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让学生学会做数学



第 19 卷 2006 年

第3期 第3期

潍坊教育学院学报
JOURNAL OF WEIFANG EDUCATIONAL COLLEGE

Vol . 19 No. 3 Sep. 2006

让学生学会做数学
) ) ) 课改下的数学教学新理念
刘晓成
(

山东省东营市胜利第四中学, 山东 东营 257055)

摘要: 新课标要求数学教学要让学生学会/ 做数学0, 做数学0的目的最终是要让学生学会/ 数学化0。/ 做 数学0的实质是把重点从/ 教0转向/ 学0, 从教师的行为转向学生的活动, 并且从感觉效应转向活动效应, 使学 生在数学的活动中感知数学、 认识数学、 体验数学和应用数学。 关键词: 做数学; 应用意识; 数学模型 中图分类号: G633. 6 文献标识码: B 文章编号: 1009- 2080( 2006) 03- 0059- 03
看着知道结果的教师将被分析的内容再放在一起。 二、什么是/ 做数学0 现代数学教育 理论 认为 ) ) ) 学 数学就 是/ 做数 学0, 人 们 越来越把/ 做数学0 看作是一种社会性的相互合作的行为。 学习数学就意味着/ 做 数学0 。所谓/ 做 数学0 就是把注 意 力从传统的集中于数学 内容方 面转移 到数 学过 程方面, 是 强 调数学知识在人脑中形成过程和发展过程的 教学。数学教 学 看作数学活动的教学, 教学 中应把学生作为认识的 主体, 让 他 们与周围的世界( 包括教材、 教师、 同学以及客观的现 实世界) 发生作用, 亲自动手去解决 呈现在他们眼前的问题, 并在这 个 过程中增长他们的才干, 发展他们的个性。 / 做数学0 不仅要反映 数学 活动的 结果, 而 且还要 反映 得 到这些理论的 数学 活 动( 如 探索、 猜测、 别、 达、 鉴 表 解决、 构 造、 讨论、 反思、 用、 查、 展、 使 调 发 预告、 比较、 分析、 排序、 抽 象、 符号化、 一般化等) 及具体的思维 方式( 模 型设计、 抽象化、 最优化、 逻辑分析、 数据推断、 符号运 用等) 。数 学教学的任 务 就是帮助学生数据化。 / 做数学0 意指在数学 教学 中, 应把学 生作 为思维 认识 的 主体。如果可能, 每个 人都 应参与 数学, 亲 自体 验一下 数学。 参与数学在一定程度上 就是积 极地参 与发 现工 作, 知 识是 在 有目的的活动中聚集、 发现 和产生的, 而不是将 数学作为一 个 现成的产品, 教条 式的灌输给学生。这里强调的是 产生, 而 不 是强加给学生。我们并不认为, 信息式的知识没有 价值, 但 这 些知识只有在有目的 的活动 中才 是有用 的。在 数学教 学中, 应坚持/ 做0 , 因为它比/ 知道0更深刻 , 更有助于掌握知识。 玻利亚对/ 做 数学0 的本质说过这样一段话: / 对于一名 积 极从事数学研究的数学 家来说, 数 学有时 就是 一种猜 测的 游 戏; 在你证明一条数学定理 之前必须先做猜测, 在你深入细 致 完成证明之前, 也 必须先对证明的思想做出猜测。 因此/ 做数 0

