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湖南省浏阳一中2014-2015学年高二下学期期末考试 理数



浏阳一中 2015 年上学期高二期末考试试卷 理 科 数 学
考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:胡朝阳 审题人:罗移丰 姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 A.1﹣2i 的共轭复数是( ) B.1+2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣

2i )

x ? ? ? ?1? ? 2.设集合 M ? x | x ? 3x ? 2 ? 0 , 集合 N ? ? x | ? ? ? 4? , 则 M ? N ? ( ? ? ? ?2? ?

?

2

?

A. ?x | x ? ?2?

B. ?x | x ? ?1?

C. ?x | x ? ?1?

D. ?x | x ? ?2?

3.设 a , b ? R ,则“ a ? b ”是“ | a |?| b | ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.函数 f (x ) ? A. {x | x ? 6} B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x ? 3 ? log2 (6 ? x ) 的定义域是( ).
B. {x | ?3 ? x ? 6} C. {x | x ? ?3} D. {x | ?3 ? x ? 6} )

5.已知 {an } 为等差数列,若 a1 ? a9 ?

?
3

,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为(

A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

6.某全日制大学共有学生 5400 人,其中专科生有 1500 人,本科生有 3000 人,研究生有 900 人.现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况,抽取的样本为 180 人, 则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取 A.55 人,80 人,45 人 B.40 人,100 人,40 人 C.60 人,60 人,60 人 D.50 人,100 人,30 人

?x ? y ? 2 ? 7.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 ( ?y ? 0 ?
A. 4和3 8.函数 y ? B. 4和2 C. 3和2 ) D. 2和0



cos x 的图象是( ln x

1 9.已知△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 cos B= ,b=2, 4 sin C=2sin A,则△ABC 的面积为( ).
A.

15 6

B.

15 4

C.

15 2

D. 15

x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0


10.学校组织同学参加社会调查,某小组共有 5 名男同学,4 名女同学。现从该小组中选出 3

1?2 a b A, B, C 三地进行社会调查, 位同学分别到 若选出的同学中男女均有, 则不同安排方法有 (
A.70 种

? 2 种 2 B3 . 140

4 2种 C. 840

D.420 种

11 .若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? b ? 0) ,始终平分圆 的最小值为 ( A、1 B. ) C. D.6

的周长,则

12 .已知函数 f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x2 在区间 (0,1) 内任取两个实数 p,q ,且 p ≠ q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为( p?q
A. ?15, ??) B. (??,15? C. (12,30?

) D. (?12,15?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“ ?x ? 0, 都有 sin x ? ?1 ”的否定:
2 14. ? 0 ( x ? 1)dx ?



.

15. 平面上三点, 向量 | OA | =3, 设 P 是线段 AB 垂直平分线上一点, 则 OP ? (OA ? OB) | OB | =2, 的值为__________. 16.下列说法: ①函数 f ( x) ? lnx ? 3x ? 6 的零点只有 1 个且属于区间 ?1, 2 ? ;
2 ②若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,则 a ? ? 0,1? ;

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

③函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像有 3 个不同的交点; ④函数 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x, x ? [0, 正确的有

?
4

] 的最小值是 1.

.(请将你认为正确说法的序号都写上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 已知等差数列 (Ⅰ)求数列

{an } 满足: a5 ? 11, a2 ? a6 ? 18 .

{an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 bn ? an ? 3n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

18. (本题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点. (1)证明 PA // 平面 BDE ; (2)求二面角 B ? DE ? C 的余弦值.

19. (本题满分 12 分)某同学参加语、数、外三门课程的考试,设该同学语、数、外取得优秀

4 24 ,m,n(m>n),设该同学三门课程都取得优秀成绩的概率为 ,都未取 5 125 6 得优秀成绩的概率为 ,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. 125 (1)求 m,n;
成绩的概率分别为 (2)设 X 为该同学取得优秀成绩的课程门数,求 EX.

20.(本题满分 12 分)设 A 是圆 x ? y ? 4 上的任意一点, l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,
2 2

D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 DM ? 记点 M 的轨迹为曲线 C .

