段 AB 上一点,且 3 | AC |?| AB | ,则点的 ,C

坐标是
7 1 5 A. ( , ? , ) 2 2 2

( B.

)
3 ( ,? 3 , 2 ) 8 10 7 C. ( , ?1, ) 3 3 5 7 3 D. ( , ? , ) 2 2 2

11. A、 C、 是空间不共面的四点, 设 B、 D 且满足 AB ? AC ? 0, AB ? AD ? 0, AC ? AD ? 0 , 则△BCD 是 ( A.钝角三角形 ) B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定

12.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( A. ? ) C.

2 5

B.

2 5

3 5

D.

10 10

二.填空题 13 . 已 知 向 量 a=( ? +1,0,2 ? ) , b=(6,2 ? -1,2), 若 a ∥ b, 则 ? 与 ? 的 值 分 别 是 .

14 . 已 知 a,b,c 是 空 间 两 两 垂 直 且 长 度 相 等 的 基 底 , m=a+b,n=b-c, 则 m , n 的 夹 角 为 . 15.已知向量 a 和 c 不共线,向量 b≠0,且 (a ? b) ? c ? ( b ? c) ? a,d=a+c,则 ?d , b? = .

16. (如图)一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点 A 为 端点的三条棱长都等于 1,且它们彼此的夹角都是 60 ,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长为 。
?

三.解答题 17.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 DC 的中点,取如图所示的空间直角坐标系. (1)写出 A、B1、E、D1 的坐标; (2)求 AB1 与 D1E 所成的角的余弦值.

18.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,如图E、F分别是 BB1 ,CD的中点, (1)求证: D1 F ? 平面 ADE; (2)cos EF ,CB1 .

z D1 B1 E D F x A B C y C1

A1

19.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD, PD ? DC ,E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA ∥平面 EDB ; (2)证明 PB ? 平面 EFD.

20.如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°, 1 SA⊥平面 ABCD, SA=AB=BC=1,AD= . z 2 (1)求 SC 与平面 ASD 所成的角余弦; (2)求平面 SAB 和平面 SCD 所成角的余弦.
B S y

C

A

D

x

21.如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD中,∠ABC=600 , PB=PD= 2 a ,点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (1)证明 PA⊥平面 ABCD; (2)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小
A B

P

PA=AC=a ,

E

D C

AB 22. 是平面 ABCD 外的点, P 四边形 ABCD 是平行四边形, ? ? 2, ?1, ?4 ? , AD ? ? 4, 2, 0 ? , ??? ? AP ? ? ?1, 2, ?1? .
(1)求证:PA ? 平面 ABCD. (2)对于向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ), b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,定义一种运算:

??? ?

????

?

?

? ? ? (a ? b) ? c ? x1 y2 z3 ? x2 y3 z1 ? x3 y1 z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1z3 ? x3 y2 z1 ,
试计算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值;说明其与几何体 P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这 种运算 ( AB ? AD) ? AP 的绝对值的几何意义(几何体 P-ABCD 叫四棱锥,锥体体积公式: V= ? 底面积 ? 高 ).

??? ???? ??? ? ? ??? ???? ??? ? ?

1 3

2010 级高二数学选修 2-1 单元测试题(六)答案
一.选择题

题号 答案

1 D

2 A

3 D

4 C

5 B

6 A

7 A

8 D
6

9 C

10 C

11 C

12 B

二、填空题:13.

1 1 、 .14. 60° 5 2

15. 90°16.

17 解:(1) A(2, 2, 0),B1(2, 0, 2),E(0, 1, 0),D1(0, 2, 2) → → → → (2)∵ AB1 =(0, -2, 2), 1 =(0, 1, 2) ∴ |AB1 |=2 2 , 1 ED |ED → → |= 5 ,AB1 ·ED1 =0-2+4=2, → → → → AB1 ·ED1 2 10 ∴ cos ?AB1 , 1 ? = ED = = . AB1 ∴ 10 → → 2 2× 5 |AB1 |·|ED1 | 与 ED1 所成的角的余弦值为 10 . 10

18 解:建立如图所示的直角坐标系, (1)不妨设正方体的棱长为 1, 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) D1 (0,0,1) , ,

1 1 ) ,F(0, ,0) , 2 2 1 则 D1 F =(0, ,-1) D A =(1,0,0) , , 2 1 , AE =(0,1, ) 则 D1 F ? DA =0, 2 D1 F ? AE =0, ? D1 F ? DA , D1 F ? AE . ? D1 F ? 平面 ADE.
E(1,1, (2) B1(1,1,1) ,C(0,1,0) ,故 CB1 =(1,0,1) EF , =(-1,-

z D1 B1 E D F x A B C y C1

A1

1 1 ,- ) , 2 2 1 3 =- , 2 2
? ? 3 2 ??
EF ? 1 ? 1 1 ? ? 4 4 3, 2

? EF ? CB1 =-1+0-
EF ? CB1 EF ? CB1

CB1 ? 2 ,

则 cos EF , CB ? 1

3 ? 2 2

3. 2

EF , CB1 ? 150 ?

19 解:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点.设 DC (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 G.连结 EG.

? a.

a a A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E (0, , ) 2 2 底面 ABCD 是正方形, ?G 是此正方形的中心, ?
依题意得

a a ??? ? ??? ? , , 0) 且 PA ? (a, 0, ?a), EG ? ( a , 0, ? a ). 2 2 ??? ? ??? ? 2 2 ? PA ? 2EG . 这表明 PA∥EG . 而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,? PA 平面 EDB。 ∥ ??? ? ? ?a a 又 ) ( ,。 , a (2) 证 明 : 依 题 意 得 B( a, a, 0 )P, B ???? a a a2 a2 DE ? ( 0 , , 故 PB,? DE ? 0 ? ? ? 0 ) 2 2 2 2
故点 G 的坐标为 (

? PB ? DE , PB ? 平面 EFD.
20 解: (1)
6 3

由已知

, EF ? PB ,且 EF ? DE ? E 所以

(2)

6 3

21(1)证明 因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a, 在△PAB 中, 由 PA2+AB2=2a2=PB2 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)解 作 EG//PA 交 AD 于 G, 由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连结 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 ? 的平面角. 又 PE : ED=2 : 1 , 所 以

P

E A

1 2 3 EG ? a, AG ? a, GH ? AG sin 60? ? a. 3 3 3
B

D C

从而

EG 3 tan ? ? ? , GH 3
??? ??? ? ?

? ? 30?.

22 解: (1) AP ? AB ? (2, ?1, ?4) ? (?1, 2, ?1) ? ?2 ? (?2) ? 4 ? 0

??? ??? ? ? ? AP ? AB即AP ? AB
??? ???? ? AP ? AD ? (?1, 2, ?1) ? (4, 2, 0) ? ?4 ? 4 ? 0 ? 0
??? ???? ? ? AP ? AD即PA ? AD ? AD ? 面ABCD
(2) AB ? AD ? AP ? 48, 又cos AB ? AD ?

?

??? ???? ??? ? ?

?

??? ???? ?

3 105

? ??? ???? ??? ? ? 1 ??? ???? AB ? AD ? sin AB ? AD ? AP ? 16 3 ??? ???? ??? ? ? 猜测: AB ? AD ? AP 在几何上可表示以 AB,AD,AP 为棱的平等六面体的体积(或以
V=

?

?

AB,AD,AP 为棱的四棱柱的体积)



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