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高二数学(理)期末复习题(四)



高二数学(理)期末复习题(四) 一、选择题(50 分) 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加 一天且每天至多安排一人,则甲被安排在另外两位前面的概率为( ) A. B. C. D.

3.设 a,b 为实数,若复数 (A) a ?

1+2i ? 1 ? i ,则( a ? bi



3 1 ,b ? 2 2 1 3 (C) a ? , b ? 2 2
x

(B) a ? 3, b ? 1 (D) a ? 1, b ? 3

4.已知点 P 在曲线 y= ( ) (A)[0,

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1

2 4 a 5 3 5. ( x ? ) ( x ? R )展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 等于( ) x 1 (A)-1 (B) (C) 1 (D) 2 2
6.某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目乙 不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位, 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 )

? ) 4

(B) [

? ?

, ) 4 2

(C) (

? 3?
,

]

(D) [

3? ,? ) 4

7.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同 排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为( ) A.10 B.11 C.12 D.15

8.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒 ,对于没有发芽的种子,每粒需再 补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) (A)100 (B)20 0 (C)300
2

(D)400 )

9.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(0,? ) ,若 P(? >2)=0.023 ,则 P(-2 ? ? ? 2)= ( (A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977

10.随机抽样中测得四个样本点为(1,2)(2,3)(3,4)(4,5) , , , ,则 x 与 y 之间的回 归直线方程为( )

A.y=x+1

B.y=x+2

C.y=2x+1

D.y=x-1

二、填空题(25 分) 11. 在 是 的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中常数项 .

12. 从如图所示的长方形区域内任取一个 点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率 为 ;

13. 观察下列等式: ① cos2a=2 cos a -1; ② cos4a=8 cos a - 8 cos a + 1; ③ cos6a=32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1; ④ cos8a=128 cos a - 256 cos a + 160 cos a - 32 cos a + 1; ⑤ cos10a= m cos a - 1280 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测,m – n + p = .
10 6 4 2 4 2 2

8

6

4

2

8

6

4

2

14.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为_____. 15. (1 ? x ? x )( x ? ) 的展开式中的常数项为_______.
2 6

1 x

三.解答题(75 分) 16.某品牌专卖店准备在“五·一”期间举行促销活动,该店决定从 2 种型号的洗衣机、3 种型号的电视机和 3 种型号的电冰箱中,任选 3 种型号的商品进行促销. (1)求选出的 3 种型号的商品中至少有一种是电冰箱的概率; (2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,若顾客购买促销商品,则允许有 3 次抽奖 机会,每次中奖都获得 100 元奖金.假设顾客每次抽奖时的中奖概率为 0.8,设顾客在三次抽 奖中所获得的奖金总额(单位:元)为随机变量 ,请写出 的分布列,并求 的数学期望.

17.已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x +

k 2 ( k ≥0)。 x 2 ,

(Ⅰ)当 k =2 时,求曲线 y = f ( x )在点(1, f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。

18.某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 ,第二、 5

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相 互独立。记ξ 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3

p

6 125

a

d

24 125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的 值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ 。

19.设 a 为实数,函数 f ? x ? ? e ? 2 x ? 2a, x ? R 。
x

(1)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (2)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1 。
x 2

20.某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响。 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次 射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外 加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列。

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a ? 1(a ? R) x

(1)当 a ? ?1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ?

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

参考答案 一选择题 1选B 2选B 3选A 4. 选 D.

?y?

4 , e ?1 ?4 e x ?4 e x ?4 ?4 ?y'? x ? x 2 ? ? ? ?1 2 x (e ? 1) ( e ) ? 2e ? 1 e x ? 1 ? 2 x 1 2 e ? x ?2 ex e 1 当且仅当e x= x ,即x ? 0时“=”成立。 e 又y ' ? 0,??1 ? y ' ? 0。
x

设倾斜角为?,则 ? 1 ? tan ? ? 0, 又? ? ? 0,? ?, ? 3? ? ? ? ?。故选D 4
r 5 5? r

5. 选 D ? Tr ?1 ? C x

?a? r r 5? 2 r ? ? ? a C5 x , (r ? 0,1, 2,3, 4,5) ,令 5 ? 2r ? 3 ,所以 r ? 1 , ?x?

r

1 所以 a1C5 ? 10 ? a ? 2.