3 DA.当点 A 在圆上运动时, 2

(1)求曲线 C 的标准方程; (2)设曲线 C 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,经过 F2 的直线 m 与曲线 C 交于 P、Q 两点,若

| PQ | 2 ?| F1 P |2 ? | F1Q | 2 ,求直线 m 的方程.

a 1 ? ln ( a 为实数) . x x 1 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的图象在点 ( , f ( )) 处的切线方程; 2 2
21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 1 ? (Ⅱ)设函数 h(a) ? 3?a ? 2a (其中 ? 为常数) ,若函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,
2

且存在 a 满足 h(a) ?
*

? ? ,求 ? 的取值范围;
1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? . 2 3 4 5 n

1 8

(Ⅲ)已知 n ? N ,求证: ln(n ? 1) ? 1 ?

请考生从第 22、23、24 三题中任选 1 题作答,若多做,按所做的第一个题目计分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图 , ⊙ O 的 直 径 AB 的 延 长 线与 弦 CD 的 延 长 线 相交 于 点 P , E 为 ⊙ O 上 一 点 ,AE = AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , (Ⅰ)求 PF 的长度. E F B O (Ⅱ)若圆 F 与圆 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求 线 段 A P O PT 的长度 D
C

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的方程为 ? sin(? ?

?

? x ? cos? ) ? 2 ,圆 C 的方程为 ? ??为参数? . 4 ? y ? sin ?

(1) 把直线 l 和圆 C 的方程化为普通方程; (2) 求圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值.

24. (本小题满分 10 分,不等式选讲) 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a2 ? a 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 参考答案 1.B 【解析】 试题分析:复数

5 ?1 ? 2i ? 5 5 ? 10i ? ? ? 1 ? 2i ,共轭复数为 1 ? 2i 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 5

考点:复数运算与共轭复数 2.A 【解析】 试 题 分 析 : M ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ?x | ( x ? 1)(x ? 2) ? 0? ? ?x | ?2 ? x ? ?1? ,

?

?

N ? ?x | x ? ?2?,则 M ? N ? ?x | x ? ?2?.
考点:1.一元二次不等式;2.指数不等式;3.集合的运算. 3.D 【解析】 试题分析:因为 a ? b 成立,a , b 的符号是不确定的,所以不能推出 | a |?| b | 成立,反之也不行, 所以是既不充分也不必要条件,故选 D. 考点:充分必要条件的判断. 4.D 【解析】 试题分析: 要使函数有意义应满足 考点:函数的定义域. 5.A 【解析】 试题分析:由等差数列性质可知 a1 ? a9 ? a3 ? a7 ? 考点:等差数列性质 6.D 【解析】

{

x ?3?0,

6 ? x ?0,

解得 ? 3 ? x ? 6.

?
3

? cos ? a3 ? a7 ? ? cos

?
3

?

1 2

试题分析:专科生:本科生:研究生 ? 1500 : 3000 : 900 ? 5 : 10 : 3 ,抽取的专科生人数

180 ?

5 ? 50 人, 18 10 3 ? 100 人,抽取的研究生人数 180 ? ? 30 人,故答案为 D. 18 18

抽取的本科生人数 180 ?

考点:分层抽样的应用. 7.B. 【解析】 试题解析:依题可画出其约束条件的可行域如下图所示, y l 1 B 1 O ( x A 2 ( , 1 0 , ) 0 又目标函数 l :z ? 2 x ? y 即 y ? ?2 x ? z , ∴ 当其表示直线经过点 A ?1,0 ? 时, 有最小值为 2; ) 当经过点 B ? 2,0? 时,有最大值为 4,故选 B 考点:二元一次不等式线性规划 8.B 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ?

cos x cos?? x ? cos x ? ? f ?x ? 是偶函数,图象关于 y 轴 ,得 f ?? x ? ? ln x ln ? x ln x cos x ?0, ln x