在过去的二十年中, 数学的面貌发生了 翻天覆地的 变化。 ) ) ) 题材的分析被抛弃了; 学生面对的只是分析的 结果, 或 是 现代数学已经或将要渗透 到科学 技术、 经济 生活 和现 实世界 中。在与人类生存息息相关 的各个 领域 中,/ 量0 的概 念早已 突破了/ 数0 与/ 形0 这 一历史 的局限 性。/ 数0 、 形0 、 关系0 、 / / / 可能性0、 数据处 理0、 度量 和科学 观察0 、 进行 推理、 / / / 演绎 和证明0 、 形成与各种自然现象、 / 人类行为和社会体 系的数学 模型0 等, 是人们对客观世界进行数学把握的最 基本反映。从 实现的手段上, 数学作为一种普遍使用的技 术, 可以 帮助人们 在搜集、 整理、 描述、 探索 和创 造中 建立模 型、 研究 模型, 从而 解决问题、 作出判断。它 为人们 交流 信息提 供了 一种 简捷有 效的手段。 一、 传统的数学教育思想 荷兰著 名数学教育家弗 赖登 塔尔 认为: 现代 数学 通常只 作为一个现成的产品来分析, 后面再附上一 个形式上的 综合, 结果就成为现成的数学。也就是将教的内容作为现 成的产品 加以分析, 在教学过程 中就将 分析的 结果以 综合 方式 提供给 学生。数学就是根据预先建造好的演绎体系来教。 教给学生现成的数学, 这种数学由数学 家事先组合 好, 他 们知道每个部分是如何配 合的, 其中 每一部 分的 用处 又是什 么, 但是对学生 却没 有介 绍 这些 秘密 的 知识, 因 而 在学 生看 来, 所获得的只是一堆毫无意义的孤立的砖 块, 他们 并不了解 这些分散的砖块最终究竟要建造什么样的大厦。将 数学作为 一个现成的产品来教, 留给学 生活动 的唯一 机会 就是 所谓的 应用, 其实就是做问题。这不可能包含真正 的数学, 留作问题 的只是一种模仿的数学, 虽然已经精心培育 了一个世纪, 但其 最低水平就是将一般陈述中的参数代以特殊值或是 至多思考 一下理论的模式。 面对现成的数学, 学生 唯一能 做的 事就是 复制。 所以要 使学生活动, 就必须以所谓的应用来补充, 从理论上 发展或简 化, 或是对一般参数作 简单 代入。唯 一与教 学法 有关 的要素 收稿日期: 2006- 08- 20 作者简介: 刘晓成( 1964~ ) , 男( 汉 族) , 山东 青州人, 东营市胜利第四中学, 中教一级.

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刘晓成: 让学生学会做数学 样。无论何种途径, 都是以 学生 的经 验为基 础。这些 可能 的 途径包括: 生活经验 的回忆、 物观 察、 实 动手操 作、 想像、 述 描 和表示、 联想、 模拟、 分析和推理等。通过 这些途径, 学生可 感 知和体验空间与图形的 现实意 义, 初步体 验二 维与三 维空 间 相互转换关系, 逐 步发展空间观念。 ( 3) 空间观念应在发展过程中逐步 形成。一般说 来, 低 学 段的学生已经积累了一 定的空 间与图 形方 面的 知识经 验, 他 们往往需要借助与生活实际有关的具体情境认 识和把握与 空 间观念有关的内容, 观察、 操作等活动对于他们 形成空间观 念 具有重要意义。这时要 让学生 亲自 动手, 让视 觉、 听觉、 觉 触 等许多器官协同参与活 动, 使 学生 有较多 的机 会通过 内容 丰 富的图形符号感知及实 物操作 的探究 活动, 不 断丰富 归纳 和 类比的经验, 使空 间观念得以形成和巩固。随着学 段的增加, 学生的语言表达能力、 动手操 作能 力和自 主探 索能力 有所 提 高后, 他们可以通过 观察、 析、 立思 考、 分 独 合作 交流等 方式, 从形状、 特征、 方位、 关系等 多种 角度 认识事 物。在这 个基 础 上, 分解、 变换、 运动以 及确定 方向 和位置 的诸 多手段 将使 他 们更全面地感知和体验周围的事物。理解空 间, 把 握空间, 使 直观和抽象进一步相互融合, 并逐步产生演绎和论 证的需要, 在发展的过程中形成空间观念。 ( 4) 空间观念需 要自主 探索 与合 作交流 的氛 围。以被 动 听讲和练习为主的方式, 是 难以 形成 空间观 念的。培 养空 间 观念需要大量的实践活动, 学生要有充分的时间和 空间观察、 测量、 动手操作, 对周围环 境和 实物产 生直 接感知, 这 些都 不 仅需要自主探索、 亲身 实践, 更 离不开 大家 一起动 手、 共同 参 与。观察、 操作、 归纳、 类比、 猜测、 变换、 直观思 考等都是对 形 成空间观念有重要作用的手段, 只有在大家共同探 讨、 合作 解 决问题的过程中才能不 断生 成和 发展, 并得 到提 升。通过 合 作交流可以更清楚地明 确自己 对空间 的看 法, 并有机 会分 享 他人众多的想法。大家的共同感受对促进空间 观念的发展 具 有重要意义。 4. 做数 学要加强学生的统计观念培养。 数学课程标准将/ 统计 观念0 作为义务教育 阶段数学课 程 的重要目标之一。 ( 1) 使学生经历 统计活 动的 全过 程。观念 的建立 需要 人 们亲身的经历。要使学生 逐步 建立统 计观 念, 最有效 的方 法 是让他们真正投入到统计活动的全过程中: 提出问 题, 收集 数 据, 整理数据, 分析数据, 作 出决策, 进行交流、 评价与改进等。 ( 2) 使学生在现 实情境 中体 会统 计对决 策的 影响。要 培 养学生从统计的角度思 考问题 的意识, 重 要的 途径就 是要 在 课程和教学中着力展示 统计的 广泛应 用, 使学 生在亲 身经 历 解决实际问题的过程中 体会 统计 对决策 的作 用。为此, 数 学 课程标准在各个学段都提出, 要注重所学内容与日 常生活、 社 会环境和其他学科的密 切联系, 认 识到统 计在 社会生 活及 科 学领域中的应用, 并能解决 一些简单的实际问题, 例如可用 下 面的例子加以说明: 统计某商 店一 个月内 几种 商品的 销售 情 况, 以对这个商店 的进货提出你的建议。 5. 做数 学要加强学生的应用意识培养。 培养学生数学应用意识, 在教学中, 可考虑 从以下几方 面 入手, 当然还要努 力开拓新的思路, 创造出更有效的方法。