6.选 B,分两类:第一类:甲排在第一位,共有 A 4 =24 种排法;第二类:甲排在第二位, 共 有 A 3 ? A 3 =18 种排法,所以共有编排方案 24 ? 18 ? 42 种,故选 B.
1 3

4

7,选 B.用 0 和 1 进行排列,允许数字重复共有 16 种排法.与 0110 有三个位置上的数字相 同的排法有四种:1110、0010、0100、0111,与 0110 有四个位置上的数字相同的有一种, 因此答案是:16-4-1=11. 8. 选B.由题意可知,补种的种子数记为 X 服从二项分布,即 X ? B(1000,0.2) ,所以 X 的数学期望 EX ? 1000 ? 0.2 ? 200 . 9. 选 C,因为随机变量 ? 服从正态分布 N(0,? ) ,所以正态曲线关于直线 x=0 对称,又
2

P(? >2)=0.023 ,所以 P(? <-2)=0.023 ,所以 P(-2 ? ? ? 2)= 1-P(? >2)-P(? <-2)= 1-2 ? 0.023= 0.954,
10.选 C 二、填空题

11. 240 13. 962.

12.

1 3

观 察 得 : 式 子 中 所 有 项 的 系 数 和 为 1 , ? m ? 1280 ? 1120 ? n ? p ? 1 ? 1 ,

? m ? n ? p ? 162 ,又 p ? 10 ? 5 ? 50, m ? 29 ? 512 ,? n ? ?400 ,? m ? n ? p ? 962 .
14. 2 15.

1 1 ( x - )6 展开式中第k ? 1项为Tk ?1 ? C6k x 6-k (- ) k ? ( ?1) k C6k x 6? 2 k。 x x 1 6 3 (1+x+x2)x - ) 的常数项为1? ( ?1)3 C6 ? 1? ( ?1) 4 C64= ? 5 ( x 故填 ? 5
三.解答题 16. 答案: (1) (2)E( )=240 元

17. (I)当 k ? 2 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , f '( x) ?
2

1 ?1 ? 2x 1? x

由于 f (1) ? ln 2 , f '(1) ?

3 , 2

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

3 y ? ln 2 ? ( x ? 1) 2
即 (II) f '( x) ?

3x ? 2 y ? 2ln 2 ? 3 ? 0

1 x(kx ? k ? 1) , x ? (?1, ??) . ? 1 ? kx ? 1? x 1? x x 当 k ? 0 时, f '( x) ? ? . 1? x
所以,在区间 (?1,0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) ,单调递减区间是 (0, ??) .

1? k ) k ? 0 ,得 x ? 0 , x ? 1 ? k ? 0 当 0 ? k ? 1时,由 f '( x) ? 1 2 k 1? x 1? k 1? k 所以,在区间 (?1,0) 和 ( ) 上, f '( x) ? 0 , ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, k k 1? k 1? k 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) 和 ( ). , ??) ,单调递减区间是 (0, k k kx( x ?

当 k ? 1 时, f '( x) ?

x2 1? x

故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ??) .

1? k ) k ? 0 ,得 x ? 1 ? k ? (?1, 0) , x ? 0 . 当 k ? 1 时, f '( x) ? 2 1 k 1? x 1? k 1? k 所以在区间 (?1, , 0) 上, f '( x) ? 0 ) 和 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 ( k k 1? k 1? k 故 f ( x) 得单调递增区间是 (?1, , 0) ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( k k kx( x ?
18. 事件 Ai 表示“该生第 i 门课程取得优秀成绩” i =1,2,3,由题意知 ,

P( A1 ) ?

