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2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编10:排列组合及二项式定理


2013 届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编 10:排列组合及二项式定理

一、选择题 1 . (2013 届天津市高考压轴卷理科数学)二项式 ( ?

x 2

1
3

x

)8 的展开式中常数项是
D.-28





A.28
【答案】C

B.-7

C.7

【解析】 展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C8 ( )
k
6 所以常数项为 T7 ? C8 ( )8?6 ( ?1)6 ? 7 ,选

x 2

8? k

(?

4 8? k 1 k 1 4k ) ? C8k ( )8? k (?1) k x 3 ,由 8 ? ? 0 得k ? 6, 3 2 3 x

1 2

C.

2 . (2013 届广东省高考压轴卷数学理试题)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3

位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A.60 B.48 C.42
【答案】B
2 2 先把两个女生选好在捆绑在一起 C3 A2 ? 6

( D.36



假设捆在一起的女生记为 A,B,另一个女生记为 C,两个男生记为甲乙,从左到右编号 1~5 (一)A,B 排在 1,2 号,那么甲可以选 3,4.若甲选 3,则 C,乙无要求,有 2 种;如果甲选 4 号,则 C 只能选 5 号,有一种.则共 3 种情形 (二)A,B 排在 2,3 号,那么甲只能选 4 号, C 只能选 5 号,有一种. (三)A,B 排在 3,4 号,那么甲只能选 2 号, C 只能选 1 号,有一种. (二)A,B 排在 4,5 号,情形同(一)共 3 种 则总数为 N=6*8=48 种 3 . (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题)若从 1,2,3,,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为奇数, 则不同的取法共有 ( ) A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 【答案】A 【解析】 若四个数之和为奇数,则有 1 奇数 3 个偶数或者 3 个奇数 1 个偶数.若 1 奇数 3 个偶数,则有
1 3 3 1 C5C4 =20 种,若 3 个奇数 1 个偶数,则有 C5 C4 =40 ,共有 20 ? 40=60 种.

4 . (2013 届全国大纲版高考压轴卷数学理试题)一圆形餐桌依次有

( A. B. C. D.E、F 共有 6 个座位.现让 3 和 3 个小孩入座进餐,要求任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总 数为 ( ? ( A.6 ? B.12 C.72 D.144?
【答案】

) 个大人 )? )

C.若 A.
A B F

( B.

) D.F 坐小孩;

C.E 坐大人,则

C D

E

第 1 页,共 4 页

若 A.

B. C.E 坐小孩.共有

D.F 坐大人,则
3 3 2 A3 A3 ? 72





种方法.
2

5 . (2013 新课标高考压轴卷(一)理科数学)设 a ? ? 0 (cos x ? sin x) dx ,则二项式 ( x ?

?

a 6 ) 展开式中的 x3 x
( )

项的系数为 A.-20

B.20
?

C.-160

D.160
?
0

【 答 案 】 C 【 解 析 】 因 为 a ? ? 0 (cos x ? sin x) dx ? (sin x ? cos x)

? ?2 , 所 以 二 项 式 为

a 2 2 ( x 2 ? )6 ? ( x 2 ? )6 , 所 以 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C6k ( x 2 )6? k (? ) k ? C6k x12?3k (?2) k , 由 x x x
3 12 ? 3k ? 3 得 k ? 3 ,所以 T4 ? C6 x 3 (?2)3 ? ?160 x3 ,所以 x3 项的系数为 ?160 .选

C.

6 . (2013 新课标高考压轴卷(一)理科数学)某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运

输工作,并按出发顺序前后排成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时 不能相邻,那么不同排法种数为 ( ) A.360 B.520 C.600 D.720
【答案】【解析】 C 若甲乙只有一个参加,则有 C2C5 A4 ? 480 .若甲、 乙同时参加,则有 C5 A2 A3 ? 120 ,
1 2 4 2 2 2

C. 7 . (2013 届山东省高考压轴卷理科数学)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有 5 架 舰载机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有 ( ) A. 12 B. 18 C. 24
2

所以共有 600 种排法,选

D. 48

【答案】C【解析】分三步:把甲、乙捆绑为一个元素 A ,有 A2 种方法; A 与戊机形成三个“空”,把丙、
2 丁 两 机 插 入 空 中 有 A3 种 方 法 ; 考 虑 A 与 戊 机 的 排 法 有 A2 种 方 法 . 由 乘 法 原 理 可 知 共 有

2

2 2 A2 A32 A2 ? 24 种不同的着舰方法.故应选

C.

二、填空题

1 ? ? ?4 8 (2013 届全国大纲版高考压轴卷数学理试题) ? 1 ? 2 ? ?n ? N , n ? 1? 的展开式中 x 的系数为 a n , 则 . 若 x ? ?

n

? 1 1 1 ? ?= lim? ? ??? n? ?? a an ? ? 2 a3 ?
【答案】
2 an ? C n ( ?1)2 ?