学0 的实质是认知发现活动, 而不是吸纳性活动。 做数学0 的 0/ 方法远非只是计算或演绎, 还包括观察模式、 验证猜 想和评估 结果。/ 做数学0的实 质是把 重点从/ 教0 转向/ 学0 , 从 教师的 行为转向学生的活动, 并且从感觉效应转向运 动效应。 三、 怎样/ 做数学0 1. 做数学要加强数感的培养。 学生数 感的建立不是一 蹴而 就的, 是在 学习 过程 中逐步 体验和建立起来的。教学过 程中 应当 结合有 关内 容, 加强对 学生数感的培养, 把数感的培养体现在数学教 学过程之中。 在数概念教学中重视数感的培养。数概念的切 实体验和 理解与数感密切相关, 数概念本身是抽象的, 数概念 的建立不 是一次完成的, 学生理 解和 掌握数 概念 要经历 一个 过程。让 学生在认识数的过程中, 更多 地接触 和经历 有关 的情 境和实 例, 在现实背景下感受和体验, 会使学生更具体更深 刻地把握 数概念, 建立数感。 在数的运算中加强 数感的 培养。 对运算 方法 的判断、 运 算结果的估计, 都与学 生的 数感有 密切 的联系。 结合 具体的 问题选择恰当的算法, 会增强对运算实际意 义的理解, 培养学 生的数感。 2. 做数学要加强学生的符号感培养 。 要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号 以及表达 式、 关系式的意义, 在解决实际问题中发展学生 的符号感。在 教材编写与教学中, 对 符号演 算的处 理应尽 量避 免让 学生机 械地练习和记忆, 而应增加实际背景、 探索过程、 几何解 释等, 以帮助学生理解。 如果说 代数是一种语言 的话, 则 数字和 字母 就是 这种语 言的/ 字母0 , 表达式就是这种语言的/ 词0, 关系式( 如等 式、 不 等式) 就是这种语言的/ 句子0 。既然是语言, 就会有 相应的语 法, 代数的语法就是各 种符 号演算 的法 则和规 定等。 只有学 习、 熟悉、 掌握代数这种语言 的语 法, 才能利 用代 数这 种语言 进行推理、 计算、 交流和解决问题。 数学课 程标 准认 为, 必须 对 符号 运算 进行 训练, 要 适当 地、 分阶段地进行一定数量的符号运算, 但并不主张 进行过繁 的形式运算训练。学生符号感的发展不是一朝一夕 就可以完 成的, 而应贯穿于数学学习的全过程, 伴随着学生数 学思维的 提高逐步发展。 31 做数学要加强学生空间观念培养。 ( 1) 学生经 验是发 展空 间观念 的基 础。学生 的空 间知识 来自丰富的现实原型, 与现实生活关系非常 紧密, 这 是他们理 解和发展空间观念的宝贵资源。培养空间观念要将 视野拓宽 到生活的空间, 重视现 实世 界中有 关空 间与图 形的 问题。通 过自主探索, 逐 步认 识简 单 图形 的形 状、 小和 相 互位 置关 大 系, 初步认识一些特殊图 形的 特征 及性质, 学 会运 用测量、 计 算、 实际操作、 图形变换、 代数化以及推理等 手段, 解 释和处理 一些基本的空间与图形问题, 并在此过程中, 通过从 不同的角 度观察物体、 辨别方位、 手操 作、 动 想像、 描述 和表 示、 分析和 推理等活动, 发展学生的空间观念。 ( 2) 发展空 间观念 的途 径应多 样化。空 间观 念是 从现实 生活中积累的丰富几何知 识体验 出发, 从经 验活 动的 过程中 逐步建立起来的, 发展 学生空 间观念 的基本 途径 应当 多种多

