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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数列的概念教案 北师大版必修5



数列的概念
教学目标 1.通过教学使学生理解数列的概念,了解数列的表示法,能够根据通项公式写出数列的项. 2.通过数列定义的归纳概括,初步培养学生的观察、抽象概括能力;渗透函数思想. 3.通过有关数列实际应用的介绍,激发学生学习研究数列的积极性. 教学重难点 教学重点是数列的定义的归纳与认识; 教学难点是数列与函数的联系与区别. 教学过程 一.揭示课题 先举一个生活中的

例子:场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有 100 根,在其上一层 (称作第二层)码放了 99 根,第三层码放了 98 根,依此类推,问:最多可放多少层?第 57 层有多少根?从第 1 层到第 57 层一共有多少根?我们不能满足于一层层的去数,而是要 求如何去研究,找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数 (板书) (板书)第一章 数列 (一)数列的概念 二.讲解新课 要研究数列先要知道何为数列,即先要给数列下定义,为帮助同学概括出数列的定义, 再给出几列数: ①各排钢管的数量:3,4,5,6,7,8,9 ②我国 1998~2002 年 GDP 值(亿元):78345 82067 89442 95933 102389 ③五次人口普查的数量(百万):60193 72307 103188 116002 129533 ④正弦函数 y ? sin x 的图像在 y 轴左边所有最低点从右向左,它们的横坐标依次排成一 列数: ? 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列.

?
2

?

9? 5? ? 2 2

?

13? 17? ? …… 2 2 1 1 1 , , …… 2 3 4

⑤正整数

的倒数排成一列数: 1,

⑥某人 2006 年 1~~12 月工资,按月顺序排列为:1100 1100 1100 …… 1100 ⑦函数 y ?

1 当 x2

依次取 1,2,3,...,n ( n ? N )时得到一列数: 1,

?

1 1 1 , ,..., 2 4 9 n

请学生观察 7 列数, 说明每列数就是一个数列, 数列中的每个数都有自己的特定的位置, 这样数列就是按一定顺序排成的一列数.
1

(板书)1.数列的定义:按一定次序排成的一列数叫做数列. 为表述方便给出几个名称:项,项数,首项(以幻灯片的形式给出).以上述七个数列 为例,让学生练习指出某一个数列的首项是多少,第二项是多少,指出某一个数列的一些项 的项数. 由此可以看出,给定一个数列,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,……,每 一项都是确定的,即指明项数,对应的项就确定.所以数列中的每一项与其项数有着对应关 系,这与我们学过的函数有密切关系. 对概念的理解 数集中的元素具有确定性,互异性,无序性,那么数列中的项是否具有这些属性? 教师提出问题: 1:1,2,3,4 与 4,3,2,1 是否为同一数列? 2: -1,1,-1,1 是否为一个数列? 遇到数学概念不但要下定义,还要给其数学表示,以便研究与交流,下面探讨数列的表 示法. (板书)2.数列的表示法 数列可看作特殊的函数, 其表示也应与函数的表示法有联系, 首先请学生回忆函数的表 示法:列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表示第一项,用 (板书)(1)列举法 . 简记为 . 表示第一项,……,用 表示第 项,依次写出成为

一个函数的直观形式是其图象,我们也可用图形表示一个数列,把它称作图示法. (板书)(2)图示法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 项 为纵坐标,即以 为横坐标,相应的

为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列

1 1 1 1, , , …为例,做出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐 2 3 4
标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以

直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 有些函数可以用解析式来表示, 解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关 系,类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来,即 做数列的通项公式. (板书)(3)通项公式法 认识数列的通项公式 ,这个函数式叫

2

数列可看作特殊的函数, 其表示也应与函数的表示法有联系, 首先请学生回忆函数的表 示法:列表法,图象法,解析式法。对应于函数的解析式法,认识数列的通项公式。 如 1100 1100 1100 …… 1100 的通项公式为 a n ? 1100 ( 1 ? n ? 12 )

1 1 1 1 1, , , … 的通项公式为 a n ? n ? N ? ; 2 3 4 n
数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的

一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列 便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 例如,数列 的通项公式 ,则 .

值得注意的是, 正如一个函数未必能用解析式表示一样, 不是所有的数列都有通项公式, 即便有通项公式,通项公式也未必唯一. 除了以上三种表示法,某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来 表示,叫做递推公式. (板书)3.数列与函数的关系 认识数列与函数的关系 数列中的数和它的序号是什么关系?哪个是变动的量, 哪个是随之变动的量?你能联想到以 前学过的哪些相关内容? 教师:举例。将序号写在上面,下面的相应位置写上数列的各项。首先引导学生说出上下两 行是两组变量,然后分析这两组变量之间的关系。 学生:联想到函数间的变量依赖关系,认识到数列是函数。 教师:数列的定义域和值域分别是什么? 教师引导学生归纳出:数列可以看成是以正整数 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n} ) 为定义域的函数 值。 数列可以看作特殊的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值,数列的定义域是 正整数集 ,或是正整数集 的有限子集 .

an ? f (n) ,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待数列. 例:P5 课本例题 练习: (1)数列 ?an ? 的通项公式 an ?

1 ,则 17 ? 4 是该数列中的第 16 项. n ?1 ? n
9 ,65 是它
3

(2)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n2 ? 4n ?12 ,则 a4 = ?12 , a7 =

的第 11 项 ;从第 7 项起各项为正; ?an ? 中第 (3) ?an ? 中 an ? n2 ? 9n ?100 ,则值最小的项是第 三.小结 1.数列的概念 四.作业 略 五.板书设计 数列 (一)数列的概念 1.数列的定义 2.数列与函数的关系 3.数列的表示法 (1)列举法 (2)图示法 (3)通项公式法 (4)递推公式法 2.数列的四种表示

2

项的值最小为 ?16

4 或 5 项.

4



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