对称,因此排除 A,C,当 0 ? x ? 1 , cos x ? 0 , ln x ? ln x ? 0 ,因此 f ? x ? ? 故答案为 B. 考点:函数图象的判断. 9.B 【解析】由正弦定理
2 2

a c = ,得 c=2a① sinA sinC
2 2 2

由余弦定理 b =a +c -2accos B,得 4=a +c -2ac×

1 ② 4 1 15 . 所 以 S △ ABC = acsin B = 2 4

由 ① ② 得 : a = 1 , c = 2 , 又 sin B = 1 ? cos B =
2

1 15 15 ×1×2× = 2 4 4

11.D 【解析】

1?2 a b
的周

试题分析: 因为直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? b ? 0) , 始终平分圆 长,所以直线 ax ? 2by ? 2 ? 0 过圆的圆心 (2,1) 则 2a ? 2b ? 2 ? 0 ,即 a ? b ? 1 ;则

b 2 1 2 a ? b 2a ? 2b b 2a ? ? ? ? 3? ? .令 t ? (0 ? t ? 1) ,则 f (t ) ? t ? ? 3 在 (0,1] 上单 a t a b a b a b
调递减, f min (t ) ? f (1) ? 1 ? 2 ? 3 ? 6 ,故 的最小值为 6.

考点:直线与圆的位置关系、基本不等式. 【改编简介】本题改编自 2015 届山东省乐陵市一中高三上学期期中考试文试卷第 8 题,改编 了①条件(给定 a , b 的关系) ,②这是一道易错题,容易利用基本不等式求最小值. 10.D 【解析】 试题分析:采用反面来做,首先从 9 名同学中任选 3 名参加社会调查有 全是男生或全是女生的有
3 3 C9 ? A3 种,3 名同学

?C

3 4

3 3 ? C5 A3 种,故选出的同学中男女均有,则不同安排方法有

?

3 3 3 3 3 C9 ? A3 ? C4 ? C5 A3 ? 420种不同选法

?

?

考点:排列与组合 12.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 得 , f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 , 且 p ? 1 ,q ? 1 ? (1, , 2 )等 价 于 函 数 ( p ? 1) ? (q ? 1) 等价于函数在区间 (1, 2) f ( x) ? a ln( x ? 1) ? x2 在区间 (1, 2) 上任意两点连线的割线斜率大于 1, 的切线斜率大于 1 恒成立.

a a 2 2 ? 2x , ? 2 x ? 1 恒成立, 即 变形为 a ? 2 x ? 3x ? 1 , 因为 2 x ? 3x ? 1 ? 15 , x ?1 x ?1 故 a ? 15 . f ' ( x) ?
考点:1、导数的几何意义;2、二次函数的最大值. 13. ?x ? 0, 使得 sin x ? ?1 【解析】 试题分析:特称命题的否定式全称命题,否定时将结论加以否定, 2 2 sin x ? ?1 的否定为

sin x ? ? 1,所以命题的否定为 ?x ? 0, 使得 sin x ? ?1
考点:全称命题与特称命题 14. 0 . 【解析】

x ? y ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0

试题分析:

?

1 ( x ? 1)dx ? ( x 2 ? x) 2 0 ? 0. 0 2
2

考点:定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解能力,属于容易题,定 积分的计算通常有两类基本方法:一是利用牛顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义 求解. 15.

5 2

【解析】 试题解析:取 P 为 AB 中点, OP ? (OA ? OB) ? 考点:向量的数量积运算 16.①④ 【解析】 试 题 分 析 : ① 函 数

??? ? ??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 ??? 5 OA ? OB ? (OA ? OB) ? ? 32 ? 22 ? ? 2 2 2

?

?

f ( x) ? lnx ? 3x ? 6 在

? 0, ?? ?

上 是 增 函 数 , 且

f ?1? ? ln1? 3?1? 6 ? ?3 ? 0 , f ? 2? ? ln 2 ? 3? 2 ? 6 ? ln 2 ? 0 .所以①正确.
② 当 a ? 0 时 原 不 等 式 变 形 为 1? 0 , 恒 成 立 ; 当 a ? 0 时 , 要 使 关 于 x 的 不 等 式

a x2 ? 2 a x ? 1 ? 0恒成立 , 则 ? ? ? 2a ? ? 4a ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? 1 , 综上可得关于 x 的不等式
2

ax2 ? 2 ax ? 1 ? 0 恒成立时 a ??0,1? .故②不正确.
③由函数图像可知函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像只有一个交点,故③不正确.



1 ?? ? y ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? sin 2 x ? 2 sin ? x ? ? 2 4? ?

,

? ?? x ? ?0, ? ? 4?