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刘晓成: 让学生学会做数学 展, 体会数学的应 用价值, 激发 学生学 好数 学的 勇气和 信心, 更可以帮助学生领悟 数学知 识的 应用过 程。在 实际教 学中, 教师既可以把自己搜集 的资料 介绍给 学生, 也 可以鼓 励学 生 自己通过多种渠道搜集 数学知 识应用 的具 体案 例, 并 互相 交 ( 4) 为学生运用所学知识解决实际问 题创造条 件和机会。 培养学生应用 意识 的最 有效 办法 就是 让学 生 有机 会亲 身 实 践。教学中, 教 师应 该 努力 发掘 有 价值 的专 题 活动、 习 作 实 业, 让学生在现实中寻 求解 决方案; 也 可以 通过模 拟现 实, 培 养学生的应用意 识。例 如, 让学 生了解 附近 市场 或超 市的 销 售情况, 提出进货 建议。这 就需要学生了解市场的 货物种类、 每天的销量、 哪些商品的销 售额较高等情况, 在 此基础上才 能 给出进货建议。又如, 让学 生测 算粉 刷房屋 的费 用。这需 要 学生首先测定房屋的粉刷面积, 了解市场上有哪些 涂料、 格 价 如何, 确定选用哪种涂 料、 需要 多少涂 料, 粉刷 的工钱 如何 计 付, 明确了这些因 素以后学生 才能 对粉刷 房屋 的费用 有个 初 步估计。无论哪种实践活 动, 都需 要学生 首先 从事物 中明 确 需要研究哪些因素、 如何获 取这些因素的相关信息, 然后才 能 去具体搜集信息, 并对这些信息加以处理。 / 做数学0 的目的最终是要让学生学会/ 数学化0 。弗赖 登 塔尔认为, 人们用数学的方 法观察现实世界, 分 析研究各种 具 体现象, 并加以整 理和组织, 以发现其规律, 这个过程 就是/ 数 学化0 。数学本 身同 样 属于 现实 世 界, 因而 在 数学 发展 过 程 中, 我们自然要面对数学自 身的/ 数学化0 。数学教育 中的/ 数 学化0是一种由现实问题到 数学问题, 由具体问 题到抽象概 念 的认识转化活动, 是人类发现活动在数学领域里的具体表现。 现实数学教育中所说的/ 数学化0 是指学习 者从一个具 体 的情景问题开 始, 到得 到一 个 抽象 数学 概 念的 教育 全 过程。 应当通过/ 数学化0 的途径来进行数学的教与 学。伟大的教 育 家夸美纽斯有句名言:/ 教一个活动的最好方式 是演示0 , 弗 赖 登塔尔把这一思想进一 步发展 为/ 学一个 活动 的最好 方式 是 实践0。这一提法的实质是 把重点从教转向学, 从教师的行 为 让学生学会/ 做数 学0 。

