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第2课 整式



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年
杭州T5,3分 杭州T10,3分 温州T17,10分 宁波T2,4分 宁波T19,6分 湖州T18,6分 台州T4,4分 衢州T4,3分 丽水T2,3分 丽水T14,4分 绍兴、义乌T10,4分 嘉兴、舟山T3,4分 嘉兴、舟山T4,4分

2015年
温州T17,10分 宁波T2,4分 湖州T2,3分 台州T1,4分 衢州T3,3分 金华T1,3分 金华T13,4分 丽水T2,3分 丽水T18,6分 绍兴、义乌T4,4分 嘉兴、舟山T17,8分

2014年
杭州T1,3分 温州T5,4分 温州T17,10分 绍兴T2,4分 绍兴T17,8分 宁波T19,6分 湖州T2,3分 湖州T17,6分 台州T11,5分 嘉兴T7,4分 舟山T6,3分 衢州、丽水T3,3分 金华、义乌T18,6分 嘉兴、舟山T17,8分

1. 幂、幂的运算 2.整式的概念及 整式的加减 3.整式的乘除 4.乘法公式及其 应用

考点一 幂、幂的运算
考点清单
1.同底数幂相乘(除),底数不变,指数相加(减),即 am· an + - =am n,am÷ an=am n(a≠0,m,n 都是正整数). 2.幂的乘方,底数不变,指数相乘,即(am)n=amn(m,n 都是正整数). 3.积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所 得的幂相乘,即(ab)n=anbn(n 为正整数). 1 -p 0 4.a =__1__(a≠0),a =__ap__(a≠0,p 为正整数).

要点点拨
1.幂的运算法则是进行整式乘除的基础,必须熟练掌 握.解题时要明确运算的类型,并正确运用运算法则. 2.在运算的过程中,指数、系数和符号的处理是解题的 关键.
特别关注

运算法则可以逆用和拓展,应予以重视 .

【典例 1】 (2016· 浙江衢州)下列计算中, 正确的是( A. a3-a2=a B. a2· a 3= a 6 C. (3a)3=9a3 D. (a2)2=a4

)

【点评】 本题主要考查合并同类项和幂的运算,熟记幂 的运算法则是解题的关键.
【解析】 A.a3,a2 不能合并,故本选项错误. B.a2·a3=a5,故本选项错误. C .(3 a)3=27a3,故本选项错误. D.(a2)2=a4,故本选项正确. 故选 D. 【答案】 D

【典例 2】 (2015· 福建莆田)若 ax=2,ay=3,则 a2x y= ____.


【点评】 本题主要考查幂的运算,逆用幂的运算法则是 解题的关键.
【解析】 ∵ax =2, ay=3, ∴a2x y=a2x ·ay=(ax )2·ay=22×3 =12. 【答案】 12


考点二 整式的概念及整式的加减
考点清单
1.由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫作单项 式.单独一个数或一个字母也叫单项式.由几个单项 式相加组成的代数式叫作多项式,单项式和多项式统 称为整式. 2.同类项:多项式中,所含字母相同,并且相同字母的 指数也相同的项,叫作同类项. 3. 去括号法则: 括号前是“+”号, 把括号和它前面的“+” 号去掉,括号里各项都不变号;括号前是“-”号,把 括号和它前面的“-”号去掉, 括号里各项都改变符号.

4.合并同类项法则:把同类项的系数相加,所得结果作 为系数,字母和字母的指数不变.

5.整式加减的实质是去括号和合并同类项.

要点点拨
整式加减的实质是去括号和合并同类项, 熟练掌握去 括号法则和合并同类项法则是解决整式加减相关问题的 基础,而符号的处理及系数的运算是解题的关键.
特别关注 要注意代数式是不含等号或不等号的式子,

应与方程和不等式予以区分.

【典例 3】 (2016· 浙江台州)下列计算中, 正确的是( A. x2+x2=x4 B. 2x3-x3=x3 C. x2· x 3= x 6 D. (x2)3=x5

)

【点评】 本题主要考查合并同类项法则及幂的运算, 熟 练掌握合并同类项法则是解题的关键.
【解析】 A.x 2+x 2=2x 2,故 A 错误. B.2x 3-x 3=x 3,故 B 正确. C .x 2·x 3=x 5,故 C 错误. D.(x 2)3=x 6,故 D 错误. 故选 B. 【答案】 B

【典例 4】 (2016· 甘肃平凉)如果单项式 2xm x5y7 是同类项,那么 nm 的值是____.

+ 2n

yn

-2m+2



【点评】 本题主要考查同类项的概念及幂的运算,根据 同类项的定义列出方程组, 求出 n , m 的值是解题的关键.
m +2n =5, m =-1, 【解析】 根据题意, 得 解得 ∴ n -2m +2=7, n =3, 1 -1 m n =3 = . 3 1 【答案】 3

考点三 整式的乘除
考点清单
1.单项式乘单项式:把它们的系数、同底数幂分别相乘,其 余字母连同它的指数不变,作为积的因式.单项式乘单项 式的实质是乘法交换律和结合律的应用. 2.单项式乘多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所 得的积相加. 单项式乘多项式的实质是乘法分配律的应用. 3.多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项乘另一个多项 式的每一项,再把所得的积相加. 4.整式的除法:单项式相除,把系数、同底数幂分别相除, 作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它 的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式,先把这个 多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

要点点拨
整式的乘除运算中,能用乘法公式进行计算的,要用 公式;去括号时,要注意符号的变化;化简时,要正确合 并同类项.

