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高考定积分经典例题



定积分与微积分基本定理(理)
题组一 1.已知 f(x)为偶函数且 A.0 B.4 定积分的计算

?

6 0

f(x)dx=8,则 C.8

?

6 ?6

f(x)dx 等于

(

)

r />D.16

解析:原式=

?

0 ?6

f(x)dx+

?

6 0

f(x)dx,

∵原函数为偶函数, ∴在 y 轴两侧的图象对称, ∴对应的面积相等,即 8×2=16. 答案:D
2 ? ?x , x∈[0,1], ? 2.设 f(x)= 则 ? ?2-x,x∈[1,2],

?

2 0

f(x)dx 等于 D.不存在

(

)

3 A. 4

4 B. 5

5 C. 6

解析:数形结合,

?
=

2 0

f(x)dx=

?

1 0

x2dx+

?

2

1

(2-x)dx

2 1 31 1 x ? (2 x ? x 2 ) 3 0 2 1
1 3 1 5 x ? (4 ? 2 ? 2 ? ) ? . 3 2 6

=

答案:C 3.计算以下定积分: (1) (2)

? ?
2

2

1

1 (2x2- )dx; x ( x+ 1 2 ) dx; x

3

(3)

?

?

3 0

(sinx-sin2x)dx;

解:(1)

?

2

1

2 1 2 (2x2- )dx=( x3-lnx) x 3 1



16 2 14 -ln 2- = -ln 2. 3 3 3

(2)

?

3 2

( x+

1 2 ) dx= x

?

3 2

1 (x+ +2)dx x
1

3 1 =( x2+lnx+2x) 2 2
9 =( +ln 3+6)-(2+ln 2+4) 2 3 9 =ln + . 2 2

(3)

?

?

3 0

1 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) 3 2

?

0

1 1 1 1 =(- - )-(-1+ )=- . 2 4 2 4

题组二

求曲多边形的面积

4.如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是 A.1 4 B. 3 C. 3 D.2 ( )

解析:函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 的两个交点为(0,1)和(2,1),所以闭合图形的面积 等于

?

2 0

(-x2+2x+1-1)dx=

?

2 0

4 (-x2+2x)dx= . 3

答案:B 5.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分 4 (如图所示)的面积为 ,则 k=________. 3 解析:直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0,k], 再由

?

k

0

kx2 x3 k k3 4 (kx-x2)dx=( - ) = = 求得 k=2. 2 3 0 6 3

答案:2 6.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动, 记直线 OP、曲线 y=x2 及直线 x=2 所围成的面积 分别记为 S1,S2,若 S1=S2,则点 P 的坐标为________. 解析:设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x,y), 则

?

x

0

(kx-x2)dx=

?

2 x

(x2-kx)dx,

2

x 1 2 1 1 1 即( kx2- x3) =( x3- kx2) , 2 3 0 3 2 x
1 1 8 1 1 解得 kx2- x3= -2k-( x3- kx2), 2 3 3 3 2 4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ). 3 3 3 9 4 16 答案:( , ) 3 9

题组三

定积分在物理中的应用

7.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间 [1,2]内的位移为 17 A. 6 解析:s= 答案:A 8.若 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm,现在要使弹簧伸长 10 cm,则需要花费的功为( A.0.05 J B.0.5 J C.0.25 J D.1 J ) 14 B. 3 13 C. 6 11 D. 6 ( )

?

2

1

1 1 17 (t2-t+2)dt=( t3- t2+2t)|2 . 1= 3 2 6

解析:设力 F=kx(k 是比例系数),当 F=1 N 时,x=0.01 m,可解得 k=100 N/m,则 F=100x,所以 W= 答案:B

?

0.1

0.1
100xdx=50x2 0 =0.5 J.

0

9.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______ 米. 解析:据题意,v 与 t 的函数关系式如下:

? ?2t,0≤t<20, v=v(t)=?50-t,20≤t<40, ? ?10,40≤t≤60.
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s=

3

?

60

0

v ( t )dt = ?

20

0

40 60 3 tdt + ? (50 ? t )dt + ?40 10dt 20 2

3

20 40 3 1 40 = t2 0 +(50t- t2) +10t 4 2 20 20
=900 米. 答案:900

题组四 10.(2010· 烟台模拟)若 y= A.1 解析:y= B.2

定积分的综合应用 ( )

?

x

0

(sint+costsint)dt,则 y 的最大值是 7 C.- 2 D.0 1 (sint+ sin2t)dt 2

?

x

0

(sint+costsint)dt=

?

x

0

x 1 1 5 =(-cost- cos2t) =-cosx- cos2x+ 4 4 4 0
1 5 1 3 =-cosx- (2cos2x-1)+ =- cos2x-cosx+ 4 4 2 2 1 =- (cosx+1)2+2≤2. 2 答案:B 11.(2010· 温州模拟)若 f(x)是一次函数,且 dx 的值是________. 解析:∵f(x)是一次函数,∴设 f(x)=ax+b(a≠0),由 1 = a+b=5, 2 由

?

1 0

f(x)dx=5,

?

1 0

17 xf(x)dx= ,那么 6

?

2

1

f(x) x

?

1 0

1 1 (ax+b)dx=5 得( ax2+bx) 2 0


?

1 0

17 xf(x)dx= 得 6

?

1 0

(ax2+bx)dx=

17 ,即 6 ②

1 17 1 1 1 1 17 ( ax3+ bx2) = ,∴ a+ b= , 3 2 6 3 2 6 0
解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3, 于是

?

2

1

f(x) dx= x

?

2

1

4x+3 dx= x

?

2

1

3 (4+ )dx x

=(4x+3lnx)

2 =8+3ln2-4=4+3ln2. 1

答案:4+3ln2

4

12.设 f(x)=

?

1 0

|x2-a2|dx.

(1)当 0≤a≤1 与 a>1 时,分别求 f(a); (2)当 a≥0 时,求 f(a)的最小值. 解:(1)0≤a≤1 时, f(a)= =

?

1 0

|x2-a2|dx

?

a

0

(a2-x2)dx+

?

1 a

(x2-a2)dx

1 1 a x3 =(a2x- x3) +( -a2x) 3 0 3 a
1 1 a3 =a3- a3-0+0+ -a2- +a3 3 3 3 4 1 = a3-a2+ . 3 3 当 a>1 时, f(a)=

?

1 0

(a2-x2)dx

1 1 =(a2x- x3) 3 0 1 =a2- . 3

1 ?4 3 a ? a2 ? ? ?3 3 ∴f(a)= ? ?a 2 ? 1 ? 3 ?

(0 ≤ a ≤ 1), (a >1).

1 (2)当 a>1 时,由于 a2- 在[1,+∞)上是增函数,故 f(a)在[1,+∞)上的最小值是 3 1 2 f(1)=1- = . 3 3 当 a∈[0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a-1), 1 由 f′(a)>0 知:a> 或 a<0, 2 1 1 故在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增. 2 2 1 1 因此在[0,1]上,f(a)的最小值为 f( )= . 2 4 1 综上可知,f(x)在[0,+∞)上的最小值为 . 4

5

6



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