( 1) 注重数学知识 的来 龙去脉。 数学知 识的 形成 源于实 际的需要和数学内部的需要。义务教育阶段学生学 习的大量 知识均来源于生活实际, 这就 为我们 努力从 学生 的生 活实际 入手引入新 知识提供了 大量的 背景 材料。例 如, 生活 中存在 不同形式的等量关系和不 等量关 系、 变量与 变量 之间 的对应 关系等 等, 这些 都可 以成 为我 们引 入加、 乘、 负数、 减、 除、 等 式、 不等式、 函数等的实际背景。从生活实际引入新 知识有助 于学生体会数学知识的应 用价值, 为 学生主 动从 数学 的角度 去分析现实问题、 解决 现实 问题提 供示 范。从现 实背 景出发 引入新的知识, 需要让学生经历发现问题、 从数学角 度分析问 题并探索解决途径、 验证并应用所得结论的 全过程, 切忌由教 师全盘端出 。同时, 还应 注意引 导学 生结合 所学 知识 探索更 多可以应用的实际问题和场景。 ( 2) 鼓励学生从数学的角度描述客观事 物与现象, 寻找其 中与数学有 关的因素。现实 世界 的存 在形式 千姿 百态, 我们 无法直接看到或读出它的 数学表 现或 描述, 而需 要我 们自己 去描述、 去发现。只有从数学角度进行描述、 找到其 中与数学 有关的因素, 才有可能 进一步 去探索 其中的 规律 或寻 求数学 的解决办法。从数学的角度 描述 客观 事物与 现象, 寻 找其中 与数学有关的因素, 是 主动运 用数学 知识和 方法 解决 实际问 题的重要环节。例如, 可 以鼓励 学生 从数学 的角 度描 述与出 租车有关的数学事实( 诸如, 车费与行驶路程、 等候时间、 起步 价的关系; 耗油量与行驶路程的关系等等) 。除了鼓 励学生从 数学的角度去描述现实生 活中的 事物 与现象 以外, 教 师还应 努力在数学教学过程中为学生提供尽可能多的具有 原始背景 的数学问题, 由学生抽象出其中的数学问题, 并用数 学语言加 以描述。 (3) 搜集 数学 应 用的 事例, 加深 对 数学 应用 的 理解 和体 会。数学与现代科技 的发 展使得 数学 的应用 领域 不断扩 展, 其不可忽视 的作用被越 来越多 的人 所认同 。除了 工程、 物理 和化学外, 环境科学、 DNA 的模 拟、 蛋白 质工程、 技术、 CT 高清 让学生了解数学的广泛应 用, 既可以 帮助学 生了 解数 学的发

着大量的与和、 平均有关的事件, 以及具 有相反意义 的量、 流。 差、

晰度电视、 飞机设计、 市场 预测等 等领 域都需 要数 学的支 持。 转向学生的活动, 并 从感觉 效应 转向 运动效 应。所以 我们 要

Let Students Learn How to Do Mathematics
) ) ) New Mathemat ical T eacher Idea Under Curriculum Reform Liu Xiaocheng ( No. 4 Middle School of Dongying, Dongying Shandong 257055)

Abstract : The aim of the new curriculum standard is to let students learn how to do mathematics while the aim of / doing mathematics0 is to let students learn / mathematization0. The essence of / doing mathematics0 is to transfer the em phasis from / teaching0 to / learning0 , to transfer from the activities of teachers to those of students, and to transfer from feeling effect to activity effect . Thus let students perceive mathematics, know mathematics, experienle mathemat icics and apply mathematics. Key words: doing mathematics; applied consciousness; mathematics model ( Translator: Miss Li Cuiyu) 61



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