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【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题7 第28练



第 28 练

直线和圆的位置关系

[内容精要] 直线和圆的位置关系是直线和圆这部分知识的核心内容,也是高考考查的重点, 首先要知道直线和圆的位置关系有哪些,如何去判断,有哪些方法可以用来判断直线和圆的 位置关系,这些方法的注意事项又是什么?

题型一 直线和圆的位置关系的判断问题 例 1 已知圆 C:x2+y2-4x

=0,l 是过点 P(3,0)的直线,则( A.l 与 C 相交 C.l 与 C 相离 B.l 与 C 相切 D.以上三个选项均有可能 )

破题切入点 由于不知道直线 l 的方程,于是需要求 P 点与圆 C 的位置关系. 答案 A 解析 将点 P(3,0)的坐标代入圆的方程,得 32+02-4×3=9-12=-3<0, ∴点 P(3,0)在圆内. ∴过点 P 的直线 l 一定与圆 C 相交. 题型二 弦长问题 例 2 若圆上一点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且圆与直线 x-y+1=0 相交 的弦长为 2 2,则圆的方程是__________________. 破题切入点 将已知条件转化为直线 x+2y=0 过圆心,弦长可通过几何法表示. 答案 (x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244 解析 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,说 明圆心在直线 x+2y=0 上,即有 a+2b=0,又(2-a)2+(3-b)2=r2,而圆与直线 x-y+1=0

-1-

相交的弦长为 2 2,故 r2-?

?a-b+1?2 ? =2, 2 ? ?
a=14, ? ? 或?b=-7, ? ?r =244.
2

a=6, ? ? 依据上述方程,解得?b=-3, ? ?r =52
2

所以,所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244. 题型三 直线和圆的综合性问题 例 3 如图所示,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相 切,过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中点, 直线 l 与 l1 相交于点 P. (1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程; (3)BQ· BP是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由. 破题切入点 (1)由圆 A 与直线 l1 相切易求出圆的半径,进而求出圆 A 的方程. (2)注意直线 l 的斜率不存在时也符合题意, 以防漏解, 另外应注意利用几何法, 以减小计算量. (3)分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论. 解 (1)设圆 A 的半径为 R. ∵圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, ∴R=

→ →

|-1+4+7|=2
5

5.

∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 即 kx-y+2k=0.连接 AQ, 则 AQ⊥MN. ∵|MN|=2 19,∴|AQ|= 由|AQ|= 20-19=1.

|k-2| =1,得 k=3.
k2+1 4

∴直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. ∴所求直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0.
-2-

(3)∵AQ⊥BP,∴AQ· BP=0. ∴BQ· BP=(BA+AQ)· BP =BA· BP+AQ· BP=BA· BP. 5? 当直线 l 与 x 轴垂直时,得 P? ?-2,-2?.

→ →

→ →



→ →

→ →

→ →

→ →

→ 0,-5? → 则BP=? 2?,又BA=(1,2), ?
∴BQ· BP=BA· BP=-5. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2).

→ →

→ →

? ?-4k-7 -5k ? ?y=k?x+2?, , 由? 解得 P? ?. ?x+2y+7=0, ? 1+2k 1+2k? ?
∴BP=?



? -5

-5k ? , ?. ?1+2k 1+2k?

∴BQ· BP=BA· BP=

→ →

→ →

10k - =-5. 1+2k 1+2k

-5

综上所述,BQ· BP是定值,且BQ· BP=-5. 总结提高 (1)直线和圆的位置关系一般有两种判断方法:一是将直线和圆的方程联立,利用

→ →

→ →

判别式的符号求解根的个数,即为直线和圆的交点个数;二是将圆心到直线的距离 d 和半径 r 相比较,当 d>r 时相离,d=r 时相切,d<r 时相交. (2)求圆的弦长的方法:一是直接求出直线与圆的交点坐标,利用两点间的距离公式求得;二 是不求交点坐标,利用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为 k,联立直线与 圆的方程消去 y 后得到方程两根为 x1,x2,则弦长 d= 1+k2|x1-x2|;三是利用半弦长、弦心

距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法较为简单.

1 .直线 (1 +3m)x+ (3- 2m)y + 8m-12= 0(m∈R) 与圆 x2 + y2- 2x- 6y+ 1=0 的交点个数为 ( )

A.1 B.2 C.0 或 2 D.1 或 2
-3-

答案 B 解析 将含参直线方程分离变量可得 m(3x-2y+8)+x+3y-12=0,

? ?3x-2y+8=0, 不论 m 取何值,直线恒过两直线? 的交点 A(0,4), ?x+3y-12=0 ?
又易知定点 A 在圆内,故直线必与圆恒相交,故选 B. 2.(2014· 浙江)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值为( )

A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 答案 B 解析 由圆的方程 x2+y2+2x-2y+a=0 可得, 圆心为(-1,1),半径 r= 2-a.