,

? ?? ?? ? ?? ? ?? 2 x ? ?0, ? , x ? ? ? , ? , 所 以 此 函 数 在 ?0, ? 上 单 调 递 增 . 所 以 4 ?4 2? ? 4? ? 2?
1 ymin ? s i n ? 0 2
考点:函数的性质; 17.解析: (Ⅰ)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由 a 5 ? 11, a 2 ? a 6 ? 18 得 ? 解得 a1 ? 3, d ? 2, 所以 an ? 2n ? 1; (Ⅱ)由 a n ? 2n ? 1 得 bn ? 2n ? 1 ? 3n .]
1 2 3 n Sn ? ? ?3 ? 5 ? 7 ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ?

? 2 ? s .i故④正确 n 1 . 4
?a1 ? 4d ? 11 , ?2a1 ? 6d ? 18

? n ? 2n ?
2

3 ?1 ? 3n ? 1? 3

3 3n?1 . ? n2 ? 2n ? ? 2 2

18.解法一:(1)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, ∴ OE // PA , ∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE ,∴ PA // 平面 BDE . 解法二:(1)以 D 为坐标原点,分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 PD ? DC ? 2 ,则 A(2, 0, 0), P(0, 0, 2), E (0,11), B(2, 2, 0) . ??? ? ???? ??? ? ?? ? ∴ PA ? (2,0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2,0) ,设 n1 ? ( x, y, z ) 是平面 BDE 的一个法向量, 则由
? ? ? ???? ? ? ? ? ?n1 ? DE ? 0 ? y ? z ? 0 得? ,取y ? ?1, 得n1 ? (1, ?1,1). ? ? ??? ? ?? ? ?n1 ? DB ? 0 ?2 x ? 2 y ? 0

??? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ∵ PA ? n1 ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ PA ? n1 , 又PA ? 平面BDE ,∴ PA // 平面BDE.
?? ? ?? ? ??? ? (2) 由(1)知 n1 ? (1, ?1,1) 是平面 BDE 的一个法向量, 又 n2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向 ?? ? ?? ? 量.设二面角 B ? DE ? C 的平面角为 ? ,由题意可知 ? ?? n1 , n2 ? .
?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 2 3 ? ?? ? ? ? ∴ cos ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? . 3 | n1 | ? | n2 | 3?2

19. 试题解析: (1)设该同学语、数、外取得优秀成绩分别为事件 A、B、C,∴P(A)= (B)=m ,P(C)=n ,

4 , P 5

24 ?4 mn ? ? 24 6 ?5 125 由已知条件可知:P(ABC)= ,P( A B C )= ,∴ ? , 125 125 ?(1 ? 4 )(1 ? m)(1 ? n) ? 6 ? 5 125 ?
又 m>n,则 m=

3 2 ,n= .6 分 5 5

(2)∵X=0,1,2,3,P(X=0)= (AB C +A B C+ A BC)= P(X=3)= X P

6 37 ,P(X=1)=P(A B C + A B C + A B C)= ,P(X=2)=P 125 125

58 , 125

24 ,∴X 的分布列为 125
0 1 2 3

6 125

37 125

58 125

24 125

∴EX=0 ?

6 37 58 24 9 +1 ? +2 ? +3 ? = . 12 分 125 125 125 125 5

考点:随机变量的概率、分布列、期望. 20. (1)

x2 y 2 ? ? 1; (2)5. 3 2

【解析】 试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定 理、基本不等式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第 一问,设出点斜式的直线 l 的方程,再结合椭圆的离心率解出 a,b,c,从而写出椭圆的方程; 第二问,分直线 l 的斜率是否存在两种情况讨论,当斜率不存在时,可数形结合得到结论,当 斜率存在时需直线与椭圆方程联立,消参,利用韦达定理两点间距离公式,代入到面积公式 中,找出 k 与 m 的关系,再计算 | ON |2 ? | OP |2 ,利用基本不等式求最值. 试题解析: (1)因为直线 l 的倾斜角为

????

??? ?

