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福建省武平县第一中学2016届高三上学期数学(文)周考试题(10月28日) Word版含答案



高三(文科)数学周考试卷 2015

10.28

一、选择题(每题 6 分) 1.复数 z 满足 ?1 ? 2i ?z ? 7 ? i ,则复数 z 的共轭复数 z ? ( A.1+3i B.1﹣3i C.3+i
o

) D.3﹣i )

2.用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不

大于 60 ”时,应假设( A.三个内角都不大于 60 C.三个内角都大于 60
o o

B.三个内角至多有一个大于 60

o

D.三个内角至多有两个大于 60

o

3.有 3 位同学参加测试,假设每位同学能通过测试的概率都是 是相互独立的,则至少有一位同学能通过测试的概率为( A. B. C. D. )

1 ,且各人能否通过测试 3

4.函数 f ( x) ? lg(1 ? x2 ) ,集合 A ? { x | y ? f ( x)} ,

B ? { y | y ? f ( x)} ,则右图中阴影部分表示的集合为
A. [?1, 0] B. (?1 , 0) C. (?? , ?1) ? [0 ,1)





D. (?? , ? 1] ? (0 ,1) )

5.已知向量 a ? (2,3), b ? (?1,2) ,若 ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,则 m 的值为( A.

?

?

?

?

?

?

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ? 2 )的部分图象如图所示,为

6.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,|φ |< 了得到 g(x)=sin 2x 的图象,则只需将 f (x)的图象( )

A.向右平移

个长度单位

B.向右平移 C.向左平移 D.向左平移

个长度单位 个长度单位 个长度单位 )

7.函数 f ( x) ? log a x ? 1 , (0 ? a ? 1) 的图象大致为下图的(

8.已知函 f ? x ? ? ? 值范围为( A. ?1, 2 ? ).

? ?? a ? 2 ? x ? 1, x≤1, 若 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增,则实数 a 的取 log x , x ? 1. ? ? a

B. ? 2,3?

C. ? 2,3?
'

D. ? 2, ?? ?

9.函数 y ? f ? x ? 的图象如图所示,则导函数 y ? f

? x ? 的图象可能是(



? 2 x ? 1 , x<2, ? 若方程f ? x ? ? a ? 0 有三个不同的实数根,则实数 a 10.已知函数 f ? x ? ? ? 3 , x ? 2, ? ? x ?1
的取值范围 ( ) A.

? 0,1?

B. ? 0, 2 ?

C.

? 0,3?

D. ?1,3?

二、填空题(每题 6 分) 11.已知 sin2α =﹣ ,α ∈(﹣
3 2

,0) ,则 sinα +cosα =________.

12 . 已 知 函 数 f ? x ?=x ? mx ? (m ? 6) x ? 1 存 在 极 值 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 为 _ _________. 13.函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调递增区间是 .

?sin ? x, x ? ?0, 2 ? ? 14.对于函数 f ( x) ? ? 1 ,有下列 4 个命题: f ( x ? 2), x ? (2, ?? ) ? ?2
①任取 x1、x2 ??0, ??? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立; ② f ( x) ? 2kf ( x ? 2k ) (k ? N ) ,对于一切 x ? ?0, ?? ? 恒成立;
*

③函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点; ④对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x ) ? 则其中所有真命题的序号是

2 恒成立. x


请把选择题、填空题的答案填入下表: 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11. 三、解答题

12.

13.

14.

15. (本题满分 16 分) 已知 m ? (2sin x,sin x ? cos x) , n ? ( 3cos x,sin x ? cos x) ,记函数 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x) 的最大以及取最大值时 x 的取值集合; (2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C) ?2 ,c ? 3 ,求 ?ABC 面 积的最大值.

??

?

?? ?

16. (本小题满分 18 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? ln x, a ? R. (Ⅰ)若函数 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 x ? 1时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

? 1? 17. (本题满分 16 分)设函数 f(x)=?x+ ? +|x-a|(a>0). ?
a?
(1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

18. (本题满分 16 分)已知直线 的参数方程为: 点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

,以坐标原 .

(Ⅰ)求曲线 C 的参数方程; (Ⅱ)当

时,求直线 与曲线 C 交点的极坐标.

高三(文科)数学周考试卷 2015 参考答案 1.B

10.28

? (1 ? 2i) z ? 7 ? i ∴z=
选 B.

=

=

? 1 ? 3i , 共轭复数 ? 1 ? 3i . 故

2.C 反证法第一步应假设结论不成立即结论的反面成立,所以“三角形三个内角至少有一个不 大于 60? ”时,应假设为:三个内角都大于 60? .故 C 正确. 3.D
3 :所有的同学都没有通过的概率为 (1 ? ) ?

1 3

8 ,所以至少有一位同学能通过测试的概率为 27

1?

8 19 ? ,故选:D. 27 27

4.D 5.D

? ? ? ? ma ? 4b ? m?2,3? ? 4??1,2? ? ?2m ? 4,3m ? 8? , a ? 2b ? ?2,3? ? 2??1,2? ? ?4,?1? ; 因 为

? ? ? ? ma ? 4b 与 a ? 2b 共线,所以 ?2m ? 4?? ??1? ? ?3m ? 8?? 4 ,得 m ? ?2 .
6.A 由函数 f ( x) ? A sin ??x ? ? ? (其中 A>0, ? < = ? = ﹣ )的部分图象可得 A=1, +φ =π ,∴ ? ?

