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2.湖北省八市2011届高三年级三月调考(数学文)



湖北省八市2011年高三年级三月调考 湖北省八市2011年高三年级三月调考 2011 文科数学试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 注意事项: 1. 考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后,用2万铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无 效。 选择题, 50分 第I卷(选择题,共50分) 本大题共10小题,每小题5 10小题 50分 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 求的. 1. 向量 A. 2. 设集合 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3. 设 ,则 = B. C. , ,且 D. ,则“ B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ”是“ ”的 ,则锐角a的值为

A.

B. ,且

C.

D. ,给出下列四个命题

4. 已知直线l、m,平面 ①若 ③若 ②若 ④若

其中正确的命题个数为 A. 1 5. 若 B. 2 C. 3 D. 4

展开式中含有常数项,则正整数《的最小值是

A. 4 6. 点 是函数

B. 3

C. 2

D. 1 一的图象的一个对称中心,且点P到该图象的

对称轴的距离的最小值为 A. C. 的最小正周期是 的初相 为

,则 B. D. 的值域为[O, 4] 在 ,则 B. 9 C. 10 上单调递增 的最小值为 D. 12 为半径

7. 已知a〉0, b>0,且M=I, A. 8 8. 已知

分别是双曲线

(a>b,b〉0)的左、右焦点,以坐标原点O为圆心, 的面积等于 时,双曲线的离心率为 D. 2

的圆与双曲线在第一象限的交点为P,则当 A. B. C.

9. 函数

的值域为

A.

B.

C.

D. AD=DC=1, AB=3,动点P在A5CD内运动(含边界),设

10. 如图,在直角梯形ABCD中,AB丄CD, ,则 A. B. 的最大值是 C. 1

D.

第II卷(非选择题,共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡中相应的位置. 填空题:本大题共5小题,每小题5 25分 请将答案填在答题卡中相应的位置. 11. 已知等差数列 满足 ,则 =______

12. 把容量为100的某个样本数据分为10组,并填写频率分布表,若前七组的频率之和为0.79,而剩下三 组的频数成公比为2的等比数列,则剩下三组中频数最高的一组频数为_______ 13. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”,即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大,则由 1, 2, 3, 4,5可组成不重复的“五位波浪数”有_______个.

14. 过点P(

,-1)作抛物线

的两条切线PA、P B ( A , B 为切点),若

,则a=_______ &

15. —个半径为

的冰球,受热后幵始融化,融化时,半径与时间t (单位:小时)的关系为:

为常数已知从受热开始,经过2小时融化了其体积的 ,则剩余部分还需_______小时融化完(精确到1小 时,参关系考数据: .

三、解答题:本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题共6个小题, 75分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 演算步骤 16. (本小题满分12分) 本小题满分12分 12 甲、乙、丙三人射击同一目标,各射击一次,是否击中是相互独立的.将甲、乙、丙三人击中目标分别记 为事件丄B、C,己知八…= , ( I ) 求至少有一人击中目标的概率; ( I I ) 求P(B)、P(C)的值. 且 .

17. (本小题满分12分) 本小题满分12分 12 在 中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且 .

( I ) 求角A (II) 设 ,求 的最大值.

18. (本小题满分12分) 本小题满分12分 12 如图,两矩形ABCD,ABEF所在平面互相垂直,DE与平面ABCD及平面ABEF 所成角分别为 ,M、N分别为与的中点,且MN=1.

( I ) 求证:M N 丄平面ABCD ( I I ) 求线段AB的长; ( I I I ) 求二面角A—DE—B的平面角的正弦值.

19. (本小题满分12分) 本小题满分12分 12

函数

及其

的图象如下:

(I) 求 ( I I ) 若.

的解析式; 在区间[1, )上单调递增,求a的取值范围.

20. (本小题满分13分) 本小题满分13分 13 已知动点 与两定点M(—1,0), N(l,0)连线的斜率之积等于常数 .

( I ) 求动点P的轨迹C的方程, ( I I ) 试根据 的取值情况讨论轨迹C的形状; (III) 当 时,过定点F(0, 1)的直线l与轨迹C交于A,B两点,求 的值.

21. (本小题满分14分) 本小题满分14分 14 已知数列 :满足: , ,记 .

( I ) 求证:数列 (II) 若 (III)证明:

是等比数列; 对任意 恒成立,求t的取值范围;

2011年湖北省八市高三三月联考 文科数学参考答案及评分标准 一、选择题(5分×10=50分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 A 9 A 10 B

二、填空题(5分×5=25分) 11.2 12.12 13.16 14.

