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高一数学上学期第一次月考试题新人教A版



湖北省监利一中 2013-2014 学年高一数学上学期第一次月考试题新人教 A 版

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.设集合 U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1,2,3}, B ? {2,4} , 则图中阴影部分所表示的集合是 A. {4} B.

{2,4} C. {4,5} ( D. {1,3,4} ( D. ) )

2.集合 A= ? x | ?1 ? x ? 2? , B= ? x | x ? 1? ,则 A ? ???R R B ? = CB? ? A. ? x | x ? 1? 3.函数 y ? 1 ? x ? A. {x | x ? 1}
2

B. ? x | x ? 1?

C. ? x |1 ? x ? 2?

? x | 1 ? x ? 2?
( )

x 的定义域为 B. {x | x ? 0}

C. {x | 0 ? x ? 1}

D. {x | x ? 1 或 x ? 0} ( D.2 ) )

4.已知 f ( x) ? ? A.-1

? x ? 1, x ? 0 ? f ( x ? 2), x ? 0
B.0
2

,则 f [ f (1)] 的值为 C.1

5. 设 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0} , B ? {x | mx ? 1 ? 0} ,且 A ? B ? A ,则 m 的取值范围是( A. { ,? }

1 3

1 2

B. {0,? ,? }
2

1 3

1 2

C. {0, ,? }

1 3

1 2

D. { , } ( )

1 1 3 2

6. 如图所示,当 ab ? 0 时,函数 y ? ax 与f ( x) ? ax ? b 的图象是

7.已

? x ? 2( x ? ?1) ? 知 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是 ?2 x( x ? 2) ? 3 3 A. 1 B. 1 或 C. 1 , 或 ? 3 2 2 1 8.函数 y ? x ? 的图象是 x





D. 3 ( )

1

9. 若不等式 ? a ? 2 ? x 2 ? 2 ? a ? 2 ? x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是( A.



? ??, 2?

B.

? ?2, 2 ?

C.

? ?2, 2?

D.

? ??, ?2 ?

10. f (x) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? m ( m 为常数),则 f (?1) ? A. ?3 B. ?1 C.1 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.函数 f ( x) ? a ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过点
x

D.3 。





?2 x ? 1, x ? 1 2 12. 设函数 f ? x ? ? ? ,满足 f ? f ?0 ?? ? a ,则 a 的值是__________。 ?ax, x ? 1

1 1 3 ?2 0 ?2 2 13.计算: (2 ) ? (?9.6) ? (3 ) 3 ? (1.5) = 4 8
14.已知函数 f ?x ? ? ax ? bx ? cx ? 3, f ?? 3? ? 7, 则 f (3) 的值为
5 3

15.若函数 f ? x ? 同时满足:①对于定义域上的任意 x ,恒有 f ?x ? ? f ?? x ? ? 0

②对于定义域上的任意

x1 , x 2 ,当 x1 ? x2 时,恒有
中:⑴ f ? x ? ?

f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,则称函数 f ? x ? 为“理想函数” 。给出下列四个函数 x1 ? x 2
2

1 x

⑵ f ?x ? ? x

?? x 2 (3) f ? x ? ? ? 2 ? x

x?0 x?0

,能被称为“理想函数”的有_

_ (填相应的序号)

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 75 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 设全集为实数集 R, A ? {x 3 ? x ? 7} , B ? {x 2 ? x ? 10} , C ? {x x ? a} . (1)求 A ? B 及 (CR A) ? B ; (2)如果 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f (x) 是二次函数,且 f (0) ? 8 , f ( x ? 1) ? f ( x) ? ?2 x ? 1 . (Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)求证 f (x) 在区间 [1,??) 上是减函数.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x .
2

(1)在给出的坐标系中作出 y ? f ?x ? 的图象; (2)若集合{x|f(x)=a}恰有三个元素,求实数 a 的值; (3)在同一坐标系中作直线 y=x,观察图象写出不等式 f(x)<x 的解集.

y
3 2 1 -1 0 -1 19. (本题满分 12 分)经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)与价格(元) 均 为 时 间 t ( 天 ) 的 函 数 , 且 日 销 售 量 近 似 满 足 g (t ) ? 80 ? 2t ( 件 ) 价 格 近 似 满 足 于 , 1 2 3

x

1 ? ( ?15 ? 2 t   0 ? t ? 10 ) ? f (t ) ? ? (元) . ?25 ? 1 t  10 ? t ? 20 ) ( ? 2 ?
(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额与时间 t (0 ? t ? 20) 的函数表达式;
1

(Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

20. (本小题满分 13 分)

px 2 ? 2 5 已知函数 f ( x) ? 是奇函数,且 f (2) ? ? . q ? 3x 3
(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)判断函数 f (x) 在区间 [1, 的单调性并证明你的结论; 4] (3)求 f (x) 在区间 [1, 上的最小值. 4]

21.(本小题满分 14 分)已知定义域为 R 的单调函数 f ? x ? 是奇函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