π , F2 (c,0) ,所以,直线 l 的方程为 y ? x ? c , 4

由已知得

c 2 3 ? ,所以 c ? 1 .又 e ? ,所以 a ? 3 , b ? 2 , 2 3 2
x2 y 2 ? ?1 . 3 2
4分

椭圆 C 的方程

(2) )当直线 l 的斜率不存在时, P, Q 两点关于 x 轴对称,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由 P ? x1 , y1 ? 在椭圆上,则 知 ON ? PQ = 2 6 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 为 y ? kx ? m ,代入
2 即2 2x2 ? 3(kx ? m)2 ? 6 , ( 3 ? )k 2 x26? k m x 3? m 6 ?0 ?

x12 y12 6 6 ? ? 1 ,而 S ? x1 y1 ? ,则 x1 ? , y1 ? 1 3 2 2 2
5分

???? ??? ?

x2 y 2 ? ? 1 可得 3 2
2 2 , 由题意 ? ? 0 , 即 3k ? 2 ? m .

x1 ? x2 ? ?

6km 3m2 ? 6 , x x ? . 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

7分

PQ ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 2 ? 3k 2

d?

m 1? k 2
2

, S?POQ
2

1 1 2 6 3k 2 ? 2 ? m2 6 , ? ? d ? PQ ? m ? 2 2 2 2 ? 3k 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

化为 4m (3k ? 2 ? m ) ? (3k ? 2) , (3k ? 2) ? 2? 2m (3k ? 2) ? (2m ) ? 0 , 即 (3k ? 2 ? 2m ) ? 0 .
2 2 2

则 3k 2 ? 2 ? 2m2 ,满足 ? ? 0 , 由前知 x1 ? x2 ? ?

9分

3k 2 2 3k ? 2m ? , , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ? m m m

???? 2 9k 2 4 1 ON ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 2 ? 2 ? 2(3 ? 2 ) . m m m

??? ?2 24(3k 2 ? 2 ? m2 ) 2(2m2 ? 1) 1 PQ ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ) 2 2 2 (2 ? 3k ) m m

11 分

???? 2 ??? ?2 1 1 1 1 ON PQ ? 4(3 ? 2 )(2 ? 2 ) ≤ 25 ,当且仅当 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,即 m ? ? 2 时等号成 m m m m
立, 故 ON PQ ≤ 5 . 综上可知 ON PQ 的最大值为 5 .

???? ??? ?

???? ??? ?

12 分

考点:椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式. 21. (1) 2 x ? y ? ln 2 ? 2 ? 0 ; (2) ? ? ? 【解析】 试题分析: (1)求导,利用导数的几何意义进行求解; (2)求导,根据函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,得到 a 的取值范围,再利用二次函数的对称轴与开口方向求得最值,得到关于

13 1 或? ? ; (3)证明略. 8 9

? 的不等式,再进行求解; (3)先判定函数 f ( x) 的单调性,再合理进行赋值放缩进行证明.
试题解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ?

1 1 ? ln , x x

f ?( x ) ? 1 2

1 1 ? , x2 x

1 2 1 1 1 ? 函数 f ( x) 的图象在点 ( , f ( )) 的切线方程为: y ? (ln 2 ? 1) ? 2( x ? ) , 2 2 2
则 f ?( ) ? 4 ? 2 ? 2 , f ( ) ? 1 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ? 1

即 2 x ? y ? ln 2 ? 2 ? 0 (Ⅱ) f ?( x) ?

3分

a 1 a?x ? ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 ? x ? a x2 x x
4分 5分

由于函数 f ( x) 在区间 (0, 2) 上不存在极值,所以 a ? 0 或 a ? 2 由于存在 a 满足 h(a) ?

? ? ,所以 h(a)max ? ? ?