1 4

15.20

三、解答题(75分,答案仅供参考,其它解法酌情给分) 16解: (Ⅰ)至少有一人击中目标的对立事件为三人都不击中, 1 14 故所求概率为 1 ? p( ABC ) = 1 ? = 15 15

(5分)

1 ?3 ? 5 P( B) ? P(C ) = 5 ? (Ⅱ)由题设可得 ? ? 2 [1 ? P( B)][1 ? P(C )] = 1 ?5 15 ? 1 ? ?P( B) ? P(C ) = 3 ? 即? ,注意到 P( B) > P(C ) ?P( B) + P(C ) = 7 ? 6 ? 2 1 , P(C)= 3 2 17解: (Ⅰ)由1+cos2A―cos2B―cos2C=2sinB·sinC 得
解之得 P(B)=

(7分)

(9分)

(12分)

sin 2 B + sin 2 C ? sin 2 A = sin B sin C
由正弦定理得 b2 + c 2 ? a2 = bc , ∴ cos A =

(2分) (4分)

b2 + c2 ? a 2 1 = 2bc 2
∴A=

(6分) 3 1 ? cos 2B 1 ? cos 2C 1 + = 1 ? (cos 2B + cos 2C ) (Ⅱ) f ( B) = (8分) 2 2 2 2 2 由(Ⅰ)得 B + C = π ? A = π ,∴ C = π ? B 3 3 1 4 1 π ∴ f ( B) = 1 ? [cos 2B ? cos( π ? 2B)] = 1 ? [cos 2B ? cos( ? 2B)] 2 3 2 3 ∵0<A<π

π

1 1 3 1 π = 1 ? (cos 2B ? cos 2B ? sin 2B) = 1 + sin(2 B ? ) 2 2 2 2 6

(10分)

7 < π 6 6 6 3 π π π 令 2 B ? = 即 B = 时, f (B) 取得最大值 . (12分) 6 2 3 2 18解: (Ⅰ)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,且平面 ABCD ∩ 平面 ABEF=AB EB⊥AB ∴EB⊥平面 ABCD 又 MN∥EB ∴MN⊥面 ABCD. (3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知∠EDB 为 DE 与平面 ABCD 所成的角 ∴∠EDB=30o EB =4 又在 Rt△EBD 中,EB=2MN=2,∠EBD=90o ∴DE= sin 300 连结 AE,可知∠DEA 为 DE 与平面 ABEF 所成的角 ∴∠DEA=45o (5分)
∵0<B< ∴?

2π 3

π

< 2B ?

π

在 Rt△DAE 中,∠DAE=90o

∴AE=DE

cos∠DEA=2 2 (7分)

在 Rt△ABE 中, AB = AE 2 ? EB2 = 8 ? 4 = 2 .

(Ⅲ)方法一:过 B 作 BO⊥AE 于 O 点,过 O 作 OH⊥DE 于 H,连 BH D ∵AD⊥平面 ABEF BO ? 面 ABEF ∴BO⊥平面 ADE ∴OH 为 BH 在平面 ADE 内的射影 ∴BH⊥DE 即∠BHO 为所求二面角的平面角 (9分) 在 Rt△ABE 中,BO= 2 在 Rt△DBE 中,由 BH·DE=DB·OE 得 BH= 3
F A M O H

C N B

E

∴sin∠BHO=

BO 2 6 = = . BH 3 3

(12分)

方法二:由题设及(Ⅰ)可得 AF⊥AB,AF⊥AD,AB⊥AD 如图分别以射线 AF、AB、AD 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 A—xyz 由(Ⅱ)知,AF=BE=2,AB=EF=CD=2,AD=BC=2 2 ∴A(0,0,0) B(0,2,0) C(0,2,2 2 ) D(0,0,2 2 ) E(2,2,0) F(2,0,0) (9分)

在正方形 ABEF 中,BF⊥AE,又 AD⊥平面 ABEF ∴BF⊥平面 ADE ∴ BF 是平面 ADE 的法间量, BF = (2,?2,0)
z D C N A y M B

设平面 BDE 的法向量为 n = ( x ? y ? z )

r r 由 BD = (0,?2,2 2 ) , BE = (2,0,0) 及 n ⊥ BD , n ⊥ BE 得
r uuu r ?n ? BD = 0 ? r ? r uuu ?n ? BE = 0 ?
?? 2 y + 2 2 z = 0 ? ∴? ?2 x = 0 ? ?y = 2z ? ∴? ?x = 0 ?
x F

r 取 z=1得平面 BDE 的一个法向量为 n = (0, 2,1)