,求得ω =2.再根据五点法作图可得 2× ) .故把 f(x)=sin(2x+

?
3



f(x)=sin(2x+

)的图象向右平移

个长度单位,可得

y=sin=g(x)的图象,故选 A. 7.A

? a?2?0 ? a ?1 ?2 ? a ? 3, 8. C 【要满足函数是增函数, 需满足 ? 实数 a 的取值范围为 ? 2,3? ? a ? 2 ? 1 ? log 1 a ?
9.D 原函数在 x ? 0.x ? 0 两部分都是单调递减的,所以导数值均为负数,只有 D 正确 10.A 11. 12. m ? ?3 或 m ? 6

∵ 函 数

f ? x ?=x3 ? mx2 ? (m ? 6) x ?1 既 存 在 极 大 值 , 又 存 在 极 小 值

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2mx ? m ? 6 ? 0 ,它有两个不相等的实根,∴ ? ? 4m2 ?12 ? m ? 6? ? 0 解得
m ? ?3 或 m ? 6 ,故答案为: m ? ?3 或 m ? 6 .
1, ?? ? 13. ?
14.①③④

因为

f ?( x) ? 1 ?

1 ? 0 ? x ?1 1, ?? ? x ,所以单调递增区间是 ?

试题分析:根据题中所给的函数解析式,可知函数在 [0, ??) 上的最大值和最小

值分别是 1 和 ?1 ,所以①对, f ( x) ? 2k f ( x ? 2k ) (k ? N* ) ,对于一切 x ? ?0, ?? ? 恒成立, 故②错,根据图像可知函 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点,故③对,根据图像,可以判断④正 确,故答案为①③④. 15. (1)由题意,得

?? ? f ( x) ? m ? n ? 2 3sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x

? 3 sin 2 x ?

? ? ? ? ymax ? 2 ,当 f ( x) 取最大值时,即 sin(2 x ? ) ? 1 ,此时 2 x ? ? 2k? ? (k ? Z ) ,解 6 6 2
得 x ? k? ?

? 2sin(2 x ? ) 6

?

1 ? cos 2 x 1 ? cos 2 x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

?

? ? ? (k ? Z ) ,所以 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? . 3 3 ? ?
?
6 ) ? 1 ,又 0 ? C ? ? ,即 ?

(2)因 f (C) ? 2 ,由(1)得 sin(2C ? 所以 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

?
6

?

?
2

,解得 C ?

?
3

11? , 6

2 2 2 ,在 ?ABC 中,由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ,

2 2 得 3 ? a ? b ? ab ? ab , 即 ab ? 3 , 所以 S ?ABC ?

1 3 3 3 ab sin C ? ,所以 ?ABC 面 ab ? 2 4 4

积的的最大值为

3 3 . 4
1 . x
4分

16. (Ⅰ) f ?( x) ? 2 x ? a ?

1 f ?(1) ? 2 ? a ? ? 0 1 由题意得, 即a ? 3

(Ⅱ) a ? 3 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 x ,定义域为 (0, ??) ,

f ?( x) ?

1 1 ? 2 x 2 ? 3x ? 2x ? 3 ? x x

当0 ? x ? 当

1 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 2

故 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ), (1, ??) ,单调递减区间为 ( ,1) .

1 2

1 2

8分

ln x ? x 2 (Ⅲ)解法一:由 f ( x) ? 0 ,得 a ? 在 x ? 1 时恒成立, x
令 g ( x) ?

ln x ? x 2 1 ? x 2 ? ln x ,则 g ?( x) ? x x2

-10

令 h( x) ? 1 ? x 2 ? ln x ,则 h?( x) ? 2 x ?

1 2 x2 ?1 ? ?0 x x

所以 h( x) 在 (1, ??) 为增函数, h( x) ? h(1) ? 2 ? 0 . 故 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (1, ??) 为增函数. g ( x) ? g (1) ? 1 , 所以 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围为 (??,1] . 解法二: f ?( x) ? 12 分

1 1 ? 2 x 2 ? ax ? 2x ? a ? x x

令 g ( x) ? 2 x 2 ? ax ? 1 ,则 ? ? a 2 ? 8 , (Ⅰ)当 ? ? 0 ,即 ?2 2 ? a ? 2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 因为 x ? 1 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,

f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? (?2 2,1] ;
(Ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 时, f ?( x) ? 0 恒成立, 因为 x ? 1 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,

f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ;
(Ⅲ)当 ? ? 0 ,即 a ? ?2 2 或 a ? 2 2 时, 方程 g ( x) ? 0 有两个实数根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? 4 4

若 a ? ?2 2 ,两个根 x1 ? x2 ? 0 , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增, 则 f ( x) ? f (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,所以 a ? ?2 2 ; 若 a ? 2 2 , g ( x) ? 0 的两个根 0 ? x1 ? x2 , 因为 f ( x) ? 1? a ? 0 ,且 f ( x) 在 (1, ??) 是连续不断的函数 所以总存在 x0 ? 1 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,不满足题意. 综上,实数 a 的取值范围为 (??,1] .

? 1? ? 1 ? 1 17.解:(1)证明:由 a>0,有 f(x)=?x+ ?+|x-a|≥?x+ -(x-a)?= +a≥2.所 ?
a?

?

a

? a

以 f(x)≥2.

? 1? (2)f(3)=?3+ ?+|3-a|. ?
a?
1 5+ 21 当 a>3 时,f(3)=a+ ,由 f(3)<5,得 3<a< . a 2 1 1+ 5 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5,得 <a≤3. a 2 综上,a 的取值范围是? ] 8.(1)由 程为

?1+ 5 5+ 21? , ?. 2 ? ? 2
,可得 所以曲线 的直角坐标方

,标准方程为

曲线

的极坐标方程化为参数方程为

(2)当

时,直线 的方程为

,化成普通方程为



,解得



所以直线 与曲线

交点的极坐标分别为



;

,

.



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