1 8

1 8

3 ? 4 3? 3? 8 3 9 ? 0或 ? 2 ,即 ? ? 0 或 ? ? 时, h(a ) max ? h( ? ) ? ? 2 , ①当 4 4 3 4 8 8 8 9 2 1 1 1 由 h(a)max ? ? ? ? ? ? ? ? ,结合 ? ? 0 或 ? ? 可得: ? ? ? 或 ? ? 3 3 9 8 8 8 3? 4 ? 1 ,即 0 ? ? ? 时, h(a)max ? h(0) ? 0 , ②当 0 ? 4 3 1 4 1 由 h(a)max ? ? ? ? 0 ? ? ? ,结合 0 ? ? ? 可知: ? 不存在; 8 3 8 3? 4 8 ? 2 ,即 ? ? ? 时, h(a)max ? h(2) ? 6? ? 8 ; ③当 1 ? 4 3 3 1 4 8 13 8 1 ??? 由 h(a)max ? ? ? ? 6? ? 8 ? ? ? ,结合 ? ? ? 可知: 8 3 3 8 3 8 13 1 综上可知: ? ? ? 或? ? 8分 8 9 1? x (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ?( x ) ? 2 ,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当? (1, ??) x 1 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,∴ f ( x) ? 1 ? ? ln 在 x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0 x x 1 1? x 1 1 即 f ( x) ? 1 ? ? ln ? f (1) ? 0 ,∴ ln ? , 10 分 x x x x n n ?1 1 1 ? ,即 ln( n ? 1) ? ln n ? , 令x? ,则 ln n ?1 n n n
对于函数 h(a) ? 3?a ? 2a2 ,对称轴 a ? ∴ ln(n ? 1) ? ln(n ? 1) ? ln1 ? [ln(n ? 1) ? ln n] ? [ln n ? ln(n ? 1)] ? ? ? (ln 2 ? ln1)

1 1 1 1 ? ? ?? ? . n n ?1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 故 ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 4 5 n ?
考点:1.导数的几何意义;2.函数的单调性;3.函数的极值;4.放缩法. 22. (Ⅰ) .3 (Ⅱ) 2 2

12 分

【解析】 试题分析:第一问根据圆的性质,得出相应的相等角,从而得出相似三角形,从而得出线段

成比例,进而求得结果,第二问根据割线定理求得结果.
E A C O F B D P

试题解析: (Ⅰ)连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧 长 AE 等于弧长 AC 可得 ?CDE ? ?AOC , 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP , 从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO , ∴

PF PD ? , PC PO

4分

PC ? PD 12 ? ?3. 6分 PO 4 (Ⅱ)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r ,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT
由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ?
2 则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2

10 分

考点:圆的性质,相似三角形,各线定理. 23. (1) ? ? 2 cos? ; (2)2. 【解析】 试题分析: (1)先消去参数,得到圆的普通方程,再利用 ?

? x ? ? cos? 化成极坐标方程; (2) ? y ? ? sin ?

联立两曲线的极坐标方程,求出曲线的交点,再求两点间的距离. 解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程间的相互转化,消去参数方程中的参数得

? x ? ? cos? ? 到普通方程,利用 ? y ? ? sin ? 实现极坐标方程与普通方程的互化. ?? 2 ? x 2 ? y 2 ?
试题解析:圆的普通方程为 ?x ?1? ? y 2 ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以圆的极坐标方
2

程为 ? ? 2 cos? ;

??1 ? 2 ? cos?1 ? ?1 ? 1 ? ? 设 ??1 ,?1 ? 为点 P 的极坐标,则有 ? ,解得 ? ? ? ; ? ? ? ? 1 1 ? ? 3 3 ? ?

?? 2 (sin? 2 ? 3 cos? 2 ) ? 3 3 ?? 2 ? 3 ? ? 设 ?? 2 , ? 2 ? 为点 Q 的极坐标,则有 ? ,解得 ? ?; ? ?2 ? ? ?? 2 ? 3 ? 3 ?

??1 ? ? 2 ,? PQ ? ?1 ? ?2 ? 2 ,即线段 PQ 长为 2.
考点:1.曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化;2.曲线的交点;3.两点的距离 公式. 24.

3 34

【解析】 试题分析:直接利用柯西不等式即可解决

1 ? ? 试题解析: 由柯西不等式,?( x) 2 ? ( 2 y ) 2 ? ( 3z ) 2 ? ? ?32 ? ( 2) 2 ? ( ) 2 ? ? (3 x ? 2 y ? z ) 2 ? 1 , ? ? ? 3 ?
4分 所以 x2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ≥

3 , 34

当且仅当

x 2y 3z 9 3 1 ? ? ,即 x ? , y ? , z ? 时,等号成立, 1 3 2 34 34 34 3

所以 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 的最小值为 考点:柯西不等式

3 . 34

10 分



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