圆心到直线 x+y+2=0 的距离为 |-1+1+2| d= = 2. 2 4 由 r2=d2+( )2,得 2-a=2+4,所以 a=-4. 2 3.(2014· 北京)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C 上存在 点 P,使得∠APB=90° ,则 m 的最大值为( A.7 B.6 C.5 D.4 答案 B 解析 根据题意,画出示意图,如图所示, 则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m. 因为∠APB=90° , 连接 OP, 1 易知|OP|= |AB|=m. 2 要求 m 的最大值, 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离. 因为|OC|= 32+42=5, )

-4-

所以|OP|max=|OC|+r=6, 即 m 的最大值为 6. 4.(2014· 福建)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 1 的面积为 ”的( 2 )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案 A 解析 将直线 l 的方程化为一般式得 kx-y+1=0,所以圆 O:x2+y2=1 的圆心到该直线的距 离 d= .又弦长为 2 k +1
2

1

1 2|k| 1 1 2|k| |k| 1 1- 2 = ,所以 S△OAB= · · = 2 = , 2 2 2 2 2 k +1 k +1 k +1 k +1 k +1

1 解得 k=± 1.因此可知“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分而不必要条件,故选 A. 2 5.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于( A.2 5 答案 B 解析 ∵圆心到直线 x+ 3y-2=0 的距离 |0+ 3×0-2| d= =1,半径 r=2, 12+? 3?2 ∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 22-12=2 3. ) B.2 3 C. 3 D.1 )

6.“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(x-b)2=2 相切”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

|a-b+2| 解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为: = 2?|a-b+2|=2?a=b 或 a-b 2 =-4,故“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 7.已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆 C1 与圆 C2 相外切,则实数 m=________. 答案 -5 或 2
-5-

解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,配方得 圆 C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆 C2:(x+1)2+(y-m)2=4, 则 C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2. 如果圆 C1 与圆 C2 相外切,那么有|C1C2|=r1+r2, 即 ?m+1?2+?m+2?2=5,

则 m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2, 所以当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 相外切. 8.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A(1,0),且被 x 轴分成的两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的方 程为________________. 4 3 答案 x2+?y± ?2= ? 3? 3 解析 ∵圆 C 关于 y 轴对称, ∴圆 C 的圆心在 y 轴上,可设 C(0,b), 设圆 C 的半径为 r,则圆 C 的方程为 x2+(y-b)2=r2.
2 2 2 ? ?r2=3, ?1 +?-b? =r , 依题意,得? 解得? 1 3 |b|= r, ? 2 ? ?b=± 3 .

4

4 3 ∴圆 C 的方程为 x2+?y± ?2= . ? 3? 3 9.(2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的 弦长为________. 答案 2 55 5

解析 圆心为(2,-1),半径 r=2. |2+2×?-1?-3| 3 5 圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r2-d2=2 3 5 2 2 55 22-? ?= . 5 5

10.(2014· 山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长 为 2 3,则圆 C 的标准方程为________________.
-6-

答案 (x-2)2+(y-1)2=4 解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0), 由题意得 a=2b>0,且 a2=( 3)2+b2, 解得 a=2,b=1. 所以,所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 11.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 解 (1)圆心 C(1,2),半径为 r=2, 当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=3. 由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知, 此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 由题意知 =2, k2+1 3 解得 k= . 4 3 所以直线方程为 y-1= (x-3), 4 即 3x-4y-5=0. 综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| (2)由题意有 =2, a2+1 4 解得 a=0 或 a= . 3 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 |a+2| , a2+1

-7-

∴(

|a+2|

2 32 )2+( ) =4, 2 a2+1

3 解得 a=- . 4 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (1)求 k 的取值范围; → → → (2)是否存在常数 k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在求 k 的值;如果不存在,请说明理 由. 解 方法一 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4, 所以圆心为 Q(6,0). 过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2, 代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0, 整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.① 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0, 3 3 解得- <k<0,即 k 的取值范围为(- ,0). 4 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 则OA+OB=(x1+x2,y1+y2), 4?k-3? 由方程①得,x1+x2=- .② 1+k2 又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③ → 而 P(0,2),Q(6,0),PQ=(6,-2). 3 → → → 所以OA+OB与PQ共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式,解得 k=- . 4 3 由(1)知 k∈(- ,0), 4 故不存在符合题意的常数 k. 方法二 (1)∵Q(6,0),直线 AB 的方程:y=kx+2,
-8-

∴Q 到 AB 的距离 d= 3 ∴k∈(- ,0). 4

|6k+2| 1+k2

<2(圆半径 r=2),

→ → → → → (2)∵OA+OB=2OC(C 为 AB 中点),∴OC∥PQ. → 而PQ=(6,-2), 1 过 Q 与 AB 垂直的直线为 y=- (x-6), k

? ?y=kx+2, 6-2k 6k+2 ∴? 解得 C( 2 , ), 1 k +1 k2+1 y=- ?x-6?, ? k ?
→ 6-2k 6k+2 即OC=( 2 , ). k +1 k2+1 6k+2 1 3 3 =- ,k=- ?(- ,0), 3 4 4 6-2k



故不存在符合题意的常数 k.

-9-



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