(1)求 f ? x ? 的解析式;

x ? 2x . 3
2 2

(2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

2

2013 年秋季湖北省监利一中第一次月考 高一数学试题答案及评分标准 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 A 5 C 6 D 7 D 8 A 9 C 10 A

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题:(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填写在题中的横线上.) 11. 13. 15. (0,2) 12. 14. 0或2 -13

1 2
(3)

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) A ? B ? {x 2 ? x ? 10} ---------------------------------4分 8分 12 分

(CR A) ? B ? {x 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10} ;
(2) a ? 3 满足 A ? C ? ? 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

? f (0) ? c, 又f (0) ? 8 ?c ? 8 2 又 f ( x ? 1) ? a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? f ( x ? 1) ? f ( x)
? [a ( x ? 1) 2 ? b( x ? 1) ? c] ? ( ax 2 ? bx ? c) ? 2ax ? (a ? b) 结合已知得 2ax ? (a ? b) ? ?2 x ? 1 ? 2 a ? ?2 ?? ---------- 4 分 ?a ? b ? 1 ? a ? ?1, b ? 2
? f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 8
---------- 6 分 (Ⅱ)证明:设任意的 x1 , x2 ? [1,??) 且 x1 ? x2 则

---------- 1 分

-----------7 分

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (? x1 ? 2 x1 ? 8) ? (? x 2 ? 2 x 2 ? 8)
2 2

? ( x 2 ? x1 ) ? 2( x1 ? x 2 )
2 2

? ( x 2 ? x1 )( x 2 ? x1 ? 2)
------------9 分 又由假设知 x 2 ? x1 ? 0 而 x 2 ? x1 ? 1

? x2 ? x1 ? 2 ? 0 ? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2) ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 在区间 [1,??) 上是减函数. ? f (x)
18.(本小题满分 12 分) 解: (1)函数 y=f(x)的图象如右图。 (2)由题意得,方程 f(x)=a 恰有三个不等实根, 结合直线 y=a 的图象可知,实数 a 的值为 1。

------------12 分

------------ 6 分

------------ 9 分

( 该函数在 t ? [0,5]递增,在t ? 5,10]递减
? y max ? 1225 (当t ? 5时取得) y min ? 1200 (当t ? 0或10时取得) ②当 10 ? t ? 20 时 2 y ? t 2 ? 90t ? 2000 ? ? 45) ? 25 (t 图像开口向上,对称轴为 t ? 45 ( 20 该函数在 在t ? 10, ]递减 y min ? 600 (当t ? 20时取得)
由①②知

ymax ? 1225 (当t ? 5时取得)

y min ? 600 (当t ? 20时取得)

------------12 分

20. (本小题满分 13 分) 解(1)∵f(x)是奇函数,∴对定义域内的任意的 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,

px 2 ? 2 px 2 ? 2 ?? ,整理得: q ? 3x ? ?q ? 3x ∴q=0 -------3 分 q ? 3x q ? 3x 5 4p ? 2 5 又∵ f (2) ? ? ,∴ f (2) ? 解得 p=2 -------5 分 ?? , 3 ?6 3 2x2 ? 2 ∴所求解析式为 f ( x) ? --------6 分 ?3x 2x2 ? 2 2 1 (2)由(1)可得 f ( x) ? = ? (x ? ) , ?3x 3 x -------------7 分 f ( x) 在区间 [1, 上是减函数. 4]
即 证明如下: 设 1 ? x1 ? x2 ? 4, ,

2 1 1 2 ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) [( x2 ? ) ? ( x1 ? )] ? ? 1 2 3 x2 x1 3 x1 x2 x1 x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,1 ? x1 x2 ? 0 因此,当 1 ? x1 ? x2 ? 4 时,
则由于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 从而得到 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f (x) 在区间 [1, 是减函数 4] (3)由(2)知函数 f (x) 在区间 [1, 上的最小值 ? f (4) ? ? 4] ----------11 分

17 ---------13 分 6

21.(本小题满分 14 分)

解: (1)?定义域为 R 的函数 f ? x ? 是奇函数

? f ?0? ? 0
当 x ? 0 时, ? x ? 0 又?函数 f ? x ? 是奇函数
? f ? x? ?
? f ??x? ?

-----------2 分
?x ? 2? x 3 ? f ??x? ? ? f ? x?

x ? 2? x 3

------------5 分

?x x ? 3 ?2 综上所述 ? f ? x? ? ? 0 ?x ? ? 2? x ?3

? x ? 0? ? x ? 0? ? x ? 0?

-------------6 分

(2)? f ?1? ? ?

? f ? x ? 在 R 上单调递减
2 2

5 ? f ? 0 ? ? 0 且 f ? x ? 在 R 上单调 3
--------------8 分

2 2 由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k )

? f ( x) 是奇函数
又? f ( x) 是减函数
2

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )

? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2

-------------11 分

即 3t ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立 1 ?? ? 4 ? 12k ? 0 得 k ? ? 即为所求 3

-------------14 分