湖南省浏阳一中2015-2016学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题 理

2016 年上学期浏阳一中高二年级第一次阶段性测试卷 数学（理科）
时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题： （本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是满足题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上。 ） 1.若 z ? A. i

2?i ，则复数 z 的虚部为（ 1 ? 2i
B. ?i

） C.1 D.-1

2.观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31,......，猜想 第 n 个等式（n 为正整数）应为（ ） A．9（n+1）+n=10n+9 B．9（n﹣1）+n=10n﹣9 C．9n+（n﹣1）=10n﹣1 D．9（n﹣1）+（n﹣1）=10n﹣10 3.已知命题 p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ，则 ? p 是（ A. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 2 ? 0 C. ?x0 ? R, x02 ? 2x0 ? 2 ? 0 4.“ a ? 2, b ? 2 ”为“曲线 ）

B. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? R, ab ? 0) 经过点 ( 2,1) 的” （ a 2 b2
B. 必要而不充分条件

）

A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件
） D.8

5.在 ( x ? 1)4 的展开式中， x 的系数为（ A.2 B. 4 C.6

6. .将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 A．18 B．24
2

( D．36

)

C．30

7.如图， 函数 y=﹣x +2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形 （图中的阴影部分） ， 则该闭合图形的面积是（ A.1 B. ） C.

4 3

3

D. 2

8.已知直线 y ? kx 是 y ? ln x 的切线，则 k 的值为（ ） A.

1 e

B. ?

1 e

C.

2 e

D. ?

2 e
-1-

9.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，若其渐进线与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 3 ? 0 相切，则 此双曲线的离心率等于（ ） A.

1 2

B.

3

C.

6 2

D.

6

10.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ，若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ? 0 ，则 a 的取值范围 是（ ） A.

? 2, ???

B. ?1, ?? ?

C.

? ??, ?2?

D.

? ??, ?1?

11.已知椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F，离心率 e ? ，过原点的直线 l 交椭 2 a b 2

圆 E 于 A，B 两点，若 AF ? BF ? 4 ，则椭圆 E 的方程是（ ）

A.

x2 ? 2 y2 ? 1 2

B.

x2 ? y2 ? 1 4

x2 y 2 ? ?1 C. 16 4

x2 y 2 ? ?1 D. 8 2

12.若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (0) ? ?1 ，其导函数 f '( x) 满足 f '( x) ? k ? 1 ，则

1 1 )与 大小关系一定是（ ） k ?1 k ?1 1 1 1 1 )? )? A. f ( B. f ( k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 1 )? )? C. f ( D. f ( k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 f(
二、填空题： （本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把正确答案填在答题卡的相应位置。 ） 1 2 2 3 3 k k k 10 10 13. 1－90C10＋90 C10－90 C10＋?＋(－1) 90 C10＋?＋90 C10除以 88 的余数是________． 14.已知抛物线 y ? ax 的准线方程为 y ? ?1 ，则实数 a ? _________.
2

15. 5 个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．

16.设函数 f '( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数， f (?1) ? 0 ，当 x ? 0 时，

xf '( x) ? f ( x) ? 0 ，则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是_________.
三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ） 17. （本小题 10 分） 从 5 名男生和 3 名女生中任选 3 人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量 X 表示所选 3 人中
-2-

女生的人数，求 X 的分布列及 P(X＜2)．

18.（本题满分 12 分）
2 7 已知 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a7 x ，求： 7

（1） a1 ? a2 ???? ? a7 ； （2） ? a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? ．
2 2

19. （本题满分 12 分） 如图，已知三棱锥 O﹣ABC 的侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且 OA=1，OB=OC=2，E 是 OC 的中点． （1）求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值； （2）求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值．

20.（本小题 12 分） 已知抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴上，又知此抛物线上一点 A(4，m)到焦点的距离为 6. (1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线 y＝kx－2 相交于不同的两点 A、B，且 AB 中点横坐标为 2，求 k 的值．

-3-

21. （本题满分 12 分） 已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为 A(0,1)，离心率为 焦点 F1 的直线交椭圆于 C，D 两点，右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程； (2)求△CDF2 的面积．

x2 y2 a b

2 ，过点 B(0，－2)及左 2

22. （本题满分 12 分） 已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3 。
2

（1）求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最小值； （2）对一切 x ? (0, ??) ， 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）证明：对一切 x ? (0, ??) ，都有 ln x ?

1 2 ? 成立。 e x ex

一、 选择题 1-6DBCACC 7-12BACABC 二、 填空题 13.1 14

1 4

15.72

16. (??, ?1) ? (0,1)

三、解答题 17 X P 0 1 2 3

5 28

15 28

15 56

1 56

-4-

P(X<2)=

5 7

18.(1) -2 (2)-2187 19 解： （1）以 O 为原点，OB、OC、OA 分别为 X、Y、Z 轴建立空间直角坐标系． 则有 A（0，0，1） 、B（2，0，0） 、C（0，2，0） 、E（0，1，0） ∴ ∴COS＜ ， ＞= =﹣

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为 ? （2）设平面 ABC 的法向量为 知 知 则 故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为 取 ， 则

20

(1)

y 2 ? 8x (2)k ? 2, k ? ?1(舍去）

x2 ? y2 ? 1 2 21. 10 CD ? 2 9

d?

4 4 5 S? 10 5 9
1 e

22 解： （1） f '( x) ? ln x ? 1, f '( x) ? 0, x ?

1 1 ? f ( x) 在 ( , ??) 上单调递增， f '( x) ? 0, 0 ? x ? e e 1 1 ? f ( x) 在 (0, ) 上单调递减，? f ( x) 在 x ? 处取最小值， e e 1 1 1 1 ? f ( x) min ? f ( ) ? ln ? ? 。 e e e e

-5-

-6-