.

2.

1 1 1 n( n ? 1) ? ? 2( ? ) an n?1 n 2

?? 1 1 1 1? ?1 1? 1 ?? 1? ? 1 ? ? ??? ? 2 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ? 1 ? ? a2 a3 an 2? ? 2 3? n? ? n ? 1 n ?? ? ?? 1? ? ? lim 2 ? 1 ? ? ? 2 n ?? n? ?
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9 . (2013 届新课标高考压轴卷(二)理科数学)二项式 ( x ? 【答案】36 10. (2013 届陕西省高考压轴卷数学(理)试题)若 ( x ?
r

1 9 ) 的展开式中含 x5 的项的系数是( x

)

1 7 ) 展开式中含 x 的项的系数为 280,则 a = ax
r 3

? 1 ? ? 1? r ? 1? 3 1 r Tr ?1 ? C7 x 7 ? r ? ? ? ? ? ? ? C7 x 7? 2r T4 ? ? ? ? C7 x ? ? ax ? ? a ? ? a? 【答案】 2 【解析】 ,所以 ,所以 1 ? 1? 3 ? ? ? C7 ? 280, a ? ? . 2 ? a?
11. (2013 届上海市高考压轴卷数学(理)试题) ( x ?
3

1 6 ) 的展开式中,系数最大的项为第_______________ x

项.
【答案】3 或 5

【解析】 ( x ? ) 6 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异,又中间项的二项式系数最大,中间项为 第 4 项其系数为负,则第 3,5 项系数最大. 12. (2013 届四川省高考压轴卷数学理试题)七名同学站成一排合影留念,要求甲必须站在正中间,乙丙两位 同学要站在一起,则不同的站法有__________种. 【答案】240
13. (2013 届湖南省高考压轴卷数学(理)试题) 若

1 x

?1 ? 2 x ?2013 ? a0 ? a1 x ? ... ? a 2013 x 2013 ( x ? R) ,则

a a1 a 2 ? 2 ? ... ? 2013 ? _______. 2 2 2 2013
【答案】-1 14. (2013 届福建省高考压轴卷数学理试题)从 0,1,2,3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的

个数是________(用数字回答). 【答案】 10 【解析】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况.
2 2 1 【1】没 0:2 必填个位, A2 种填法;【2】有 0:0 填个位, A3 种填法;0 填十位,2 必填个位, A2 种填法; 2 2 1 所以,偶数的个数一共有 A2 + A3 + A2 =10 种填法.

15. (2013 届安徽省高考压轴卷数学理试题)已知二项式 x cos ? ? 1 的展开式中 x 项的系数与 x ? ( ) (
5 2

5 4 )的 4

展开式中 x 3 项的系数相等,则 cos ? =_______________.
【答案】 ?

2 5 4 5 1 3 【解析】 x cos ? ? 1 5 中 x 2 的系数是 C5 cos 2 ? , x ? )中 x 3 的系数是 C4 ? ,所以 ( ) ( 4 2 4 2 5 得, cos ? ? ? . 2 4
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3 1 令 C5 cos 2 ? ? C4 ?

16. (2013 届江西省高考压轴卷数学理试题)已知展开式

( x ? 1) 6 ? a 0 ? a1 x ? ? ? a 6 x 6 ,则 a0 ? a6 的值为

______.
【答案】 2

? 2 1? 4 17. (2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题) ? x ? ? 展开式中 x 的系数为_______(用数字作答) . x? ?
【答案】10
r r 2 【解析】 Tr ?1 ? C5 ( x 2 )5? r ( ) r ? C5 x10?3r ,10-3r=4,r=2,代入得 T3 ? C5 x 4 ? 10 x 4

5

1 x

18. (2013 届山东省高考压轴卷理科数学)(2013 滨州市一模)设 a ?

?

?

0

sin xdx,则二项式(a x ?

1 6 ) 的展开 x

式中的常数项等于________.

【答案】-160 词

【解析】

a ? ? sin xdx ? (? cos x) |? ? 2,? (a x ? 0
0

?

1 6 1 6 ) ? (2 x ? ) , x x

? Tr ?1 ? (?1) r 26 ? r C6r x 3? r ,? r ? 3,
所以常数项为-160.
19. (2013 届广东省高考压轴卷数学理试题) 若 (1 ? x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ??? ? an x (n ? N ) ,且
n 2 3 n *

a1 : a3 ? 1: 7 ,则 a5 ? _____
【答案】 ?56
1 a1 ?Cn 1 1 ? ? ? 得 n=8, a5 ? ?C85 ? ?56 3 a3 ?Cn n ? n ? 1?? n ? 2 ? 7 6

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