E

设二面角 A―DE―B 的大小为 α 则 cosα =

BF ? n BF n

=

2 2 8? 3

=

3 3

∴ sin α =

6 . 3

(12分)

19解: (Ⅰ)由 y = g ' ( x) 的图象可知 x=1和 x=2是 y = g (x) 的两个极值点 又 g ' ( x) = 3ax2 + 2bx + c ,知1,2是 3ax 2 + 2bx + c = 0 的二根,且 g (1) =

5 (2分) 6

1+ 2 = ?

b 3a

a=

1 3

c 所以 1× 2 = 3a a+b+c =
∴ g ( x) =

3 解得 b = ? 2

5 6

c=2

1 3 3 2 x = x + 2x 3 2 1 3 (Ⅱ) f ( x) = x 3 ? ( + a) x 2 + (2 + 3a) x ? 2a 3 2
则 f ' ( x) = x2 ? (3 + 2a) x + 3a ≥0在 [1,+∞) 上恒成立
? 3 + 2a ≤1 ? 则? 2 或△≤0 ? f ' (1) ≥ 0 ?

(6分)

(8分)

(10分)

1 1 所以 a 的取值范围是 [0, ] 2 2 20.解: (Ⅰ)由题设知 PM、PN 的斜率存在且均不为0
解得 0 ≤ a ≤ 所以

(12分)

y y y2 ? =λ 即 x2 ? = 1 (y≠0) (3分) x +1 x ?1 λ (Ⅱ)①当 λ > 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) ②当 ?1 < λ < 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两 个端点) ③当 λ = ?1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1的半径的圆除去点(-1,0),(1,0) ④当 λ < ?1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端 点) (7分)

(Ⅲ)当 λ = ?2 时,轨迹 C 为 x 2 +

y2 = 1 (x≠±1) 2

设 a = 2 ,b=1,c=1,F(0,1)为上焦点,且上准线为 y=2,e= 设 A( x1 , y1 )
B ( x2 , y 2 ) ,l 的方程 x=m(y-1)

2 2

? 2 y2 =1 ?x + 联合 ? 消去 x 有 (2m 2 + 1) y 2 ? 4m 2 y + 2m 2 ? 2 = 0 (*) 2 ? x = m( y ? 1) ?

(9分)

则方程(*)有两个不同的实根 y1 , y 2 ∴ y1 + y 2 = 又 AF1 = ∴
4m 2 2m 2 + 1 y1 y 2 = 2m 2 ? 2 2m 2 + 1 2 (2 ? y 2 ) 2

(11分)

2 (2 ? y1 ) 2

BF1 =

4 ? ( y2 + y 2 ) 1 1 1 1 + = 2( + )= 2? =2 2 2 ? y1 2 ? y 2 4 ? 2( y1 + y 2 ) + y1 y 2 AF1 BF1 3an + 2 得 an + 2

(13分)

21解: (Ⅰ)证明:由 an +1 =
an +1 ? 2 = an +1 + 1 =

3an + 2 a ?2 ?2= n an + 2 a n +2 3an + 2 4(an + 1) +1= an + 2 an + 2

① ② (2分)



an +1 ? 2 1 an ? 2 a ?2 1 1 = ? 即 bn +1 = b n ,且 b1 = 1 = an +1 + 1 4 a n +1 a 1 +1 4 4

∴数列 {bn } 是首项为 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 bn =

1 1 ,公比为 的等比数列. 4 4
1 1 n ?1 1 an ? 2 ( ) = n = 4 4 an + 1 4

(4分)

∴ an =

1 + 2 ? 4n 4n ? 1

1 2+ n 1 + 2 ? 4n 由 an ≤ t ? 4 n 得 t ≥ n = n 4 (4 ? 1) 4 n 4 ?1

(6分)

1 n 易得 n 4 是关于 n 的减函数 4 ?1 2+ 1 1 2+ n 4 = 3 ,∴ t ≥ 3 ∴ n 4 ≤ 4 4 ?1 4 ?1 4 2+

(9分)

(Ⅲ) an =

2 ? 4n + 1 3 3 =2+ n <2+ n (11分) n 4 ?1 4 ?1 4 3 3 3 3 3 3 ∴ a1 + a2 + L + an < (2 + ) + (2 + 2 ) + L + ( 2 + n ) = 2n + ( + 2 + L + n ) 4 4 4 4 4 4
1 1 ? ( )n 3 4 = 2n + 1 ? ( 1 ) n < 2n + 3 = 2n + ? 4 1? 1 4 4 4

得证

(14分)



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