4 , P( A2 ) ? p , P( A3 ) ? q 5 6 119 , ? 125 125 1 6 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? (1 ? p)(1 ? q) ? 5 125 4 24 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? pq ? 5 125

(I)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,所以 该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (II)由题意知

6 , p ? q ?1 25 3 2 由 p ? q ,可得 p ? , q ? . 5 5
整理得

pq ?

(III)由题意知 a ? P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 A2 A3 )

4 3 2 1 3 2 1 3 2 37 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? 5 5 5 5 5 5 5 5 5 125 b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3)
=

6 37 24 58 ? ? ? 125 125 125 125 E (? ) ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3)
=1 ? = 0?

6 37 58 24 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 。 125 125 125 125 5
x x

19. (1)? f ( x) ? e ? 2 x ? 2a ,? f ?( x) ? e ? 2 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 ,

x

? ??, ln 2 ?

ln 2

? ln 2, ?? ?

f ?( x)

?


0
极小值

?


f ( x)

? f ( x) 在 ? ??, ln 2 ? 上单调递减,在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增;
当 x ? ln 2 时, f ( x) 取得极小值为 2 ? 2ln 2 ? 2a (2)设 g ( x) ? e ? x ? 2ax ? 1 ,? g ?( x) ? e ? 2 x ? 2a ? f ( x)
x 2 x

由(1)问可知, g ?( x) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a 恒成立, 当 a ? ln 2 ? 1时,则 g ?( x) ? 0 恒成立,所以 g ( x) 在 R 上单调递增, 所以当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 , 即当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1 。
x 2

20. (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5,
2 2

? ?

2? ? .在 5 次射击中, 3?

40 ?2? ? 2? 恰有 2 次击中目标的概率 P ( X ? 2) ? C5 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 243 ?3? ? 3?
2

(Ⅱ)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2,3, 4,5) ; “射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P( A) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 ) ? P( A1 A2 A3 A4 A5 )
? 2? ?1? 1 ? 2? 1 ?1? ? 2? 8 = ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? = ? 3 ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 81
(Ⅲ)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6
3 2 3 2 3

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27

3

P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A 2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )
=

2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? 3 3 3 ?3? 3 9

2

2

2 1 2 4 P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 3 3 3 27
8 ? 2? 1 1 ?1? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 ? 3? 3 3 ?3?
2 2

8 ?2? P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? 27 ?3?
所以 ? 的分布列是

3

21. (1) 当 a ? ?1 时,f ( x) ? ln x ? x ?

2 ? 1, x ? (0,??), x

所以

f ?? x? ?

x2 ? x ? 2 x2

因此, f ? ? 2 ? ? 1 ,即曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线斜率为 1. , 又 f (2) ? ln 2 ? 2, 所以曲线 y ? f ( x)在点(2,f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,

即 x ? y ? ln 2 ? 0.
( 2 ) 因 为 f ( x) ? ln x ? ax ?

1? a 1 a ?1 ax 2 ? x ? 1 ? a ? 1 , 所 以 f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2 x

x ? (0,??) ,令 g ( x) ? ax 2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),
(1) 当 a ? 0 时, g ( x) ? ? x ? 1, x ? ? 0, ?? ? , 所以 当 x ? ? 0,1? 时, g ? x ? >0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减; 当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增. (2) 当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 , 即

ax2 ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ?

1 ?1 . a

① 当a ?

1 时, x1 ? x2 , g ? x ? ? 0 恒成立,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 在(0,+∞) 2 1 1 时, ?1 ? 1 ? 0 , a 2

上单调递减; ② 当0 ? a ?

x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减

? 1 ? x ? ?1, ? 1? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增 ? a ? ?1 ? x ? ? ? 1, ?? ? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减 ?a ?
③ 当 a ? 0 时,由于

1 ?1 ? 0 , a

x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? 0 ,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减: x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? <0,此时 f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增.
综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增 当a ?

1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减 2
1 ? 1 ? 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减;函数 f ? x ? 在 ? 1, ? 1? 上单调递增; 2 ? a ?

当0 ? a ?

函数 f ? x ? 在 ?

?1 ? ? 1, ?? ? 上单调递减. ?a ?



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