特别关注

题目中有多项式参与运算的,一定要做到不

重不漏,要特别注意多项式中的常数项也要参与运算 .

【典例 5】 (2016· 台湾)计算(2x+1)(x-1)-(x2+x-2) 的结果是 ( ) A. x2-2x+1 B. x2-2x-3 C. x2+x-3 D. x2-3

【点评】 本题主要考查整式的混合运算,熟练掌握运算 法则是解题的关键.

【解析】 原式=(2x 2-2x +x -1)-(x 2+x -2)=2x 2-x -1-x 2-x +2=x 2-2x +1.

【答案】 A

考点四 乘法公式及其应用
考点清单
1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.
2.完全平方公式:(a± b)2=a2± 2ab+b2.

要点点拨
1.完全平方公式包含两个公式,在没有指明是完全平方 和或完全平方差时,应注意分类. 2. 利用配方法将一个代数式配成完全平方式可以求最值, 应用较多,应予以重视. 3.在整式的化简求值过程中,算式中局部使用乘法公式 可以简化运算,在任何时候都应遵循先化简后求值的 原则.

特别关注

应注意公式的变形及整体代入思想的应用,

乘法公式常见的几种变形有: ①a2+ b2= (a + b)2- 2ab ; ②a2+b2=(a-b)2+2ab;③(a+b)2= (a-b)2+4ab;④(a -b)2=(a+b)2-4ab.

【典例 6】 (2016· 山东菏泽)已知 4x=3y,求代数式(x- 2y)2-(x-y)(x+y)-2y2 的值.

【点评】 本题主要考查整式的混合运算及化简求值, 涉 及的知识有平方差公式、完全平方公式、合并同类项等, 熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.

【解析】 原式=x 2-4xy+4y2-(x 2-y2)-2y2 =-4xy+3y2=-y(4x -3y). ∵4x =3y,∴原式=0.

【典例 7】 (2016· 四川巴中)若 a+b=3,ab=2,则(a- b)2=____.

【点评】 本题主要考查完全平方公式的变形及整体代入 思想的应用,灵活进行公式的变形是解题的关键.
【解析】 ∵a+b=3,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=9. ∵ab=2,∴a2+b2=5. ∴原式=a2-2ab+b2=5-4=1. 【答案】 1

本课中, 有两个数学思想需要重点掌握: (1)整体思想: 在进行整式运算或求代数式的值时, 常把一些紧密联系的 代数式作为一个整体来处理.借助整体思想,可以拓宽解 题思路, 收到事半功倍之效. 整体思想比较典型的应用是: 在乘法公式中, 公式中的字母 a 和 b 不仅可以表示单项式, 而且可以表示多项式,如(x-3y+z)(x+3y-z)=[x-(3y -z)][x+(3y—z)]=x2-(3y-z)2=x2-9y2+6yz-z2.(2)数 形结合思想:在列代数式时,常常遇到这种类型的题:题 中提供一定的图形(或变换),要求通过对图形的观察与探 索,提取图形所反映的信息,并根据相关知识列出相应的 代数式,运用图形来验证整式的乘法公式.整体思想和数 形结合思想的应用也是本课的难点所在.

【例 1】 (2016· 甘肃平凉)若 x2+4x-4=0,则 3(x-2)2 -6(x+1)(x-1)的值为 ( ) A. -6 B. 6 C. 18 D. 30

【解析】 ∵x 2+4x -4=0,即 x 2+4x =4, ∴原式=3(x 2-4x +4)-6(x 2-1)=3x 2-12x +12-6x 2+6 =-3x 2-12x +18=-3(x 2+4x )+18=-3×4+18=6.

【答案】 B

2 7 2 【例 2】 (2016· 江苏扬州)已知 M= a-1,N=a - a(a 9 9 为任意实数),则 M,N 的大小关系为 ( ) A. M<N B. M=N C. M>N D. 不能确定

2 7 2 【解析】 ∵M = a-1,N =a - a(a 为任意实数), 9 9 12 a- 3 2 ∴N -M =a -a+1= 2 + >0, 4 ∴N >M ,即 M <N . 【答案】 A

【例 3】 (2014·浙江宁波)一个大正方形和四个全等的小 正方形按图 2?1①②两种方式摆放, 则图②的大正方形 中未被小正方形覆盖部分的面积是____(用含 a,b 的 代数式表示).

图 2?1
提 示

正确求出大、小正方形的边长,利用大正方形的

面积减去 4 个小正方形的面积即可求解.

【解析】 设两图中大正方形的边长为 x 1,小正方形的边 a+b x 1= , 2 x 1+2x 2=a, 长为 x 2,由题意,得 解得 a-b x 1-2x 2=b, x 2= . 4 a+b 2 ∴大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积= 2 - a-b 2 4× 4 =ab.

【答案】 ab

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