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北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编:复数、推理与证明


北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 复数、推理与证明
一、复数 1、(昌平区 2015 届高三上学期期末)设复数 z ? 1 ? 2i ,则 | z | ? 2、 (朝阳区 2015 届高三上学期期末)设 i 为虚数单位,则复数 z ? 象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1? i 在复平面内对应的点所在的 i

3、(大兴区 2015 届高三上学期期末)如图,在复平面内,复数 z1 和 z 2 对应的点分别是 A 和 B , 则

z2 等于 z1

(A) 1 ? 2i

(B) 2 ? i

(C) ?1 ? 2i

(D) ?2 ? i

4、(东城区 2015 届高三上学期期末)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限

i 对应的点位于 1+ i

(B)第二象限 (D)第四象限

5、 (丰台区 2015 届高三上学期期末)在复平面内,复数 z1,z2 对应的点分别是 A,B(如图所示), 则复数

z1 的值是_______ z2
2

6、(海淀区 2015 届高三上学期期末)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则复数 z ? ( )
y A -2 1 O x

(A) ?3 ? 4i

(B) 5 ? 4i

(C) 5 ? 4i

(D) 3 ? 4i

7、(石景山区 2015 届高三上学期期末)若复数 Z1 ? 1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则 8、(西城区 2015 届高三上学期期末)复数 z ?

Z2 ? Z1

2?i ,则 | z |? _____ 1 ? 2i 9、(北京四中 2015 届高三上学期期中)已知 i 是虚数单位, a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是

“ (a ? b i)2 ? 2i ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1 ? 2i 的虚部为_________ 2?i

10、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试)复数 11、(海淀区 2015 届高三上学期期中)设复数 z ? 二、推理与证明

i ,则 z ? ______ 1? i

1、(昌平区 2015 届高三上学期期末)某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话, 只有一人偷了珠宝. 甲:我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷. 根据以上条件, 可以判断偷珠宝的人是 A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁

2、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1 点响 1 声, 2 点响 2 声,3 点响 3 声,……,12 点响 12 声(12 时制),且每次报时时相邻两次响铃之间的 间隔均为 1 秒.在一次大钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如果此次是 12 点的报时,则 此人至少需等待 才能确定时间. 3、(海淀区 2015 届高三上学期末)已知集合 S ? {a1 , a2 , a3 , 秒才能确定时间;如果此次是 11 点的报时,则此人至少需等待 秒

, an }(n ? 3) ,集合

T ? {( x, y) | x ? S , y ? S , x ? y} 且满足: ?ai , a j ? S (i, j ? 1,2,3,

, n, i ? j), (ai , a j ) ? T 与

(a j , ai ) ? T 恰有一个成立. 对于 T 定义
?1, (a, b) ? T , dT (a, b) ? ? ?0, (b, a) ? T ,
lT (ai ) ? dT (ai , a1 ) ? dT (ai , a2 ) ???? ? dT (ai , ai ?1 ) ? dT (ai , ai ?1 ) ???? ? dT (ai , an ) ( i ? 1, 2,3,
(Ⅰ)若 n ? 4 , (a1 , a2 ),(a3 , a2 ),(a2 , a4 ) ?T ,求 lT (a2 ) 的值及 lT (a4 ) 的最大值;

, n ).

(Ⅱ)从 lT (a1 ), lT (a2 ), ???, lT (an ) 中任意删去两个数,记剩下的 n ? 2 个数的和为 M . 求证:

M?

1 n( n ? 5) ? 3 ; 2

(Ⅲ)对于满足 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )的每一个集合 T ,集合 S 中是否都存在三个不

同的元素 e, f , g ,使得 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g, e) ? 3 恒成立,并说明理由.

,x1,x2, ?,xn } , 其 中 4 、 ( 石 景 山 区 2015 届 高 三 上 学 期 末 ) 对 于 数 集 X ? {?1 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集 Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X },若对任意 a1 ? Y ,存
在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P . (Ⅰ)判断 {?1 , 1 , 2} 是否具有性质 P ; (Ⅱ)若 x ? 2 ,且 {?1,1, 2 , x} 具有性质 P ,求 x 的值; (Ⅲ)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当 xn ? 1 时, x1 ? 1.

参考答案
一、复数 1、 5 7、 1 ? 2i 2、D 3、C 4、A 5、 ?1 ? i 6、D

8、1

9、A

10、-1

11、

2 2

二、推理 1、A 2、11;11 3、解: (Ⅰ)因为 (a1 , a2 ),(a3 , a2 ),(a2 , a4 ) ?T , 所以 dT (a2 , a1 ) ? 0 , dT (a2 , a3 ) ? 0 , dT (a2 , a4 ) ? 1 ,故 lT (a2 ) ? 1. ??????1 分 因为 (a2 , a4 ) ?T ,所以 dT (a4 , a2 ) ? 0 . 所以 lT (a4 ) ? dT (a4 , a1 ) ? dT (a4 , a2 ) ? dT (a4 , a3 ) ? 1 ? 0 ?1 ? 2 . 所以 当 (a2 , a4 ),(a4 , a1 ),(a4 , a3 ) ?T 时, lT (a4 ) 取得最大值 2 . (Ⅱ)由 dT (a, b) 的定义可知: dT (a, b) ? dT (b, a) ? 1. ??????3 分

所以

?l
i ?1

n

T

(ai ) ? [dT (a1 , a2 ) ? dT (a2 , a1 )] ? [dT (a1 , a3 ) ? dT (a3 , a1 )]

? ??? ? [dT (a1 , an ) ? dT (an , a1 )] ? ??? ? [dT (an?1 , an ) ? dT (an , an?1 )]
1 n(n ? 1) . 2

2 ? Cn ?

??????6 分

设删去的两个数为 lT (ak ), lT (am ) ,则 lT (ak ) ? lT (am ) ?

1 n(n ? 1) ? M . 2

由 题 意 可 知 : lT ( ak ) ? n? 1, l ? n? , 1 且当其中一个不等式中等号成立,不放设 T (a m )

lT (ak ) ? n ?1 时, dT (ak , am ) ? 1 , dT (am , ak ) ? 0 .
所以 lT (am ) ? n ? 2 . 所以 lT (ak ) ? lT (am ) ? n ?1 ? n ? 2 ? 2n ? 3 . 所以 lT (ak ) ? lT ( am ) ? ??????7 分

1 1 n(n ? 1) ? M ? 2n ? 3 ,即 M ? n(n ? 5) ? 3 . 2 2
??????8 分

(Ⅲ)对于满足 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )的每一个集合 T ,集合 S 中都存在三个不同的

元素 e, f , g ,使得 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g, e) ? 3 恒成立,理由如下: 任取集合 T ,由 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )可知, lT (a1 ), lT (a2 ), ???, lT (an ) 中存在最

大数,不妨记为 lT ( f ) (若最大数不唯一,任取一个). 因为 lT ( f ) ? n ? 1 , 所以 存在 e ? S ,使得 dT ( f , e) ? 0 ,即 (e, f ) ? T . 由 lT ( f ) ? 1 可设集合 G ? {x ? S | ( f , x) ?T } ? ? . 则 G 中一定存在元素 g 使得 dT ( g , e) ? 1 . 否则,lT (e) ? lT ( f ) ? 1 , 与 lT ( f ) 是最大数矛盾. 所以 dT ( f , g ) ? 1, dT ( g , e) ? 1 ,即 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g, e) ? 3 . ??????14 分 4、(Ⅰ) {?1 , 1 , 2} 具有性质 P . ……2 分

(Ⅱ)选取 a1

? ( x,2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 ? ?1, b? .
……5 分

所以 x =2 b ,从而 x =4 (III)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ?Y .设 a2 由 ? s+t ? x1

? (s, t ) ?Y 满足 a1 ? a2 ? 0 .

? 0 得 s +t ? 0 ,所以 s 、 t 异号.

因为 ?1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为 ?1 ,另一为 1 , 故 1? X . 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 b1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 b2 即 px1 ? qxn ? 0 ,则 ……8 分

? ( p, q) ?Y 满足 b1 ? b2 ? 0 ,

p , q 异号,从而 p , q 之中恰有一个为 ?1 . ……10 分

若 p ? ?1 ,则 x1 ? qxn ,显然矛盾; 若 q ? ?1 ,则 xn ? px1 ? p ? xn ,矛盾. 所以 x1 =1 . ……13 分


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